Полуэмпирическая формула массы

Формула для приблизительного определения массы ядра на основе количества нуклонов

В ядерной физике полуэмпирическая формула массы ( SEMF ) (иногда также называемая формулой Вейцзеккера , формулой Бете-Вайцзеккера или формулой массы Бете-Вайцзеккера, чтобы отличить ее от процесса Бете-Вайцзеккера ) используется для аппроксимации массы атомное ядро ​​от количества протонов и нейтронов . Как следует из названия, он основан частично на теории , а частично на эмпирических измерениях . Формула представляет собой жидкокапельную модель, предложенную Джорджем Гамовым ^[1] , которая может учитывать большинство членов формулы и дает приблизительные оценки значений коэффициентов. Впервые она была сформулирована в 1935 году немецким физиком Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером ^[2] , и хотя с годами коэффициенты были усовершенствованы, структура формулы остается прежней и сегодня.

Формула дает хорошее приближение атомных масс и, следовательно, других эффектов. Однако он не может объяснить существование линий с большей энергией связи при определенном числе протонов и нейтронов. Эти числа, известные как магические числа , являются основой модели ядерной оболочки .

Модель жидкой капли

Иллюстрация членов полуэмпирической формулы массы в жидкокапельной модели атомного ядра.

Модель жидкой капли была впервые предложена Джорджем Гамовым и получила дальнейшее развитие Нильса Бора и Джона Арчибальда Уиллера . В ней ядро ​​рассматривается как капля несжимаемой жидкости очень высокой плотности, удерживаемая ядерной силой (остаточное действие сильной силы ), имеется сходство со структурой сферической капли жидкости. Несмотря на то, что модель жидкой капли является грубой, она учитывает сферическую форму большинства ядер и позволяет приблизительно предсказать энергию связи.

Соответствующая формула массы определяется исключительно количеством содержащихся в ней протонов и нейтронов. Исходная формула Вайцзеккера определяет пять терминов:

• Объемная энергия : когда совокупность нуклонов одинакового размера упакована в наименьший объем, каждый внутренний нуклон имеет определенное количество других нуклонов, контактирующих с ним. Итак, эта ядерная энергия пропорциональна объёму.
• Поверхностная энергия корректирует предыдущее предположение, согласно которому каждый нуклон взаимодействует с таким же количеством других нуклонов. Этот член отрицательен и пропорционален площади поверхности и поэтому примерно эквивалентен поверхностному натяжению жидкости .
• Кулоновская энергия — потенциальная энергия каждой пары протонов. Поскольку это сила отталкивания, энергия связи уменьшается.
• Энергия асимметрии (также называемая энергией Паули ), которая объясняет принцип исключения Паули . Неодинаковое количество нейтронов и протонов предполагает заполнение более высоких энергетических уровней для одного типа частиц, в то время как более низкие энергетические уровни остаются вакантными для другого типа.
• Энергия спаривания , которая объясняет тенденцию возникновения пар протонов и пар нейтронов . Четное число частиц более стабильно, чем нечетное, из-за спиновой связи .

Формула

Энергия связи на нуклон (в МэВ ), показанная как функция номера нейтрона N и атомного номера Z , заданная полуэмпирической формулой массы. Пунктирная линия показывает нуклиды, обнаруженные экспериментально.

Разница между предсказанными энергиями и известными энергиями связи, выраженными в килоэлектронвольтах. Присутствующие явления можно объяснить с помощью более тонких терминов, но формула массы не может объяснить наличие линий, четко идентифицируемых по резким пикам контуров.

Масса атомного ядра для нейтронов , протонов и, следовательно , нуклонов определяется выражением ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A=N+Z}$

${\displaystyle m=Zm_{\text{p}}+Nm_{\text{n}}-{\frac {E_{\text{B}}(N,Z)}{c^{2}}},}$

где и – масса покоя протона и нейтрона соответственно, а – энергия связи ядра. Полуэмпирическая формула массы гласит, что энергия связи равна ^[3] ${\displaystyle m_{\text{p}}}$ ${\displaystyle m_{\text{n}}}$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$

${\displaystyle E_{\text{B}}=a_{\text{V}}A-a_{\text{S}}A^{2/3}-a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}-a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+\delta (N,Z).}$

