Скалярное умножение

В математике скалярное умножение является одной из основных операций, определяющих векторное пространство в линейной алгебре ^[1]^[2]^[3] (или, в более общем смысле, модуль в абстрактной алгебре ^[4]^[5] ). В обычных геометрических контекстах скалярное умножение действительного евклидова вектора на положительное действительное число умножает величину вектора, не меняя его направления . Скалярное умножение является умножением вектора на скаляр (где произведение является вектором), и его следует отличать от скалярного произведения двух векторов (где произведение является скаляром).

Определение

В общем случае, если K — поле , а V — векторное пространство над K , то скалярное умножение — это функция из K × V в V. Результат применения этой функции к k в K и v в V обозначается k v .

Характеристики

Скалярное умножение подчиняется следующим правилам (вектор выделен жирным шрифтом ) :

Аддитивность в скаляре: ( c + d ) v = c v + d v ;
Аддитивность в векторе: c ( v + w ) = c v + c w ;
Совместимость произведения скаляров со скалярным умножением: ( cd ) v = c ( d v );
Умножение на 1 не меняет вектор: 1 v = v ;
Умножение на 0 дает нулевой вектор : 0 v = 0 ;
Умножение на −1 дает аддитивную обратную величину : (−1) v = − v .

Здесь + — это сложение либо в поле, либо в векторном пространстве, в зависимости от того, что подходит; а 0 — это аддитивная идентичность в любом из них. Сопоставление указывает либо на скалярное умножение, либо на операцию умножения в поле.

Интерпретация

Пространство векторов можно рассматривать как координатное пространство , где элементы связаны со списком элементов из K. Единицы поля образуют группу K ^× , а скалярно-векторное умножение является групповым действием на координатное пространство посредством K ^{× . Нуль поля действует на координатное пространство}, сжимая его до нулевого вектора.

Когда K — поле действительных чисел, существует геометрическая интерпретация скалярного умножения: оно растягивает или сжимает векторы на постоянный множитель. В результате получается вектор в том же или противоположном направлении исходного вектора, но другой длины. ^[6]

В качестве особого случая V можно принять за само K , а скалярное умножение можно тогда считать просто умножением в поле.

Когда V равно K ⁿ , скалярное умножение эквивалентно умножению каждого компонента на скаляр и может быть определено как таковое.

Та же идея применима, если K — коммутативное кольцо , а V — модуль над K. K может быть даже rig , но тогда нет аддитивного обратного. Если K не коммутативен , могут быть определены различные операции левого скалярного умножения c v и правого скалярного умножения v c .

Скалярное умножение матриц

Левое скалярное умножение матрицы $A$ на скаляр $λ$ дает другую матрицу того же размера, что и $A.$ Она обозначается $λ A$ , элементы $λ A$ которой определяются как

(\lambda \mathbf {A})_{ij} =\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,

явно:

\lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\лямбда A_{n1}&\лямбда A_{n2}&\cdots &\лямбда A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.

Аналогично, хотя и не существует общепринятого определения, правое скалярное умножение матрицы $A$ на скаляр $λ$ можно определить как

(\mathbf {A} \lambda)_{ij} = \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,

явно:

\mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.

Когда элементы матрицы и скаляров принадлежат одному и тому же коммутативному полю, например, полю действительных чисел или полю комплексных чисел, эти два умножения одинаковы и могут быть просто названы скалярным умножением . Для матриц над более общим полем , которое не является коммутативным, они могут быть не равны.

Для действительного скаляра и матрицы:

\lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}

2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.

Для кватернионных скаляров и матриц:

\lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}

i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,

где $i, j, k$ — кватернионные единицы. Некоммутативность умножения кватернионов препятствует переходу изменения $ij = + k$ в $ji = - k$ .

Смотрите также

Ссылки

^ Лэй, Дэвид С. (2006). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Эддисон–Уэсли . ISBN 0-321-28713-4.
^ Стрэнг, Гилберт (2006). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул . ISBN 0-03-010567-6.
^ Акслер, Шелдон (2002). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Выпускные тексты по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
^ Weisstein, Eric W. "Скалярное умножение". mathworld.wolfram.com . Получено 06.09.2020 .