Параметры рассеяния

Значения, описывающие поведение линейной электрической цепи

Параметры рассеяния или S-параметры (элементы матрицы рассеяния или S-матрицы ) описывают электрическое поведение линейных электрических сетей при воздействии на них различных стационарных воздействий электрическими сигналами.

Параметры полезны для нескольких отраслей электротехники , включая электронику , проектирование систем связи и особенно для микроволновой техники .

S-параметры являются членами семейства аналогичных параметров, другими примерами являются: Y-параметры , ^[1] Z-параметры , ^[2] H-параметры , T-параметры или ABCD-параметры . ^{[3] [4]} Они отличаются от них в том смысле, что S-параметры не используют условия обрыва или короткого замыкания для характеристики линейной электрической сети; вместо этого используются согласованные нагрузки . Эти терминальные нагрузки гораздо проще использовать при высоких частотах сигнала, чем терминальные нагрузки разомкнутой цепи и короткого замыкания. Вопреки распространенному мнению, величины не измеряются в мощности (за исключением устаревших шестипортовых сетевых анализаторов). Современные векторные анализаторы цепей измеряют амплитуду и фазу векторов бегущей волны напряжения, используя по существу ту же схему, что и для демодуляции беспроводных сигналов с цифровой модуляцией .

Многие электрические свойства цепей компонентов ( индукторы , конденсаторы , резисторы ) могут быть выражены с помощью S-параметров, таких как усиление , обратные потери , коэффициент стоячей волны по напряжению (КСВН), коэффициент отражения и стабильность усилителя . Термин «рассеяние» более распространен в оптической технике , чем в радиочастотной технике, и относится к эффекту, наблюдаемому, когда плоская электромагнитная волна падает на препятствие или проходит через разнородные диэлектрические среды. В контексте S-параметров рассеяние относится к тому, как изменяются бегущие токи и напряжения в линии передачи , когда они встречаются с разрывом , вызванным подключением сети к линии передачи. Это эквивалентно тому, что волна встречает сопротивление , отличное от характеристического сопротивления линии .

Хотя S-параметры применимы на любой частоте , они в основном используются для сетей, работающих на радиочастотах (РЧ) и микроволновых частотах. Обычно используемые S-параметры - обычные S-параметры - представляют собой линейные величины (а не энергетические величины, как в упомянутом ниже подходе Канеюки Курокавы [  ja] (黒川兼行) «волн мощности»). S-параметры изменяются в зависимости от частоты измерения, поэтому частота должна быть указана для любых заявленных измерений S-параметров в дополнение к характеристическому полному сопротивлению или полному сопротивлению системы .

S-параметры легко представляются в матричной форме и подчиняются правилам матричной алгебры.

Фон

Первое опубликованное описание S-параметров было в диссертации Витольда Белевича в 1945 году. ^[5] Белевич использовал название « матрица перераспределения» и ограничивал рассмотрение сетями с сосредоточенными элементами. Термин «матрица рассеяния» был использован физиком и инженером Робертом Генри Дике в 1947 году, который независимо развил эту идею во время военных работ над радаром. ^{[6] [7]} В этих S-параметрах и матрицах рассеяния рассеянные волны являются так называемыми бегущими волнами. Другой вид S-параметров был введен в 1960-х годах. ^[8] Последнее было популяризировано Канеюки Курокавой  [джа] (黒川兼行), ^[9] который называл новые рассеянные волны «силовыми волнами». Два типа S-параметров имеют совершенно разные свойства, и их нельзя путать. ^[10] В своей основополагающей статье ^[11] Курокава четко различает S-параметры энергетической волны и обычные S-параметры бегущей волны. Вариантом последнего являются S-параметры псевдобегущей волны. ^[12]

В подходе S-параметров электрическая сеть рассматривается как « черный ящик », содержащий различные взаимосвязанные основные компоненты электрической цепи или элементы с сосредоточенными параметрами, такие как резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности и транзисторы, которые взаимодействуют с другими цепями через порты . Сеть характеризуется квадратной матрицей комплексных чисел , называемой матрицей S-параметров, которую можно использовать для расчета ее реакции на сигналы, подаваемые на порты.

При определении S-параметра подразумевается, что сеть может содержать любые компоненты при условии, что вся сеть ведет себя линейно с падающими небольшими сигналами. Он также может включать в себя множество типичных компонентов или «блоков» системы связи, таких как усилители , аттенюаторы , фильтры , устройства связи и эквалайзеры , при условии, что они также работают в линейных и определенных условиях.

Электрическая сеть, описываемая S-параметрами, может иметь любое количество портов. Порты — это точки, в которых электрические сигналы либо входят в сеть, либо выходят из нее. Порты обычно представляют собой пары клемм с требованием, чтобы ток, поступающий на одну клемму, был равен току, выходящему из другой. ^{[13] [14]} S-параметры используются на частотах, где порты часто имеют коаксиальные или волноводные соединения.