Член либо равен нулю, либо , в зависимости от четности и , где для некоторого показателя . Обратите внимание, что as , числитель термина можно переписать как . ${\displaystyle \delta (N,Z)}$ ${\displaystyle \pm \delta _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \delta _{0}={a_{\text{P}}}{A^{k_{\text{P}}}}}$ ${\displaystyle k_{\text{P}}}$ ${\displaystyle A=N+Z}$ ${\displaystyle a_{\text{A}}}$ ${\displaystyle (A-2Z)^{2}}$

Каждое из слагаемых в этой формуле имеет теоретическую основу. Коэффициенты , , , , и определяются эмпирически; хотя они могут быть получены в результате эксперимента, обычно они получаются на основе метода наименьших квадратов , соответствующего современным данным. Хотя обычно это выражается пятью основными терминами, существуют дополнительные термины для объяснения дополнительных явлений. Подобно тому, как изменение аппроксимации полинома приводит к изменению его коэффициентов, взаимодействие между этими коэффициентами по мере появления новых явлений является сложным; некоторые термины влияют друг на друга, тогда как термин в значительной степени независим. ^[4] ${\displaystyle a_{\text{V}}}$ ${\displaystyle a_{\text{S}}}$ ${\displaystyle a_{\text{C}}}$ ${\displaystyle a_{\text{A}}}$ ${\displaystyle a_{\text{P}}}$ ${\displaystyle a_{\text{P}}}$

Объем термина

Этот термин известен как термин объема . Объем ядра пропорционален A , поэтому этот член пропорционален объему, отсюда и название. ${\displaystyle a_{\text{V}}A}$

Основой этого термина является сильное ядерное взаимодействие . Сильная сила действует как на протоны, так и на нейтроны, и, как и ожидалось, этот член не зависит от Z. Поскольку число пар, которые можно получить из A- частиц, равно , можно ожидать, что член будет пропорционален . Однако сильное взаимодействие имеет очень ограниченный радиус действия, и данный нуклон может сильно взаимодействовать только со своими ближайшими соседями и следующими ближайшими соседями. Следовательно, количество пар частиц, которые фактически взаимодействуют, примерно пропорционально A , что придает объемному члену его форму. ${\displaystyle A(A-1)/2}$ ${\displaystyle A^{2}}$

Коэффициент меньше энергии связи нуклонов по отношению к своим соседям ( ), которая составляет порядка 40  МэВ . Это связано с тем, что чем больше число нуклонов в ядре, тем больше их кинетическая энергия, что обусловлено принципом Паули . Если рассматривать ядро ​​как ферми-шар из нуклонов с равным числом протонов и нейтронов, то полная кинетическая энергия равна , а энергия Ферми оценивается как 38  МэВ . Таким образом, ожидаемое значение в этой модели недалеко от измеренного значения. ${\displaystyle a_{\text{V}}}$ ${\displaystyle E_{\text{b}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A\varepsilon _{\text{F}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$ ${\displaystyle a_{\text{V}}}$ ${\displaystyle E_{\text{b}}-{\tfrac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}\sim 17~\mathrm {MeV} ,}$

Поверхностный термин

Этот термин известен как поверхностный термин . Этот член, также основанный на сильной силе, является поправкой к члену объема. ${\displaystyle a_{\text{S}}A^{2/3}}$

Член объема предполагает, что каждый нуклон взаимодействует с постоянным числом нуклонов, независимым от A . Хотя это почти справедливо для нуклонов глубоко внутри ядра, у нуклонов на поверхности ядра меньше ближайших соседей, что оправдывает эту поправку. Это также можно рассматривать как термин поверхностного натяжения, и действительно, аналогичный механизм создает поверхностное натяжение в жидкостях.

