stringtranslate.com

Скалярное умножение

Скалярное умножение вектора на коэффициент 3 растягивает вектор.
Скалярные произведения − a и 2 a вектора a

В математике скалярное умножение является одной из основных операций, определяющих векторное пространство в линейной алгебре [1] [2] [3] (или, в более общем смысле, модуль в абстрактной алгебре [4] [5] ). В обычных геометрических контекстах скалярное умножение действительного евклидова вектора на положительное действительное число умножает величину вектора, не меняя его направления . Скалярное умножение является умножением вектора на скаляр (где произведение является вектором), и его следует отличать от скалярного произведения двух векторов (где произведение является скаляром).

Определение

В общем случае, если K — поле , а V — векторное пространство над K , то скалярное умножение — это функция из K × V в V. Результат применения этой функции к k в K и v в V обозначается k v .

Характеристики

Скалярное умножение подчиняется следующим правилам (вектор выделен жирным шрифтом ) :

Здесь + — это сложение либо в поле, либо в векторном пространстве, в зависимости от того, что подходит; а 0 — это аддитивная идентичность в любом из них. Сопоставление указывает либо на скалярное умножение, либо на операцию умножения в поле.

Интерпретация

Пространство векторов можно рассматривать как координатное пространство , где элементы связаны со списком элементов из K. Единицы поля образуют группу K × , а скалярно-векторное умножение является групповым действием на координатном пространстве посредством K × . Нуль поля действует на координатное пространство , сжимая его до нулевого вектора.

Когда K — поле действительных чисел, существует геометрическая интерпретация скалярного умножения: оно растягивает или сжимает векторы на постоянный множитель. В результате получается вектор в том же или противоположном направлении исходного вектора, но другой длины. [6]

В качестве особого случая V можно принять за само K , а скалярное умножение можно тогда считать просто умножением в поле.

Когда V равно K n , скалярное умножение эквивалентно умножению каждого компонента на скаляр и может быть определено как таковое.

Та же идея применима, если K коммутативное кольцо , а Vмодуль над K. K может быть даже rig , но тогда нет аддитивного обратного. Если K не коммутативен , могут быть определены различные операции левого скалярного умножения c v и правого скалярного умножения v c .

Скалярное умножение матриц

Левое скалярное умножение матрицы A на скаляр λ дает другую матрицу того же размера, что и A. Она обозначается λ A , элементы λ A которой определяются как

явно:

Аналогично, хотя и не существует общепринятого определения, правое скалярное умножение матрицы A на скаляр λ можно определить как

явно:

Когда элементы матрицы и скаляров принадлежат одному и тому же коммутативному полю, например, полю действительных чисел или полю комплексных чисел, эти два умножения одинаковы и могут быть просто названы скалярным умножением . Для матриц над более общим полем , которое не является коммутативным, они могут быть не равны.

Для действительного скаляра и матрицы:

Для кватернионных скаляров и матриц:

где i , j , k — кватернионные единицы. Некоммутативность умножения кватернионов препятствует переходу изменения ij = + k в ji = − k .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Лэй, Дэвид С. (2006). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Эддисон–Уэсли . ISBN 0-321-28713-4.
  2. ^ Стрэнг, Гилберт (2006). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул . ISBN 0-03-010567-6.
  3. ^ Акслер, Шелдон (2002). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
  4. ^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
  5. ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Scalar Multiplication". mathworld.wolfram.com . Получено 06.09.2020 .