Матрица S-параметров , описывающая сеть N -портов, будет квадратом размерности N и, следовательно, будет содержать элементы. На тестовой частоте каждый элемент или S-параметр представлен безразмерным комплексным числом , которое представляет величину и угол , то есть амплитуду и фазу . Комплексное число может быть выражено либо в прямоугольной форме, либо, что чаще, в полярной форме. Величина S-параметра может быть выражена в линейной или логарифмической форме . Выраженная в логарифмической форме, величина имеет « безразмерную единицу » децибела . Угол S-параметра чаще всего выражается в градусах , но иногда и в радианах . Любой S-параметр может быть отображен графически на полярной диаграмме в виде точки для одной частоты или локуса для диапазона частот. Если это применимо только к одному порту (имеет форму ), это может быть отображено на диаграмме Смита импеданса или адмиттанса , нормализованной к импедансу системы. Диаграмма Смита позволяет просто преобразовать параметр , эквивалентный коэффициенту отражения напряжения, и связанный с ним (нормированный) импеданс (или адмиттанс), «видимый» на этом порте. ${\displaystyle N^{2}\,}$ ${\displaystyle S_{nn}\,}$ ${\displaystyle S_{nn}\,}$

При указании набора S-параметров необходимо указать следующую информацию:

1. Частота
2. Номинальное характеристическое сопротивление (часто 50 Ом)
3. Распределение номеров портов
4. Условия, которые могут повлиять на сеть, такие как температура, управляющее напряжение и ток смещения, где это применимо.

Матрица S-параметров

Определение

В обычной многопортовой сети порты пронумерованы от 1 до N , где N — общее количество портов. Для порта i соответствующее определение S-параметра выражается в терминах падающих и отраженных «волн мощности» соответственно . ${\displaystyle a_{i}\,}$ ${\displaystyle b_{i}\,}$

Курокава ^[15] определяет падающую волну мощности для каждого порта как

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}+Z_{i}I_{i})\,}$

а отраженная волна для каждого порта определяется как

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}-Z_{i}^{*}I_{i})\,}$

где импеданс для порта i , является комплексно-сопряженным параметром и соответственно комплексными амплитудами напряжения и тока на порту i , и ${\displaystyle Z_{i}\,}$ ${\displaystyle Z_{i}^{*}\,}$ ${\displaystyle Z_{i}\,}$ ${\displaystyle V_{i}\,}$ ${\displaystyle I_{i}\,}$

${\displaystyle k_{i}=\left({\sqrt {\left|\Re \{Z_{i}\}\right|}}\right)^{-1}\,}$

Иногда полезно предположить, что эталонное сопротивление одинаково для всех портов, и в этом случае определения падающей и отраженной волн можно упростить до

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}+Z_{0}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,}$

и

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}-Z_{0}^{*}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,}$

Заметим, что, как отметил сам Курокава, приведенные выше определения и не являются уникальными. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

Связь между векторами a и b , i -ые компоненты которых являются волнами мощности и соответственно, может быть выражена с помощью матрицы S-параметров S : ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {S} \mathbf {a} \,}$

Или используя явные компоненты:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&\dots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\dots &S_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}$

Взаимность

Сеть будет взаимной, если она пассивна и содержит только взаимные материалы, влияющие на передаваемый сигнал. Например, аттенюаторы, кабели, разветвители и сумматоры являются взаимными сетями , и в каждом случае матрица S-параметров будет равна ее транспонированной . Сети, которые включают в себя невзаимные материалы в среде передачи, например, содержащие магнитно-смещенные ферритовые компоненты, будут невзаимными. Усилитель — еще один пример невзаимной сети. ${\displaystyle S_{mn}=S_{nm}\,}$

Однако особенностью трехпортовых сетей является то, что они не могут быть одновременно взаимными, без потерь и идеально согласованными. ^[16]

Сети без потерь

Сеть без потерь — это сеть, которая не рассеивает мощность или: . Сумма падающих мощностей во всех портах равна сумме исходящих (например, «отраженных») мощностей во всех портах. Это означает, что матрица S-параметров унитарна , то есть где – сопряженная транспонированная матрица , а – единичная матрица . ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}=\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$ ${\displaystyle (S)^{H}(S)=(I)\,}$ ${\displaystyle (S)^{H}\,}$ ${\displaystyle (S)\,}$ ${\displaystyle (I)\,}$

Сети с потерями

Пассивная сеть с потерями – это сеть, в которой сумма падающих мощностей на всех портах больше суммы исходящих (например, «отраженных») мощностей на всех портах. Поэтому он рассеивает мощность: . Таким образом , и положительно определена . ^[17] ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}\neq \Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$ ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$ ${\displaystyle (I)-(S)^{H}(S)\,}$

Двухпортовые S-параметры

Матрица S-параметров для 2-портовой сети, вероятно, является наиболее часто используемой и служит основным строительным блоком для создания матриц более высокого порядка для более крупных сетей. ^[18] В этом случае связь между исходящими («отраженными») падающими волнами и матрицей S-параметров определяется выражением:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,}$.

Разложение матриц в уравнения дает:

${\displaystyle b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2}\,}$

и

${\displaystyle b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2}\,}$.

