Теорема о градиенте , также известная как основная теорема исчисления для линейных интегралов , гласит, что линейный интеграл через градиентное поле может быть оценен путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой. Теорема является обобщением второй основной теоремы исчисления на любую кривую на плоскости или в пространстве (обычно n -мерном), а не только на действительную прямую.
Если φ : U ⊆ R n → R — дифференцируемая функция , а γ — дифференцируемая кривая в U , которая начинается в точке p и заканчивается в точке q , то
где ∇ φ обозначает градиентное векторное поле φ .
Теорема градиента подразумевает, что линейные интегралы через градиентные поля не зависят от пути . В физике эта теорема является одним из способов определения консервативной силы . При размещении φ как потенциала, ∇ φ является консервативным полем . Работа, выполняемая консервативными силами, зависит не от пути, по которому движется объект, а только от конечных точек, как показывает приведенное выше уравнение.
Теорема о градиенте также имеет интересное обратное утверждение: любое векторное поле, независимое от пути, может быть выражено как градиент скалярного поля . Как и сама теорема о градиенте, это обратное утверждение имеет множество поразительных следствий и приложений как в чистой, так и в прикладной математике.
Если φ — дифференцируемая функция из некоторого открытого подмножества U ⊆ R n в R и r — дифференцируемая функция из некоторого замкнутого интервала [ a , b ] в U (обратите внимание, что r дифференцируема в конечных точках интервала a и b . Для этого r определяется на интервале, который больше и включает [ a , b ] .), то по правилу многомерной цепочки сложная функция φ ∘ r дифференцируема на [ a , b ] :
для всех t в [ a , b ] . Здесь ⋅ обозначает обычное скалярное произведение .
Теперь предположим, что область U функции φ содержит дифференцируемую кривую γ с конечными точками p и q . (Она ориентирована в направлении от p к q ). Если r параметризует γ для t в [ a , b ] (т.е. r представляет γ как функцию t ), то
где определение линейного интеграла используется в первом равенстве, приведенное выше уравнение используется во втором равенстве, а вторая основная теорема исчисления используется в третьем равенстве. [1]
Даже если теорема о градиенте (также называемая основной теоремой исчисления для линейных интегралов ) была доказана для дифференцируемой (то есть выглядящей гладкой) кривой, теорема также доказана для кусочно-гладкой кривой, поскольку эта кривая получается путем соединения нескольких дифференцируемых кривых, поэтому доказательство для этой кривой осуществляется путем доказательства для каждого компонента дифференцируемой кривой. [2]
Предположим, что γ ⊂ R 2 — это дуга окружности, ориентированная против часовой стрелки от (5, 0) до (−4, 3) . Используя определение линейного интеграла ,
Этот результат можно получить гораздо проще, заметив, что функция имеет градиент , поэтому по теореме о градиенте:
Для более абстрактного примера предположим, что γ ⊂ R n имеет конечные точки p , q , с ориентацией от p к q . Для u в R n пусть | u | обозначает евклидову норму u . Если α ≥ 1 — действительное число, то
Здесь окончательное равенство следует из теоремы о градиенте, поскольку функция f ( x ) = | x | α +1 дифференцируема на R n , если α ≥ 1 .
Если α < 1 , то это равенство будет по-прежнему выполняться в большинстве случаев, но следует проявлять осторожность, если γ проходит через начало координат или охватывает его, поскольку векторное поле подынтегральной функции | x | α − 1 x там не будет определено. Однако случай α = −1 несколько отличается; в этом случае подынтегральная функция становится | x | −2 x = ∇(log | x |) , так что окончательное равенство становится log | q | − log | p | .
Обратите внимание, что если n = 1 , то этот пример представляет собой просто небольшой вариант известного правила мощности из исчисления с одной переменной.
Предположим, что в трехмерном пространстве расположены n точечных зарядов , и i -й точечный заряд имеет заряд Q i и находится в позиции p i в R 3 . Мы хотели бы вычислить работу , совершаемую частицей с зарядом q , когда она перемещается из точки a в точку b в R 3 . Используя закон Кулона , мы можем легко определить, что сила , действующая на частицу в позиции r, будет равна
Здесь | u | обозначает евклидову норму вектора u в R 3 , а k = 1/(4 πε 0 ) , где ε 0 — диэлектрическая проницаемость вакуума .
Пусть γ ⊂ R 3 − { p 1 , ..., p n } — произвольная дифференцируемая кривая от a до b . Тогда работа, совершаемая над частицей, равна
Теперь для каждого i прямое вычисление показывает, что
Таким образом, продолжая вышесказанное и используя теорему о градиенте,
Мы закончили. Конечно, мы могли бы легко завершить этот расчет, используя мощный язык электростатического потенциала или электростатической потенциальной энергии (со знакомыми формулами W = −Δ U = − q Δ V ). Однако мы еще не определили потенциал или потенциальную энергию, поскольку требуется обратная теорема о градиенте, чтобы доказать, что это хорошо определенные, дифференцируемые функции и что эти формулы верны (см. ниже). Таким образом, мы решили эту задачу, используя только закон Кулона, определение работы и теорему о градиенте.
