Секция (пучок волокон)

Раздел пучка . Раздел позволяет идентифицировать базовое пространство с подпространством . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (B)}$ ${\displaystyle E}$

Векторные поля на . Сечение касательного векторного расслоения является векторным полем. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Вектор расслоения над базой с сечением . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$

В математической области топологии сечение (или поперечное сечение ) ^[1] расслоения является непрерывной правой обратной функцией проекционной функции . Другими словами, если является расслоением над базовым пространством , : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

тогда часть этого расслоения волокон является непрерывным отображением ,

${\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

такой что

${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$для всех . ${\displaystyle x\in B}$

Раздел — это абстрактная характеристика того, что значит быть графиком . График функции можно отождествить с функцией, принимающей свои значения в декартовом произведении , и : ${\displaystyle g\colon B\to Y}$ ${\displaystyle E=B\times Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \sigma \colon B\to E,\quad \sigma (x)=(x,g(x))\in E.}$

Пусть — проекция на первый множитель: . Тогда графиком будет любая функция , для которой . ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \pi (x,y)=x}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$

Язык расслоений позволяет обобщить это понятие сечения на случай, когда не обязательно является декартовым произведением. Если является расслоением, то сечение является выбором точки в каждом из волокон. Условие просто означает, что сечение в точке должно лежать над . (См. изображение.) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Например, когда — векторное расслоение , сечение — элемент векторного пространства, лежащий над каждой точкой . В частности, векторное поле на гладком многообразии — это выбор касательного вектора в каждой точке : это сечение касательного расслоения . Аналогично, 1-форма на — сечение кокасательного расслоения . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Сечения, особенно главных расслоений и векторных расслоений, также являются очень важными инструментами в дифференциальной геометрии . В этой постановке базовое пространство является гладким многообразием и предполагается гладким расслоением над (т. е. является гладким многообразием и является гладким отображением ). В этом случае рассматривается пространство гладких сечений над открытым множеством , обозначаемое . В геометрическом анализе также полезно рассматривать пространства сечений с промежуточной регулярностью (например, сечения или сечения с регулярностью в смысле условий Гёльдера или пространств Соболева ). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U,E)}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Локальные и глобальные разделы

Расслоения волокон вообще не имеют таких глобальных сечений (рассмотрим, например, расслоение волокон над со слоем, полученным путем взятия расслоения Мёбиуса и удаления нулевого сечения), поэтому также полезно определять сечения только локально. Локальное сечение расслоения волокон является непрерывным отображением , где является открытым множеством в и для всех в . Если является локальной тривиализацией , где является гомеоморфизмом из в ( где является волокном ), то локальные сечения всегда существуют над в биективном соответствии с непрерывными отображениями из в . (Локальные) сечения образуют пучок над , называемый пучком сечений . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle s\colon U\to E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi (s(x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\times F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$

Пространство непрерывных сечений расслоения над иногда обозначается , тогда как пространство глобальных сечений часто обозначается или . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C(U,E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Gamma (B,E)}$

Распространение на глобальные разделы

Сечения изучаются в теории гомотопий и алгебраической топологии , где одной из главных целей является учет существования или несуществования глобальных сечений . Препятствие отрицает существование глобальных сечений, поскольку пространство слишком «скручено». Точнее, препятствия «препятствуют» возможности расширения локального сечения до глобального сечения из-за «скрученности» пространства. Препятствия обозначаются определенными характеристическими классами , которые являются когомологическими классами. Например, главное расслоение имеет глобальное сечение тогда и только тогда, когда оно тривиально . С другой стороны, векторное расслоение всегда имеет глобальное сечение, а именно нулевое сечение . Однако оно допускает только нигде не исчезающее сечение, если его класс Эйлера равен нулю.

Обобщения

Препятствия к расширению локальных сечений можно обобщить следующим образом: взять топологическое пространство и образовать категорию , объекты которой являются открытыми подмножествами, а морфизмы — включениями. Таким образом, мы используем категорию для обобщения топологического пространства. Мы обобщаем понятие «локального сечения» с помощью пучков абелевых групп , что сопоставляет каждому объекту абелеву группу (аналогично локальным сечениям).

Здесь есть важное различие: интуитивно локальные сечения подобны «векторным полям» на открытом подмножестве топологического пространства. Таким образом, в каждой точке назначается элемент фиксированного векторного пространства. Однако пучки могут «непрерывно изменять» векторное пространство (или, в более общем смысле, абелеву группу).

Весь этот процесс на самом деле является глобальным функтором сечения , который назначает каждому пучку его глобальное сечение. Затем когомологии пучка позволяют нам рассмотреть похожую задачу расширения, «непрерывно варьируя» абелеву группу. Теория характеристических классов обобщает идею препятствий для наших расширений.

Смотрите также

• Раздел (теория категорий)
• Фибрация
• Калибровочная теория (математика)
• Основной пакет
• Вытягивание пучка
• Векторный пакет

Примечания

1. Хусмёллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, стр. 12, ISBN 0-387-94087-1

Ссылки

• Норман Стинрод , Топология пучков волокон , Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6 . 
• Дэвид Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы , Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7 . 
• Хусмеллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

Внешние ссылки

• Волоконный пучок, PlanetMath
• Вайсштейн, Эрик В. «Пучок волокон». MathWorld .