Каждое уравнение дает соотношение между исходящими (например, отраженными) и падающими волнами в каждом из сетевых портов, 1 и 2, в терминах отдельных S-параметров сети, , , и . Если рассматривать волну, падающую на порт 1 ( ), то в результате нее могут возникнуть волны, выходящие либо из самого порта 1 ( ), либо из порта 2 ( ). Однако, если, согласно определению S-параметров, порт 2 подключен к нагрузке, идентичной импедансу системы ( ) , то по теореме о максимальной передаче мощности будет полностью поглощена, приравниваясь к нулю. Следовательно, определяя падающие волны напряжения как и с исходящими/отраженными волнами и , ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle a_{1}\,}$ ${\displaystyle b_{1}\,}$ ${\displaystyle b_{2}\,}$ ${\displaystyle Z_{0}\,}$ ${\displaystyle b_{2}\,}$ ${\displaystyle a_{2}\,}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle a_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle b_{1}=V_{1}^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{-}}$

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$и . ${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$

Аналогично, если порт 1 подключен к импедансу системы, он становится равным нулю, что дает ${\displaystyle a_{1}\,}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$и ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$

2-портовые S-параметры имеют следующие общие описания:

${\displaystyle S_{11}\,}$коэффициент отражения напряжения входного порта

${\displaystyle S_{12}\,}$коэффициент усиления обратного напряжения

${\displaystyle S_{21}\,}$коэффициент усиления по прямому напряжению

${\displaystyle S_{22}\,}$— коэффициент отражения напряжения выходного порта.

Если вместо определения направления волны напряжения относительно каждого порта они определяются по их абсолютному направлению как прямая и обратная волны, то и . Тогда S-параметры приобретают более интуитивное значение, например, усиление прямого напряжения, определяемое соотношением прямых напряжений . ${\displaystyle V^{+}}$ ${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle S_{21}=V_{2}^{-}/V_{1}^{+}}$

Используя это, приведенную выше матрицу можно расширить более практичным способом.

${\displaystyle V_{1}^{-}=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}V_{2}^{+}\,}$

${\displaystyle V_{2}^{-}=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{+}\,}$

Свойства S-параметров 2-портовых сетей

Усилитель, работающий в линейных условиях (малый сигнал), является хорошим примером невзаимной схемы, а согласованный аттенюатор — примером обратной схемы. В следующих случаях мы будем предполагать, что входные и выходные соединения относятся к портам 1 и 2 соответственно, что является наиболее распространенным соглашением. Также необходимо указать номинальное сопротивление системы, частоту и любые другие факторы, которые могут повлиять на устройство, например температуру.

Комплексный линейный коэффициент усиления

Комплексный линейный коэффициент усиления G определяется выражением

${\displaystyle G=S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}\,}$.

Это линейное отношение выходной отраженной волны мощности к входной падающей волне мощности, причем все значения выражаются в виде комплексных величин. Для сетей с потерями оно субунитарное, для активных сетей . Он будет равен коэффициенту усиления по напряжению только тогда, когда устройство имеет равные входное и выходное сопротивления. ${\displaystyle |G|>1}$

Скалярный линейный коэффициент усиления

Скалярный линейный коэффициент усиления (или величина линейного усиления) определяется выражением

${\displaystyle \left|G\right|=\left|S_{21}\right|\,}$.

Это представляет собой величину усиления (абсолютное значение), отношение выходной волны мощности к входной волне мощности и равно квадратному корню из коэффициента усиления мощности. Это действительная (или скалярная) величина, информация о фазе отбрасывается.

Скалярно-логарифмический коэффициент усиления

Скалярно-логарифмическое (децибел или дБ) выражение для усиления (g):

${\displaystyle g=20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,}$дБ.

Это чаще используется, чем скалярное линейное усиление, и положительная величина обычно понимается просто как «усиление», а отрицательная величина - это «отрицательное усиление» («потеря»), эквивалентное его величине в дБ. Например, на частоте 100 МГц кабель длиной 10 м может иметь усиление -1 дБ, что соответствует потерям в 1 дБ.

Вносимая потеря

В случае, если два измерительных порта используют один и тот же эталонный импеданс, вносимые потери ( IL ) обратны величине коэффициента передачи | С ₂₁ | выражается в децибелах. Таким образом, это определяется следующим образом: ^[19]

${\displaystyle IL=-20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,}$дБ.

Это дополнительные потери, вызванные введением тестируемого устройства (ИУ) между двумя опорными плоскостями измерения. Дополнительные потери могут быть вызваны собственными потерями в тестируемом устройстве и/или несоответствием. В случае дополнительных потерь вносимые потери считаются положительными. Отрицательное значение вносимых потерь, выраженное в децибелах, определяется как вносимое усиление и равно скалярно-логарифмическому усилению (см. определение выше).

Входные обратные потери

Входные обратные потери ( RL _in ) можно рассматривать как меру того, насколько близко фактическое входное сопротивление сети к номинальному значению сопротивления системы. Входные обратные потери, выраженные в децибелах , определяются выражением

${\displaystyle RL_{\mathrm {in} }=10\log _{10}\left|{\frac {1}{S_{11}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{11}\right|\,}$дБ.