Если объем ядра пропорционален A , то радиус должен быть пропорционален, а площадь поверхности - . Это объясняет, почему поверхностный член пропорционален . Также можно сделать вывод, что он должен иметь порядок величины, аналогичный . ${\displaystyle A^{1/3}}$ ${\displaystyle A^{2/3}}$ ${\displaystyle A^{2/3}}$ ${\displaystyle a_{\text{S}}}$ ${\displaystyle a_{\text{V}}}$

Кулоновский член

Термин или известен как кулоновский или электростатический член . ${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$ ${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$

В основе этого термина лежит электростатическое отталкивание между протонами. В очень грубом приближении ядро ​​можно рассматривать как сферу с однородной плотностью заряда . Можно показать, что потенциальная энергия такого распределения заряда равна

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}},}$

где Q — полный заряд, а R — радиус сферы. Значение можно приблизительно рассчитать, используя это уравнение для расчета потенциальной энергии, используя эмпирический ядерный радиус и Q = Ze . Однако, поскольку электростатическое отталкивание будет существовать только для более чем одного протона, становится : ${\displaystyle a_{\text{C}}}$ ${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle Z^{2}}$ ${\displaystyle Z(Z-1)}$

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(Ze)^{2}}{r_{0}A^{1/3}}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}=a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}},}$

где теперь электростатическая постоянная Кулона равна ${\displaystyle a_{\text{C}}}$

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}.}$

Используя константу тонкой структуры , мы можем переписать значение как ${\displaystyle a_{\text{C}}}$

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}={\frac {3}{5}}{\frac {R_{\text{P}}}{r_{0}}}\alpha m_{\text{p}}c^{2},}$

где – постоянная тонкой структуры, – радиус ядра , равный примерно 1,25  фемтометра . – приведенная для протона комптоновская длина волны , – масса протона. Это дает приблизительное теоретическое значение 0,691  МэВ , что недалеко от измеренного значения. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle R_{\text{P}}}$ ${\displaystyle m_{\text{p}}}$ ${\displaystyle a_{\text{C}}}$

Термин асимметрии

Иллюстрация основы асимметричного термина

Этот термин известен как термин асимметрии (или термин Паули ). ${\displaystyle a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$

Теоретическое обоснование этого термина более сложное. Принцип исключения Паули гласит, что никакие два идентичных фермиона не могут занимать в атоме одно и то же квантовое состояние . На данном уровне энергии частицам доступно лишь конечное число квантовых состояний. В ядре это означает, что по мере «добавления» большего количества частиц эти частицы должны занимать более высокие энергетические уровни, увеличивая общую энергию ядра (и уменьшая энергию связи). Обратите внимание, что этот эффект не основан ни на одной из фундаментальных сил ( гравитационной , электромагнитной и т. д.), а только на принципе Паули.

Протоны и нейтроны, будучи разными типами частиц, занимают разные квантовые состояния. Можно представить два разных «бассейна» состояний – один для протонов, другой для нейтронов. Вот, например, если в ядре нейтронов значительно больше, чем протонов, энергия некоторых нейтронов будет выше, чем имеющиеся состояния в пуле протонов. Если бы мы могли переместить некоторые частицы из пула нейтронов в пул протонов, другими словами, превратить некоторые нейтроны в протоны, мы бы значительно уменьшили энергию. Дисбаланс между количеством протонов и нейтронов приводит к тому, что энергия оказывается выше, чем необходимо для данного числа нуклонов . На этом основан термин асимметрия.

Фактическую форму члена асимметрии можно снова получить, моделируя ядро ​​как ферми-шар из протонов и нейтронов. Его полная кинетическая энергия равна

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}(Z\varepsilon _{\text{F,p}}+N\varepsilon _{\text{F,n}}),}$

где и – энергии Ферми протонов и нейтронов. Поскольку они пропорциональны и соответственно, получаем ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,p}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,n}}}$ ${\displaystyle Z^{2/3}}$ ${\displaystyle N^{2/3}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$для некоторой постоянной C .

Тогда ведущими членами разложения разности будут ${\displaystyle N-Z}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {C}{2^{2/3}}}\left(A^{5/3}+{\frac {5}{9}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A^{1/3}}}\right)+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

В нулевом порядке разложения кинетическая энергия равна общей энергии Ферми , умноженной на . Таким образом мы получаем ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}\equiv \varepsilon _{\text{F,p}}=\varepsilon _{\text{F,n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}A+{\frac {1}{3}}\varepsilon _{\text{F}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

Первый член вносит вклад в объемный член в полуэмпирической формуле массы, а второй член минус член асимметрии (помните, что кинетическая энергия вносит вклад в общую энергию связи с отрицательным знаком ).

