Предвзятость сидений

Метрика справедливости методов распределения

Смещение мест — это свойство, описывающее методы распределения . Это методы, используемые для распределения мест в парламенте между федеральными штатами или политическими партиями . Метод является смещенным , если он систематически благоприятствует малым партиям по сравнению с большими, или наоборот. Существует несколько математических мер смещения, которые могут немного не совпадать, но все меры в целом согласны с тем, что правила, основанные на квоте Друпа или методе Джефферсона, сильно смещены в пользу больших партий, в то время как правила, основанные на методе Вебстера , методе Хилла или квоте Хэра , имеют низкий уровень смещения, ^[1] причем различия достаточно малы, чтобы разные определения смещения давали разные результаты. ^[2]

Обозначение

Есть положительное целое число (=размер дома), представляющее общее количество мест для распределения. Есть положительное целое число, представляющее количество партий, которым должны быть распределены места. Есть вектор дробей с , представляющий права , то есть долю мест, на которые имеет право некоторая партия (из общего числа ). Обычно это доля голосов, которую партия получила на выборах. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}t_{i}=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle h}$

Цель состоит в том, чтобы найти метод распределения — вектор целых чисел с , называемый распределением , где — количество мест, выделенных партии i . ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Метод распределения представляет собой многозначную функцию , которая принимает в качестве входных данных вектор прав и размер дома и возвращает в качестве выходных данных распределение . ${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle h}$

Порядок мажорирования

Мы говорим, что метод распределения выгоден малым партиям больше , чем если для каждого t и h , а также для каждого и , подразумевается либо , либо . ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {a'} \in M'(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \in M(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle t_{i}<t_{j}}$ ${\displaystyle a_{i}'\geq a_{i}}$ ${\displaystyle a_{j}'\leq a_{j}}$

Если и являются двумя методами делителей с функциями делителей и , и всякий раз , когда , то отдает предпочтение малым агентам больше, чем . ^{[1] : Теор.5.1} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle d'(a)/d'(b)>d(a)/d(b)}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M}$

Этот факт можно выразить с помощью упорядочения мажорации векторов. Вектор a мажорирует другой вектор b, если для всех k , k крупнейших партий получают в a по крайней мере столько же мест, сколько они получают в b . Метод распределения мажорирует другой метод , если для любого размера дома и вектора прав мажорирует . Если и являются двумя методами делителей с функциями делителей и , и всякий раз , то мажорирует . Следовательно, метод Адамса мажорируется методом Дина, который мажорируется методом Хилла, который мажорируется методом Вебстера, который мажорируется методом Джефферсона. ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle M'(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle d'(a)/d'(b)>d(a)/d(b)}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M}$

Методы смещенных квот ( самые большие остатки ) с квотой также упорядочены по мажорированию, где методы с меньшим s мажорируются методами с большим s . ^[3] ${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot (h+s)}$

Усреднение по всем размерам домов

Чтобы измерить смещение определенного метода распределения M, можно проверить для каждой пары прав множество всех возможных распределений, полученных с помощью M, для всех возможных размеров домов. Теоретически, число возможных размеров домов бесконечно, но поскольку обычно являются рациональными числами, достаточно проверить размеры домов с точностью до произведения их знаменателей . Для каждого размера дома можно проверить, или . Если число размеров домов, для которых равно числу размеров домов, для которых , то метод является несмещенным. Единственным несмещенным методом, согласно этому определению, является метод Вебстера . ^{[1] : Предложение 5.2} ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}/t_{1}>a_{2}/t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}/t_{1}<a_{2}/t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}/t_{1}>a_{2}/t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}/t_{1}<a_{2}/t_{2}}$

Усреднение по всем парам прав

Можно также проверить для каждой пары возможных распределений множество всех пар прав , для которых метод M дает распределения (для ). Предполагая, что права распределены равномерно случайным образом, можно вычислить вероятность того, что M благоприятствует штату 1, по сравнению с вероятностью того, что он благоприятствует штату 2. Например, вероятность того, что штат, получающий 2 места, предпочтительнее штата, получающего 4 места, составляет 75% для Адамса, 63,5% для Дина, 57% для Хилла, 50% для Вебстера и 25% для Джефферсона. ^{[1] : Предложение 5.2} Единственный метод пропорционального делителя, для которого эта вероятность всегда равна 50%, — это Вебстер. ^{[1] : Теория 5.2} Существуют и другие методы делителя, дающие вероятность 50%, но они не удовлетворяют критерию пропорциональности, как определено в разделе «Основные требования» выше. Тот же результат будет получен, если вместо проверки пар агентов мы проверим пары групп агентов. ^{[1] : Теор.5.3} ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle h=a_{1}+a_{2}}$

Усреднение по всем векторам прав

Можно также проверить, для каждого вектора прав (каждой точки в стандартном симплексе ), каково смещение места агента с k -ым самым высоким правом. Усреднение этого числа по всему стандартному симплексу дает формулу смещения места .

Методы стационарных делителей

Для каждого метода стационарного делителя , т.е. метода, где места соответствуют делителю , и избирательному порогу : ^{[4] : ​​Подпункт 7.10} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d(a)=a+r}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\text{MeanBias}}(r,k,t)=(r-1/2)\cdot \left(\sum _{i=k}^{n}(1/i)-1\right)\cdot (1-nt)}$

В частности, метод Вебстера является единственным несмещенным в этом семействе. Формула применима, когда размер дома достаточно велик, в частности, когда . Когда порог пренебрежимо мал, третий член можно игнорировать. Тогда сумма средних смещений равна: ${\displaystyle h\geq 2n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\text{MeanBias}}(r,k,0)\approx (r-1/2)\cdot (n/e-1)}$, когда приближение справедливо для . ${\displaystyle n\geq 5}$

Поскольку среднее смещение благоприятствует крупным партиям, когда , у малых партий есть стимул формировать партийные альянсы (=коалиции). Такие альянсы могут склонить смещение в их пользу. Формула смещения мест может быть распространена на ситуации с такими альянсами. ^{[4] : Sub.7.11} ${\displaystyle r>1/2}$

Для методов смещенной квоты

Для каждого метода смещенной квоты ( метода наибольших остатков ) с квотой , когда векторы прав извлекаются равномерно случайным образом из стандартного симплекса, ${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot (h+s)}$

${\displaystyle {\text{MeanBias}}(s,k,t)={\frac {s}{n}}\cdot \left(\sum _{i=k}^{n}(1/i)-1\right)\cdot (1-nt)}$

В частности, метод Гамильтона является единственным беспристрастным в этом семействе. ^[4]

Эмпирические данные

Используя данные переписи населения США , Балински и Янг утверждают, что метод Вебстера является наименее смещенным по медиане оценщиком для сравнения пар штатов, за которым следует метод Хантингтона-Хилла . ^[1] Однако исследователи обнаружили, что при других определениях или показателях смещения метод Хантингтона-Хилла также можно описать как наименее смещенный. ^[2]

Ссылки

1. Балински, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: встреча с идеалом «Один человек, один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9.
2. Ernst, Lawrence R. (1994). «Методы распределения для Палаты представителей и судебные разбирательства». Management Science . 40 (10): 1207–1227. ISSN  0025-1909.
3. Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ред.), «Предпочтение более сильных партий более слабым партиям: мажорирование», Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 149–157, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_8, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-01
4. Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Оказание поддержки одним за счет других: смещения мест», Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 127–147, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_7, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-01