Отметим, что для пассивных двухпортовых сетей, в которых | С ₁₁ | ≤ 1 , то обратные потери являются неотрицательной величиной: RL _in  ≥ 0 . Также обратите внимание, что обратные потери иногда используются как отрицательное значение величины, определенной выше, что несколько сбивает с толку, но такое использование, строго говоря, неверно с учетом определения потерь. ^[20]

Выходные обратные потери

Выходные обратные потери ( RL _out ) имеют аналогичное определение входным обратным потерям, но применяются к выходному порту (порту 2), а не к входному порту. Это дано

${\displaystyle RL_{\mathrm {out} }=-20\log _{10}\left|S_{22}\right|\,}$дБ.

Обратное усиление и обратная изоляция

Скалярно-логарифмическое (децибел или дБ) выражение для обратного усиления ( ): ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }\,}$

${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }=20\log _{10}\left|S_{12}\right|\,}$дБ.

Часто это выражается как обратная изоляция ( ), и в этом случае она становится положительной величиной, равной величине, и выражение принимает вид: ${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }\,}$ ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }\,}$

${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }=\left|g_{\mathrm {rev} }\right|=\left|20\log _{10}\left|S_{12}\right|\right|\,}$дБ.

Коэффициент отражения

Коэффициент отражения на входном порту ( ) или на выходном порте ( ) эквивалентен и соответственно, поэтому ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$ ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}\,}$и . ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }=S_{22}\,}$

Как и являются комплексными величинами, таковы и . ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$

Коэффициенты отражения являются комплексными величинами и могут быть графически представлены на полярных диаграммах или диаграммах Смита.

См. также статью «Коэффициент отражения» .

Коэффициент стоячей волны по напряжению

Коэффициент стоячей волны по напряжению (КСВН) на порте, представленный строчной буквой «s», является аналогичной мерой соответствия порта обратным потерям, но представляет собой скалярную линейную величину, отношение максимального напряжения стоячей волны к стоячей волне. минимальное напряжение. Следовательно, оно относится к величине коэффициента отражения напряжения и, следовательно, к величине либо входного порта, либо выходного порта. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

На входном порту КСВ ( ) определяется выражением ${\displaystyle s_{\mathrm {in} }\,}$

${\displaystyle s_{\mathrm {in} }={\frac {1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}}\,}$

На выходном порту КСВ ( ) определяется выражением ${\displaystyle s_{\mathrm {out} }\,}$

${\displaystyle s_{\mathrm {out} }={\frac {1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}}\,}$

Это справедливо для коэффициентов отражения, величина которых не превышает единицы, что обычно и имеет место. Коэффициент отражения с величиной больше единицы, например, в усилителе с туннельным диодом , приведет к отрицательному значению этого выражения. Однако КСВ, по определению, всегда положителен. Более правильное выражение для порта k многопортового устройства:

${\displaystyle s_{k}={\frac {1+\left|S_{kk}\right|}{|1-\left|S_{kk}\right||}}\,}$

4-портовые S-параметры

Параметры 4 Port S используются для характеристики 4-портовых сетей. Они включают информацию об отраженных и падающих волнах мощности между 4 портами сети.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}&S_{24}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}&S_{34}\\S_{41}&S_{42}&S_{43}&S_{44}\end{pmatrix}}}$

Они обычно используются для анализа пары связанных линий передачи, чтобы определить величину перекрестных помех между ними, если они управляются двумя отдельными несимметричными сигналами, или отраженную и падающую мощность дифференциального сигнала, проходящего через них. Многие спецификации высокоскоростных дифференциальных сигналов определяют канал связи с помощью 4-портовых S-параметров, например, 10-гигабитный интерфейс модуля подключения (XAUI), системы SATA, PCI-X и InfiniBand.

4-портовый смешанный режим S-параметров

4-портовые смешанные S-параметры характеризуют 4-портовую сеть с точки зрения реакции сети на синфазные и дифференциальные сигналы стимула. В следующей таблице показаны S-параметры 4-портового смешанного режима.

Обратите внимание на формат обозначения параметра SXYab, где «S» обозначает параметр рассеяния или S-параметр, «X» — режим реакции (дифференциальный или общий), «Y» — режим стимула (дифференциальный или общий), «а « — порт ответа (выходной сигнал), а b — порт стимула (входной сигнал). Это типичная номенклатура параметров рассеяния.

Первый квадрант определяется как четыре верхних левых параметра, описывающих характеристики дифференциального стимула и дифференциального ответа тестируемого устройства. Это фактический режим работы большинства высокоскоростных дифференциальных межсоединений, и именно этому квадранту уделяется наибольшее внимание. Он включает в себя входные дифференциальные обратные потери (SDD11), входные дифференциальные обратные потери (SDD21), выходные дифференциальные обратные потери (SDD22) и выходные дифференциальные вносимые потери (SDD12). Некоторые преимущества дифференциальной обработки сигналов:

• пониженная восприимчивость к электромагнитным помехам
• снижение электромагнитного излучения от балансной дифференциальной схемы
• продукты дифференциальных искажений четного порядка преобразуются в синфазные сигналы
• увеличение уровня напряжения в два раза относительно несимметричного
• отказ от синфазного питания и кодирование шума земли в дифференциальный сигнал

Второй и третий квадранты — это верхние правые и нижние левые 4 параметра соответственно. Их также называют квадрантами перекрестного режима. Это связано с тем, что они полностью характеризуют любое преобразование режима, происходящее в тестируемом устройстве, будь то преобразование SDCab из общего в дифференциальный (чувствительность к электромагнитным помехам для предполагаемого приложения передачи дифференциального сигнала SDD) или преобразование SCDab из дифференциального в общий (излучение EMI ​​для дифференциальное применение). Понимание преобразования режимов очень полезно при попытке оптимизировать конструкцию межсоединений для обеспечения гигабитной пропускной способности данных.