${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$составляет 38 МэВ , поэтому, рассчитывая по приведенному выше уравнению, мы получаем только половину измеренного значения. Расхождение объясняется неточностью нашей модели: нуклоны фактически взаимодействуют друг с другом и не распределены по ядру неравномерно. Например, в оболочечной модели протон и нейтрон с перекрывающимися волновыми функциями будут иметь между собой более сильное взаимодействие и более сильную энергию связи. Это делает энергетически выгодным (т. е. имеющим более низкую энергию) протоны и нейтроны иметь одинаковые квантовые числа (кроме изоспина ), и, таким образом, увеличивают энергетические затраты на асимметрию между ними. ${\displaystyle a_{\text{A}}}$

Термин асимметрия можно также понять интуитивно следующим образом. Она должна зависеть от абсолютной разности , а форма должна быть простой и дифференцируемой , что важно для некоторых применений формулы. Кроме того, небольшие различия между Z и N не требуют больших энергетических затрат. A в знаменателе отражает тот факт, что данная разница менее значительна для больших значений A. ${\displaystyle |N-Z|}$ ${\displaystyle (N-Z)^{2}}$ ${\displaystyle |N-Z|}$

Срок сопряжения

Величина спаривающего члена в полной энергии связи для четно-четных и нечетно-нечетных ядер в зависимости от массового числа. Показаны два соответствия (синяя и красная линии). Термин спаривания (положительный для четно-четных и отрицательный для нечетно-нечетных ядер) был получен на основе данных об энергии связи в: G. Audi et al., «The AME2012 atomic Mass Assessment», в Chinese Physics C, 36 (2012/ 12) стр. 1287–1602.

Этот термин известен как термин спаривания (возможно, также известный как парное взаимодействие). Этот термин отражает эффект спиновой связи. Это определяется ^[5] ${\displaystyle \delta (A,Z)}$

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&{\text{for even }}Z,N~({\text{even }}A),\\0&{\text{for odd }}A,\\-\delta _{0}&{\text{for odd }}Z,N~({\text{even }}A),\end{cases}}}$

где эмпирически установлено , что оно имеет значение около 1000 кэВ, медленно уменьшающееся с массовым числом  A. Энергия связи может быть увеличена путем преобразования одного из нечетных протонов или нейтронов в нейтрон или протон, так что нечетный нуклон может образовать пару со своим нечетным соседом, образуя [ необходимы ^{разъяснения ] и} даже Z , N. Пара имеет перекрывающиеся волновые функции и расположена очень близко друг к другу, а связь сильнее, чем в любой другой конфигурации. ^[5] Когда термин спаривания подставляется в уравнение энергии связи, для четных Z , N термин спаривания добавляет энергию связи, а для нечетных Z , N термин спаривания удаляет энергию связи. ${\displaystyle \delta _{0}}$

Зависимость от массового числа обычно параметризуют как

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{k_{\text{P}}}.}$

Значение показателя k _P определяется из экспериментальных данных по энергии связи. Раньше его значение часто принималось равным -3/4, но современные экспериментальные данные показывают, что значение -1/2 ближе к отметке:

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-1/2}}$или ${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-3/4}.}$

Согласно принципу Паули, ядро ​​имело бы меньшую энергию, если бы число протонов со спином вверх было равно числу протонов со спином вниз. Это справедливо и для нейтронов. Только если Z и N четны, протоны и нейтроны могут иметь одинаковое количество частиц со спином вверх и вниз. Это эффект, аналогичный термину асимметрии.

