Критический показатель

Параметр, описывающий физику вблизи критических точек

Критические показатели описывают поведение физических величин вблизи непрерывных фазовых переходов . Считается, хотя и не доказано, что они универсальны, т.е. не зависят от деталей физической системы, а только от некоторых ее общих характеристик. Например, для ферромагнитных систем в состоянии теплового равновесия критические показатели зависят только от:

• размерность системы
• диапазон взаимодействия
• спиновое измерение​

Эти свойства критических показателей подтверждаются экспериментальными данными. Аналитические результаты могут быть теоретически получены в теории среднего поля в высоких размерностях или когда известны точные решения, такие как двумерная модель Изинга . Теоретическое рассмотрение в общих размерностях требует подхода ренормгруппы или, для систем в тепловом равновесии, методов конформного бутстрапа . Фазовые переходы и критические показатели появляются во многих физических системах, таких как вода в критической точке , в магнитных системах, в сверхпроводимости, в перколяции и в турбулентных жидкостях. Критическое измерение, выше которого средние показатели поля действительны, варьируется в зависимости от системы и может быть даже бесконечным.

Определение

Параметром управления, который управляет фазовыми переходами, часто является температура, но также могут быть и другие макроскопические переменные, такие как давление или внешнее магнитное поле. Для простоты следующее обсуждение работает в терминах температуры; перевод в другой параметр управления прост. Температура, при которой происходит переход, называется критической температурой T _c . Мы хотим описать поведение физической величины f в терминах степенного закона вокруг критической температуры; мы вводим приведенную температуру

${\displaystyle \tau :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}}$

которая равна нулю при фазовом переходе , и определяем критический показатель как: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}}$

Это приводит к степенному закону, который мы искали:

${\displaystyle f(\tau )\propto \tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0}$

Важно помнить, что это представляет собой асимптотическое поведение функции f ( τ ) при τ → 0 .

В более общем плане можно было бы ожидать

${\displaystyle f(\tau )=A\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)}$

Наиболее важные критические показатели

Предположим, что система, находящаяся в тепловом равновесии, имеет две различные фазы, характеризующиеся параметром порядка Ψ , который обращается в нуль при температуре T _c и ​​выше .

Рассмотрим фазы неупорядоченной фазы ( τ > 0 ), упорядоченной фазы ( τ < 0 ) и критической температуры ( τ = 0 ) по отдельности. Согласно стандартному соглашению, критические показатели, относящиеся к упорядоченной фазе, обозначены штрихом. Также стандартным соглашением является использование верхнего/нижнего индекса + (−) для неупорядоченного (упорядоченного) состояния. В общем случае спонтанное нарушение симметрии происходит в упорядоченной фазе.

Следующие записи оцениваются при J = 0 (за исключением записи δ )

Критические показатели могут быть получены из удельной свободной энергии f ( J , T ) как функции источника и температуры. Длина корреляции может быть получена из функционала F [ J ; T ] . Во многих случаях критические показатели, определенные в упорядоченной и неупорядоченной фазах, идентичны.

Когда верхняя критическая размерность равна четырем, эти соотношения точны вблизи критической точки в двух- и трехмерных системах. В четырех измерениях, однако, степенные законы изменяются логарифмическими множителями. Они не появляются в измерениях произвольно близких к четырем, но не точно, что может быть использовано как способ обойти эту проблему . ^[1]

Критические показатели среднего поля систем типа Изинга

Значения критических показателей для скалярного поля в классической теории Ландау (также известной как теория среднего поля ) (прототипическим примером которой является модель Изинга ) определяются выражением

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3}$

Если мы добавим производные члены, превращая ее в теорию Гинзбурга–Ландау среднего поля , то получим

${\displaystyle \eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}}$

Одним из главных открытий в изучении критических явлений является то, что теория среднего поля критических точек верна только тогда, когда пространственная размерность системы выше определенной размерности, называемой верхней критической размерностью , которая в большинстве случаев исключает физические размерности 1, 2 или 3. Проблема с теорией среднего поля заключается в том, что критические показатели не зависят от размерности пространства. Это приводит к количественному расхождению ниже критических размерностей, где истинные критические показатели отличаются от значений среднего поля. Это может даже привести к качественному расхождению в низкой размерности пространства, где критическая точка фактически больше не может существовать, хотя теория среднего поля все еще предсказывает ее наличие. Это имеет место для модели Изинга в размерности 1, где нет фазового перехода. Размерность пространства, где теория среднего поля становится качественно неверной, называется нижней критической размерностью.