Четвертый квадрант представляет собой 4 нижних правых параметра и описывает рабочие характеристики синфазного сигнала SCCab, распространяющегося через тестируемое устройство. Для правильно спроектированного дифференциального устройства SDDab должен быть минимальный синфазный выход SCCab. Однако данные синфазного отклика четвертого квадранта являются мерой синфазного отклика передачи и используются в соотношении с дифференциальным откликом передачи для определения подавления синфазного сигнала в сети. Это подавление синфазного сигнала является важным преимуществом дифференциальной обработки сигналов и может быть уменьшено до одного в некоторых реализациях дифференциальных схем. ^{[21] [22]}

S-параметры в конструкции усилителя

Параметр обратной изоляции определяет уровень обратной связи от выхода усилителя к входу и, следовательно, влияет на его стабильность (его склонность к воздержанию от колебаний) вместе с прямым усилением . Усилитель с входными и выходными портами, идеально изолированными друг от друга, будет иметь изоляцию бесконечной скалярно-логарифмической величины, или линейная величина будет равна нулю. Такой усилитель называется односторонним. Однако большинство практических усилителей будут иметь некоторую конечную изоляцию, позволяющую на коэффициент отражения, «видимый» на входе, в некоторой степени влиять нагрузка, подключенная к выходу. Усилитель, который намеренно спроектирован так, чтобы иметь наименьшее возможное значение, часто называют буферным усилителем . ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle \left|S_{12}\right|\,}$

Предположим, что выходной порт реального (неодностороннего или двустороннего) усилителя подключен к произвольной нагрузке с коэффициентом отражения . Фактический коэффициент отражения, «видимый» на входном порту, будет равен ^[23] ${\displaystyle \Gamma _{L}\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}\,}$.

Если усилитель односторонний, то и , или, другими словами, выходная нагрузка не влияет на вход. ${\displaystyle S_{12}=0\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}\,}$

Аналогичное свойство существует и в противоположном направлении, в данном случае это коэффициент отражения, видимый на выходном порту, и коэффициент отражения источника, подключенного к входному порту. ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}\,}$

${\displaystyle \Gamma _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{s}}{1-S_{11}\Gamma _{s}}}\,}$

Условия загрузки портов для безусловной стабильности усилителя

Усилитель безусловно стабилен, если можно подключить нагрузку или источник с любым коэффициентом отражения, не вызывая нестабильности. Такое состояние возникает, если величины коэффициентов отражения на источнике, нагрузке и на входном и выходном портах усилителя одновременно меньше единицы. Важным требованием, которое часто упускают из виду, является то, что усилитель должен представлять собой линейную сеть без полюсов в правой полуплоскости. ^[24] Нестабильность может привести к серьезным искажениям частотной характеристики усиления или, в крайнем случае, к колебаниям. Чтобы быть безусловно стабильным на интересующей частоте, усилитель должен одновременно удовлетворять следующим 4 уравнениям: ^[25]

${\displaystyle \left|\Gamma _{s}\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{L}\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {in} }\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {out} }\right|<1\,}$

Граничное условие, когда каждое из этих значений равно единице, может быть представлено кружком, нарисованным на полярной диаграмме, представляющим (комплексный) коэффициент отражения, один для входного порта, а другой для выходного порта. Часто они масштабируются как диаграммы Смита. В каждом случае координаты центра окружности и связанного с ним радиуса задаются следующими уравнениями:

Γ _L значения для | Γ _в | = 1 (круг стабильности выхода)

Радиус ${\displaystyle r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|.}$

Центр ${\displaystyle c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}.}$

Значения Γ _S для | Г _выход | = 1 (входной круг устойчивости)

Радиус ${\displaystyle r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}\right|.}$

Центр ${\displaystyle c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}.}$

В обоих случаях

${\displaystyle \Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21},}$

и звездочка надстрочного индекса (*) указывает на комплексно-сопряженное число .

Круги представлены в комплексных единицах коэффициента отражения, поэтому их можно нарисовать на диаграммах Смита, основанных на импедансе или адмиттансе, нормализованных на импеданс системы. Это позволяет легко показать области нормализованного импеданса (или адмиттанса) для прогнозируемой безусловной стабильности. Другой способ продемонстрировать безусловную устойчивость — использовать коэффициент устойчивости Роллетта ( ), определяемый как ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K={\frac {1-|S_{11}|^{2}-|S_{22}|^{2}+|\Delta |^{2}}{2|S_{12}S_{21}|}}.}$

Условие безусловной устойчивости достигается тогда, когда и ${\displaystyle K>1}$ ${\displaystyle |\Delta |<1.}$