Теорема о градиенте утверждает, что если векторное поле F является градиентом некоторой скалярнозначной функции (т. е. если F является консервативным ), то F является векторным полем, независимым от пути (т. е. интеграл F по некоторой кусочно-дифференцируемой кривой зависит только от конечных точек). Эта теорема имеет мощное обратное утверждение:
Теорема — Если F — векторное поле, не зависящее от пути, то F — градиент некоторой скалярной функции. [3]
Легко показать, что векторное поле не зависит от пути, если и только если интеграл векторного поля по каждому замкнутому контуру в его области равен нулю. Таким образом, обратное можно сформулировать следующим образом: если интеграл F по каждому замкнутому контуру в области F равен нулю, то F является градиентом некоторой скалярной функции.
Предположим, что U — открытое , путе-связное подмножество R n , а F : U → R n — непрерывное и независимое от пути векторное поле. Зафиксируем некоторый элемент a из U и определим f : U → R следующим образом: Здесь γ [ a , x ] — любая (дифференцируемая) кривая в U, начинающаяся в a и заканчивающаяся в x . Мы знаем, что f хорошо определена, поскольку F не зависит от пути.
Пусть v — любой ненулевой вектор в R n . По определению производной по направлению , Чтобы вычислить интеграл в конечном пределе, мы должны параметризовать γ [ x , x + t v ] . Поскольку F не зависит от пути, U открыто, а t стремится к нулю, мы можем предположить, что этот путь является прямой линией, и параметризовать его как u ( s ) = x + s v для 0 < s < t . Теперь, поскольку u' ( s ) = v , предел становится где первое равенство из определения производной с учетом того, что интеграл равен 0 при t = 0, а второе равенство — из первой фундаментальной теоремы исчисления . Таким образом, у нас есть формула для ∂ v f , (один из способов представления производной по направлению ), где v произвольно; для (см. его полное определение выше), его производная по направлению относительно v есть где первые два равенства просто показывают различные представления производной по направлению. Согласно определению градиента скалярной функции f , , таким образом, мы нашли скалярнозначную функцию f , градиент которой является векторным полем F, независимым от пути (т.е. F является консервативным векторным полем), как и требовалось. [3]
Чтобы проиллюстрировать силу этого обратного принципа, мы приводим пример, который имеет существенные физические последствия. В классическом электромагнетизме электрическая сила является силой, не зависящей от пути; т. е. работа, совершаемая над частицей, которая вернулась в исходное положение в электрическом поле, равна нулю (предполагая, что не присутствуют никакие изменяющиеся магнитные поля ).
Таким образом, из вышеприведенной теоремы следует, что электрическое силовое поле F e : S → R 3 является консервативным (здесь S — некоторое открытое , линейно-связное подмножество R 3 , содержащее распределение заряда ). Следуя идеям вышеприведенного доказательства, мы можем задать некоторую опорную точку a в S и определить функцию U e : S → R следующим образом:
Используя приведенное выше доказательство, мы знаем, что U e хорошо определена и дифференцируема, и F e = −∇ U e (из этой формулы мы можем использовать теорему о градиенте, чтобы легко вывести известную формулу для расчета работы, совершаемой консервативными силами: W = −Δ U ). Эту функцию U e часто называют электростатической потенциальной энергией системы зарядов в S (со ссылкой на ноль потенциала a ). Во многих случаях область S предполагается неограниченной , а точка отсчета a принимается за «бесконечность», что можно сделать строгим с помощью предельных методов. Эта функция U e является незаменимым инструментом, используемым при анализе многих физических систем.
Многие из критических теорем векторного исчисления элегантно обобщаются на утверждения об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях . На языке дифференциальных форм и внешних производных теорема о градиенте утверждает, что
для любой 0-формы ϕ , определенной на некоторой дифференцируемой кривой γ ⊂ Rn (здесь под интегралом ϕ по границе γ понимается оценка ϕ в конечных точках γ ).
Обратите внимание на поразительное сходство между этим утверждением и обобщенной теоремой Стокса , которая гласит, что интеграл любой компактной дифференциальной формы ω по границе некоторого ориентируемого многообразия Ω равен интегралу ее внешней производной d ω по всему Ω , т.е.
Это мощное утверждение представляет собой обобщение теоремы о градиенте с 1-форм, определенных на одномерных многообразиях, на дифференциальные формы, определенные на многообразиях произвольной размерности.
Обратное утверждение теоремы о градиенте также имеет мощное обобщение в терминах дифференциальных форм на многообразиях. В частности, предположим, что ω — форма, определенная на стягиваемой области , и интеграл от ω по любому замкнутому многообразию равен нулю. Тогда существует форма ψ такая, что ω = d ψ . Таким образом, на стягиваемой области каждая замкнутая форма точна . Этот результат суммируется леммой Пуанкаре .