Экспериментальные значения

Наиболее точно измеренное значение α составляет −0,0127(3) для фазового перехода сверхтекучего гелия (так называемый лямбда-переход ). Значение было измерено на космическом челноке, чтобы минимизировать разницу давления в образце. ^[2] Это значение находится в значительном противоречии с наиболее точными теоретическими определениями ^{[3] [4] [5],} полученными с помощью методов высокотемпературного расширения, методов Монте-Карло и конформного бутстрапа . ^[6]

Нерешенная задача по физике :

Объясните расхождение между экспериментальными и теоретическими определениями критического показателя теплоемкости α для сверхтекучего перехода в гелии-4 . ^[6]

(еще нерешенные проблемы по физике)

Теоретические предсказания

Критические показатели можно оценить с помощью моделирования Монте-Карло решеточных моделей. Точность этого метода первого принципа зависит от доступных вычислительных ресурсов, которые определяют способность перейти к пределу бесконечного объема и уменьшить статистические ошибки. Другие методы опираются на теоретическое понимание критических флуктуаций. Наиболее широко применяемым методом является группа перенормировки . Конформный бутстрап — это недавно разработанный метод, который достиг непревзойденной точности для критических показателей Изинга .

Масштабирование функций

В свете критических масштабирований мы можем перевыразить все термодинамические величины через безразмерные величины. Достаточно близко к критической точке все может быть перевыражено через определенные отношения степеней приведенных величин. Это функции масштабирования.

Происхождение масштабирующих функций можно увидеть из группы перенормировки. Критическая точка является инфракрасной фиксированной точкой . В достаточно малой окрестности критической точки мы можем линеаризовать действие группы перенормировки. Это в основном означает, что изменение масштаба системы на коэффициент a будет эквивалентно изменению масштаба операторов и полей источников на коэффициент a ^Δ для некоторого Δ . Таким образом, мы можем перепараметризовать все величины в терминах измененных масштабно-независимых величин.

Масштабирование отношений

Долгое время считалось, что критические показатели были одинаковыми выше и ниже критической температуры, например, α ≡ α ′ или γ ≡ γ ′ . Теперь было показано, что это не обязательно так: когда непрерывная симметрия явно разрушается до дискретной симметрии нерелевантными (в смысле ренормгруппы) анизотропиями, то показатели γ и γ ′ не идентичны. ^[7]

Критические показатели обозначаются греческими буквами. Они попадают в классы универсальности и подчиняются соотношениям масштабирования и гипермасштабирования.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}}$

Эти уравнения подразумевают, что есть только два независимых показателя, например, ν и η . Все это следует из теории группы перенормировки . ^{[ необходимо разъяснение ]}

Теория перколяции

Фазовые переходы и критические показатели также появляются в процессах перколяции , где концентрация «занятых» узлов или связей решетки является управляющим параметром фазового перехода (по сравнению с температурой в классических фазовых переходах в физике). Одним из простейших примеров является перколяция Бернулли в двумерной квадратной решетке. Узлы случайным образом заняты с вероятностью . Кластер определяется как совокупность ближайших соседних занятых узлов. При малых значениях занятых узлов образуются только небольшие локальные кластеры. На пороге перколяции (также называемом критической вероятностью) образуется охватывающий кластер, который простирается через противоположные узлы системы, и мы имеем фазовый переход второго рода, который характеризуется универсальными критическими показателями. ^{[8] [9]} Для перколяции класс универсальности отличается от класса универсальности Изинга. Например, критический показатель длины корреляции для 2D-перколяции Бернулли по сравнению с для 2D-модели Изинга. Для более подробного обзора см. Критические показатели перколяции . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{c}\approx 0.5927}$ ${\displaystyle \nu =4/3}$ ${\displaystyle \nu =1}$

Анизотропия

Существуют некоторые анизотропные системы, в которых длина корреляции зависит от направления.

Направленную перколяцию можно также рассматривать как анизотропную перколяцию. В этом случае критические показатели различны, а верхняя критическая размерность равна 5. ^[10]

Мультикритические точки

Более сложное поведение может иметь место в многокритических точках , на границе или на пересечениях критических многообразий. Их можно достичь, настраивая значение двух или более параметров, таких как температура и давление.

Статические и динамические свойства

Приведенные выше примеры относятся исключительно к статическим свойствам критической системы. Однако динамические свойства системы также могут стать критическими. В частности, характерное время τ _char системы расходится как τ _char ∝ ξ ^z с динамическим показателем z . Более того, большие статические классы универсальности эквивалентных моделей с идентичными статическими критическими показателями распадаются на меньшие динамические классы универсальности , если потребовать, чтобы динамические показатели также были идентичны.

Критические показатели равновесия можно вычислить с помощью конформной теории поля .

См. также аномальное масштабное измерение .

Самоорганизованная критичность

Критические показатели существуют также для самоорганизованной критичности диссипативных систем .