Рассеивание параметров передачи

Параметры передачи рассеяния или Т-параметры двухпортовой сети выражаются матрицей Т-параметров и тесно связаны с соответствующей матрицей S-параметров. Однако, в отличие от S-параметров, не существует простых физических средств для измерения T-параметров в системе, иногда называемых волнами Юлы. Матрица Т-параметров связана с падающими и отраженными нормализованными волнами в каждом из портов следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,}$

Однако их можно определить по-другому:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,}$

Дополнение RF Toolbox к MATLAB ^[26] и несколько книг (например, «Параметры сетевого рассеяния» ^[27] ) используют это последнее определение, поэтому необходима осторожность. Параграфы «От S до T» и «От T до S» в этой статье основаны на первом определении. Адаптация ко второму определению тривиальна (замена T 11 на T 22 и T 12 на T 21 ). Преимущество Т-параметров по сравнению с S-параметрами заключается в том, что, если эталонные импедансы являются чисто действительными или комплексно-сопряженными, их можно использовать для быстрого определения эффекта каскадного соединения двух или более двухпортовых сетей путем простого умножения соответствующих отдельных Т-параметров. матрицы параметров. Если Т-параметры, скажем, трех разных 2-портовых сетей 1, 2 и 3 равны , и соответственно тогда матрица Т-параметров для каскада всех трех сетей ( ) в последовательном порядке определяется выражением: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,}$

Обратите внимание, что умножение матриц не является коммутативным, поэтому порядок важен. Как и S-параметры, T-параметры представляют собой комплексные значения, и между этими двумя типами происходит прямое преобразование. Хотя каскадные Т-параметры представляют собой простое матричное умножение отдельных Т-параметров, преобразование S-параметров каждой сети в соответствующие Т-параметры и преобразование каскадных Т-параметров обратно в эквивалентные каскадные S-параметры. которые обычно требуются, нетривиальна. Однако после завершения операции будут приняты во внимание сложные полноволновые взаимодействия между всеми портами в обоих направлениях. Следующие уравнения обеспечат преобразование параметров S и T для 2-портовых сетей. ^[28]

От С до Т:

${\displaystyle T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}\,}$

Где указывает определитель матрицы , ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\ =S_{11}\cdot S_{22}-S_{12}\cdot S_{21}}$.

От Т до С

${\displaystyle S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}}\,}$

Где указывает определитель матрицы . ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\ =T_{11}.T_{22}-T_{12}.T_{21},}$

1 порт S-параметры

S-параметр для сети с 1 портом задается простой матрицей 1 × 1 вида, где n — выделенный номер порта. Чтобы соответствовать определению линейности по S-параметру, обычно это будет пассивная нагрузка определенного типа. Антенна — это обычная однопортовая сеть, для которой небольшие значения указывают на то, что антенна либо излучает, либо рассеивает/сохраняет мощность. ${\displaystyle (s_{nn})\,}$ ${\displaystyle s_{11}}$

Матрицы S-параметров высшего порядка

S-параметры более высокого порядка для пар разнородных портов ( ), где могут быть выведены аналогично параметрам для 2-портовых сетей, рассматривая пары портов по очереди, в каждом случае гарантируя, что все оставшиеся (неиспользуемые) порты загружены сопротивление идентично сопротивлению системы. Таким образом, падающая волна мощности для каждого из неиспользуемых портов становится нулевой, что дает выражения, аналогичные тем, которые получены для случая с двумя портами. S-параметры, относящиеся только к отдельным портам ( ), требуют, чтобы все оставшиеся порты были нагружены с импедансом, идентичным импедансу системы, что делает все падающие волны мощности равными нулю, за исключением рассматриваемого порта. В целом мы имеем: ${\displaystyle S_{mn}\,}$ ${\displaystyle m\neq \;n\,}$ ${\displaystyle S_{mm}\,}$

${\displaystyle S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}\,}$

и

${\displaystyle S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}\,}$

Например, 3-портовая сеть, такая как 2-полосный разветвитель, будет иметь следующие определения S-параметров.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\,}$

с

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ; ${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$ ${\displaystyle S_{13}={\frac {b_{1}}{a_{3}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ; ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$ ${\displaystyle S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

${\displaystyle S_{31}={\frac {b_{3}}{a_{1}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ; ${\displaystyle S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$ ${\displaystyle S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

где относится к исходящей волне в порту m, индуцированной падающей волной в порту n. ${\displaystyle S_{mn}}$

Измерение S-параметров

S-параметры чаще всего измеряются с помощью векторного анализатора цепей (ВАЦ).

Формат вывода измеренных и скорректированных данных S-параметров

Данные испытаний S-параметров могут быть предоставлены во многих альтернативных форматах, например: в виде списка, в графическом виде ( диаграмма Смита или полярная диаграмма ).