Смотрите также

• Класс универсальности для числовых значений критических показателей
• Сложные сети
• Случайные графики
• неравенство Рашбрука
• Масштабирование Widom
• Конформный бутстрап
• Критические показатели Изинга
• Критические показатели перколяции
• Сетевая наука
• Теория перколяции
• Теория графов

Внешние ссылки и литература

• Хаген Кляйнерт и Верена Шульте-Фролинде, Критические свойства φ4-теорий , World Scientific (Сингапур, 2001); ISBN  в мягкой обложке 981-02-4658-7
• Тода, М., Кубо, Р., Н. Сайто, Статистическая физика I , Springer-Verlag (Берлин, 1983); Твердый переплет ISBN 3-540-11460-2 
• Дж. М. Йоманс, Статистическая механика фазовых переходов , Oxford Clarendon Press
• HE Stanley Введение в фазовые переходы и критические явления , Oxford University Press, 1971
• Классы универсальности из Sklogwiki
• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Оксфорд, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 
• Зинн-Джастин, Дж. (2010). «Критические явления: полевой теоретический подход» Статья в Scholarpedia Scholarpedia, 5(5):8346.
• Д. Поланд, С. Рычков, А. Вичи, «Конформный бутстрап: теория, численные методы и приложения», Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, http://arxiv.org/abs/1805.04405
• Ф. Леонард и Б. Деламотт Критические показатели могут быть разными по обе стороны перехода: общий механизм , Phys. Rev. Lett. 115, 200601 (2015), https://arxiv.org/abs/1508.07852,

Ссылки

1. 'т Хоофт, Г.; Вельтман, М. (1972). "Регуляризация и перенормировка калибровочных полей" (PDF) . Nucl. Phys. B. 44 ( 1): 189–213. Bibcode :1972NuPhB..44..189T. doi :10.1016/0550-3213(72)90279-9. hdl :1874/4845.
2. Lipa, JA; Nissen, J.; Stricker, D.; Swanson, D.; Chui, T. (2003). "Удельная теплоемкость жидкого гелия в условиях невесомости вблизи точки лямбда". Physical Review B. 68 ( 17): 174518. arXiv : cond-mat/0310163 . Bibcode : 2003PhRvB..68q4518L. doi : 10.1103/PhysRevB.68.174518. S2CID  55646571.
3. Кампострини, Массимо; Хазенбуш, Мартин; Пелиссетто, Андреа; Викари, Этторе (2006-10-06). "Теоретические оценки критических показателей сверхтекучего перехода в $^{4}\mathrm{He}$ решеточными методами". Physical Review B . 74 (14): 144506. arXiv : cond-mat/0605083 . doi :10.1103/PhysRevB.74.144506. S2CID  118924734.
4. Хазенбуш, Мартин (26.12.2019). «Изучение улучшенной модели часов в трех измерениях методом Монте-Карло». Physical Review B. 100 ( 22): 224517. arXiv : 1910.05916 . Bibcode : 2019PhRvB.100v4517H. doi : 10.1103/PhysRevB.100.224517. ISSN  2469-9950. S2CID  204509042.
5. Честер, Шай М.; Ландри, Уолтер; Лю, Цзюньюй; Поланд, Дэвид; Симмонс-Даффин, Дэвид; Су, Нинг; Вичи, Алессандро (2020). «Выделение пространства OPE и точных критических показателей модели $O(2)$». Журнал физики высоких энергий . 2020 (6): 142. arXiv : 1912.03324 . Bibcode : 2020JHEP...06..142C. doi : 10.1007/JHEP06(2020)142. S2CID  208910721.
6. Слава Рычков (2020-01-31). "Конформный бутстрап и экспериментальная аномалия удельной теплоты в точке λ". Журнал Club for Condensed Matter Physics . doi : 10.36471/JCCM_January_2020_02 .
7. Леонард, Ф.; Деламотт, Б. (2015). «Критические показатели могут быть разными по обе стороны перехода». Phys. Rev. Lett . 115 (20): 200601. arXiv : 1508.07852 . Bibcode : 2015PhRvL.115t0601L. doi : 10.1103/PhysRevLett.115.200601. PMID  26613426. S2CID  22181730.
8. Штауффер, Дитрих; Ахарони, Амнон (1994). «Введение в теорию перколяции». Publ. Math . 6 : 290–297. ISBN 978-0-7484-0253-3.
9. Якобсен, Йеспер Ликке (2015-11-13). "Критические точки моделей Поттса и O( N ) из тождеств собственных значений в периодических алгебрах Темперли–Либа". Журнал физики A: Математические и теоретические . 48 (45): 454003. arXiv : 1507.03027 . Bibcode :2015JPhA...48S4003L. doi :10.1088/1751-8113/48/45/454003. ISSN  1751-8113. S2CID  119146630.
10. Кинцель, В. (1982). Дойчер, Г. (ред.). «Направленная перколяция». Перколяция и процессы .