Формат списка

В формате списка измеренные и скорректированные S-параметры сведены в таблицу в зависимости от частоты. Наиболее распространенный формат списка известен как Touchstone или S n P, где n — количество портов. Обычно текстовые файлы, содержащие эту информацию, имеют расширение имени файла «.s2p». Ниже приведен пример списка файлов Touchstone для полных данных S-параметров 2-портового устройства, полученных для устройства:

! Создано Пт 21 июля, 14:28:50 2005# МГЦ С ДБ Р 50! СП1.СП50 -15,4 100,2 10,2 173,5 -30,1 9,6 -13,4 57,251 -15,8 103,2 10,7 177,4 -33,1 9,6 -12,4 63,452 -15,9 105,5 11,2 179,1 -35,7 9,6 -14,4 66,953 -16,4 107,0 10,5 183,1 -36,6 9,6 -14,7 70,354 -16,6 109,3 10,6 187,8 -38,1 9,6 -15,3 71,4

Строки, начинающиеся с восклицательного знака, содержат только комментарии. Строка, начинающаяся с символа решетки, указывает, что в этом случае частоты указаны в мегагерцах (МГЦ), S-параметры указаны (S), величины указаны в дБ, логарифмической величины (DB), а сопротивление системы составляет 50 Ом (R 50). Имеется 9 столбцов данных. В столбце 1 указана тестовая частота в мегагерцах в данном случае. Столбцы 2, 4, 6 и 8 представляют собой величины , , и соответственно в дБ. Столбцы 3 , 5, 7 и 9 — углы , и соответственно в градусах. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

Графический (диаграмма Смита)

Любой 2-портовый S-параметр может быть отображен на диаграмме Смита с использованием полярных координат, но наиболее значимым будет и , поскольку любой из них может быть преобразован непосредственно в эквивалентный нормализованный импеданс (или адмиттанс) с использованием характеристического импеданса диаграммы Смита. (или адмиттанса) масштабирование, соответствующее импедансу системы. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

Графический (полярная диаграмма)

Любой 2-портовый S-параметр может быть отображен на полярной диаграмме с использованием полярных координат.

В любом графическом формате каждый S-параметр на определенной тестовой частоте отображается в виде точки. Если измерение представляет собой развертку по нескольким частотам, для каждой из них появится точка.

Измерение S-параметров однопортовой сети

Матрица S-параметров для сети только с одним портом будет иметь только один элемент, представленный в виде , где n — номер, выделенный порту. Большинство ВАЦ обеспечивают простую возможность калибровки одного порта для измерения с помощью одного порта, что позволяет сэкономить время, если это все, что требуется. ${\displaystyle S_{nn}\,}$

Измерение S-параметров сетей с более чем 2 портами

ВАЦ, предназначенные для одновременного измерения S-параметров сетей с более чем двумя портами, возможны, но быстро становятся непомерно сложными и дорогими. Обычно их покупка не оправдана, поскольку необходимые измерения можно получить с помощью стандартного 2-портового калиброванного ВАЦ с дополнительными измерениями и последующей корректной интерпретацией полученных результатов. Требуемая матрица S-параметров может быть собрана из последовательных измерений двух портов поэтапно, по два порта одновременно, причем в каждом случае к неиспользуемым портам подключаются высококачественные нагрузки, равные импедансу системы. Один из рисков этого подхода заключается в том, что обратные потери или КСВ самих нагрузок должны быть соответствующим образом заданы так, чтобы быть как можно ближе к идеальным 50 Ом или к любому номинальному сопротивлению системы. Для сети с большим количеством портов может возникнуть соблазн из соображений стоимости неправильно указать КСВ нагрузки. Потребуется некоторый анализ, чтобы определить, каким будет наихудший приемлемый КСВ нагрузки.

Предполагая, что дополнительные нагрузки указаны адекватно, при необходимости два или более индексов S-параметра изменяются с тех, которые относятся к ВАЦ (1 и 2 в случае, рассмотренном выше), на те, которые относятся к тестируемой сети (от 1 до N, если N — общее количество портов DUT). Например, если тестируемое устройство имеет 5 портов и двухпортовый анализатор цепей подключен к порту 1 анализатора сети к порту 3 тестируемого устройства, а порт 2 анализатора сети к порту 5 тестируемого устройства, измеренные результаты анализатора цепей ( , и ) будут эквивалентны , и соответственно , предполагая, что порты DUT 1, 2 и 4 подключены к соответствующей нагрузке 50 Ом. Это обеспечит 4 из необходимых 25 S-параметров. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle S_{33}\,}$ ${\displaystyle S_{35}\,}$ ${\displaystyle S_{53}\,}$ ${\displaystyle S_{55}\,}$

Смотрите также

• Параметры допуска
• Параметры импеданса
• Двухпортовая сеть
• X-параметры , нелинейный расширенный набор S-параметров.
• Теорема Белевича

Рекомендации

1. Позар, Дэвид М. (2005); Микроволновая техника, третье издание (Международное издание); Джон Уайли и сыновья, Инк.; стр. 170–174. ISBN  0-471-44878-8 .
2. Позар, Дэвид М. (2005) (указ. соч.); стр. 170–174.
3. Позар, Дэвид М. (2005) (указ. соч.); стр. 183–186.
4. Мортон, АХ (1985); Высшая электротехника ; Питман Паблишинг Лтд.; стр. 33–72. ISBN 0-273-40172-6 . 
5. Белевич, Витольд «Краткое содержание истории теории цепей», Труды IRE , том 50 , вып.5, стр. 848–855, май 1962.
   Вандевалле, Йоос «В памяти – Витольд Белевич», Международный журнал Теория цепей и приложения , том 28 , выпуск 5, стр. 429–430, сентябрь/октябрь 2000 г. doi :10.1002/1097-007X(200009/10)28:5<429::AID-CTA121>3.0.CO ;2-6
6. Теория цепей Мак Элвина Вана : основы и классический вклад , стр.334, Страудсбург, Пенсильвания: Дауден, Хатчинсон и Росс, 1974 ISBN 0-87933-084-8 . 
7. Дике Р.Х. (1947). «Вычислительный метод, применимый к микроволновым сетям». Журнал прикладной физики . 18 (10): 873–878. Бибкод : 1947JAP....18..873D. дои : 10.1063/1.1697561.
8. Пенфилд-младший, Пол «Шум в усилителях с отрицательным сопротивлением», IRE Transactions on Circuit Theory , том 7 , выпуск 2, стр. 166–170, июнь 1960.
   Юла, округ Колумбия «О матрицах рассеяния, нормализованных к комплексному порту числа», Труды ИРЭ , т.49 , вып.7, с. 1221, июль 1962 г.
9. "Зал славы микроволновых печей, часть III" . Микроволновые печи 101 . ПН Дизайн. 2012.
10. Амакава, Шухей «Рассеянные отражения от параметров рассеяния», IEICE Transactions on Electronics , том E99-C , выпуск 10, стр. 1100–1112, октябрь 2016 г.
11. Курокава, Канеюки «Мощные волны и матрица рассеяния», IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques , том 13 , выпуск 2, стр. 194–202, март 1965.
12. Маркс, Р.Б. и Уильямс, Д.Ф. «Общая теория волноводных цепей», Журнал исследований Национального института стандартов и технологий , том 97 , выпуск 5, стр. 533–562, 1992.
13. Позар, Дэвид М. (2005) (указ. соч.); п. 170.
14. Мортон, AH (1985) (указ. соч.); п. 33.
15. Курокава, К., «Мощные волны и матрица рассеяния», IEEE Trans. Микрон. Теория и технология, март 1965 г., стр. 194–202.
16. Позар, Дэвид М. (2005) (указ. соч.); п. 173.
17. Проектирование S-параметров; Примечание по применению AN 154; Аджилент Технологии; стр. 7
18. Чома Дж. и Чен В.К. (2007). Сети обратной связи: теория и схемотехнические приложения. Сингапур: World Scientific. Глава 3, с. 225 и далее. ISBN 978-981-02-2770-8.
19. Коллин, Роберт Э.; Основы микроволновой техники, второе издание
20. Тревор С. Берд, «Определение и неправильное использование обратных потерь», журнал IEEE Antennas & Propagation Magazine , том 51 , выпуск 2, стр. 166–167, апрель 2009 г.
21. Каналы объединительной платы и корреляция между их частотой и производительностью во временной области.
22. Бокельман, Делавэр; Айзенштадт, WR (июль 1995 г.). «Комбинированные дифференциальные и синфазные параметры рассеяния: теория и моделирование». IEEE-транзакции . 43 (7): 1530–1539. Бибкод : 1995ITMTT..43.1530B. дои : 10.1109/22.392911.
23. Гонсалес, Гильермо (1997); Анализ и проектирование усилителей на микроволновых транзисторах, второе издание ; Прентис Холл, Нью-Джерси; стр. 212–216. ISBN 0-13-254335-4 . 
24. Дж. М. Роллетт, «Инварианты стабильности и усиления мощности линейных двухпортов», IRE Trans. по теории цепей, том. CT-9, стр. 29–32, март 1962 г.
25. Гонсалес, Гильермо (указ. соч.); стр. 217–222
26. «Документация RF Toolbox» .
27. Р. Маваддат. (1996). Параметр рассеяния сети. Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-2305-2.
28. Проектирование S-параметров; Примечание по применению AN 154; Аджилент Технологии; стр. 14

Библиография

• Гильермо Гонсалес, «СВЧ-транзисторные усилители, анализ и проектирование, 2-е изд.», Прентис-Холл, Нью-Джерси; ISBN 0-13-581646-7 
• Дэвид М. Позар, «СВЧ-техника», третье издание, John Wiley & Sons Inc.; ISBN 0-471-17096-8 
• Уильям Эйзенштадт, Боб Стенгель и Брюс Томпсон, «Проектирование дифференциальных микроволновых схем с использованием смешанных S-параметров», Artech House; ISBN 1-58053-933-5 ; ISBN 978-1-58053-933-3  
• «Проектирование S-параметров», Рекомендации по применению AN 154, Keysight Technologies
• «Методы S-параметров для более быстрого и точного проектирования сетей», Примечание по применению AN 95-1, Keysight Technologies, слайды в формате PDF, а также видео в формате QuickTime или скан оригинальной статьи Ричарда В. Андерсона.
• А. Дж. Баден Фуллер, «Введение в теорию и технику микроволнового излучения, второе издание, Пергамская международная библиотека; ISBN 0-08-024227-8 
• Рамо, Уиннери и Ван Дузер, «Поля и волны в коммуникационной электронике», John Wiley & Sons; ISBN 0-471-70721-X 
• К.В. Дэвидсон, «Линии передачи для связи с программами САПР», второе издание, Macmillan Education Ltd.; ISBN 0-333-47398-1