Этот фактор нелегко объяснить теоретически. Расчет шара Ферми, который мы использовали выше, основанный на модели жидкой капли, но без учета взаимодействий, даст зависимость , как и в члене асимметрии. Это означает, что фактический эффект для больших ядер будет больше, чем ожидалось этой моделью. Это следует объяснить взаимодействиями между нуклонами. Например, в модели оболочки два протона с одинаковыми квантовыми числами (кроме спина ) будут иметь полностью перекрывающиеся волновые функции и, таким образом, будут иметь более сильное взаимодействие между ними и более сильную энергию связи. Это делает протоны энергетически выгодными (т.е. имеющими более низкую энергию) для образования пар с противоположным спином. То же самое справедливо и для нейтронов. ${\displaystyle A^{k_{\text{P}}}}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Расчет коэффициентов

Коэффициенты рассчитываются путем подгонки к экспериментально измеренным массам ядер. Их значения могут варьироваться в зависимости от того, как они соответствуют данным и какая единица измерения используется для выражения массы. Несколько примеров показаны ниже.

Формула не учитывает внутреннюю оболочечную структуру ядра.

Таким образом, полуэмпирическая формула массы хорошо подходит для более тяжелых ядер и плохо подходит для очень легких ядер, особенно 4 He . Для легких ядер обычно лучше использовать модель, учитывающую эту оболочечную структуру.

Примеры следствий формулы

Максимизируя E _b ( A , Z ) по отношению к Z , можно было бы найти лучшее соотношение нейтрон-протонов N / Z для данного атомного веса A . ^[8] Получаем

${\displaystyle N/Z\approx 1+{\frac {a_{\text{C}}}{2a_{\text{A}}}}A^{2/3}.}$

Для легких ядер это примерно 1, но для тяжелых ядер отношение растет в хорошем согласии с экспериментом .

Подставив указанное выше значение Z обратно в E _b , можно получить энергию связи как функцию атомного веса E _b ( A ) . Максимизация E _b ( A )/ A по отношению к A дает ядро, которое наиболее прочно связано, т. е. наиболее стабильно. Значение, которое мы получаем, — A = 63 ( медь ), близкое к измеренным значениям A = 62 ( никель ) и A = 58 ( железо ).

Модель жидкой капли также позволяет рассчитывать барьеры деления ядер, которые определяют устойчивость ядра к спонтанному делению . Первоначально предполагалось, что элементы за пределами атомного номера 104 не могут существовать, поскольку они будут подвергаться делению с очень коротким периодом полураспада, ^[10] , хотя эта формула не учитывала стабилизирующее воздействие замкнутых ядерных оболочек . Модифицированная формула, учитывающая оболочечные эффекты, воспроизводит известные данные и предсказанный остров стабильности (в котором ожидается увеличение барьеров деления и периодов полураспада, достигая максимума при замыкании оболочки), но также предполагает возможный предел существования сверхтяжелых ядер за пределами Z  =  120 и N  = 184. ^[10]

Рекомендации

1. Гамов, Георгий (1930). «Кривая массового дефекта и ядерная конституция». Труды Королевского общества А. 126 (803): 632–644. Бибкод : 1930RSPSA.126..632G. дои : 10.1098/rspa.1930.0032 . JSTOR  95297.
2. фон Вайцзеккер, CF (1935). «Zur Theorie der Kernmassen». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 96 (7–8): 431–458. Бибкод : 1935ZPhy...96..431W. дои : 10.1007/BF01337700. S2CID  118231854.
3. Государственный университет Орегона. «Ядерные массы и связывающая энергия, урок 3» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 сентября 2015 года . Проверено 30 сентября 2015 г.
4. Кирсон, Майкл В. (1 января 2008 г.). «Взаимное влияние членов в полуэмпирической формуле массы». Ядерная физика А . 798 (1): 29–60. Бибкод : 2008NuPhA.798...29K. doi :10.1016/j.nuclphysa.2007.10.011. ISSN  0375-9474.
5. Мартин, БР; Дж. Шоу (2019). Ядерная физика и физика элементарных частиц: введение (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси. п. 62. ИСБН 978-1-119-34462-9. ОСЛК  1078954632.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
6. Айсберг, Роберт; Резник, Роберт (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (второе изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 528. ИСБН 0-471-87373-Х.
7. Алонсо, Марсело; Финн, Эдвард Дж. (1969). Фундаментальная университетская физика. Том. III. Квантовая и статистическая физика . Издательская компания Аддисон-Уэсли . п. 297.
8. Рольф, JW (1994). Современная физика от α до Z ⁰ . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0471572701.
9. Вапстра, AH (1958). «Атомные массы нуклидов». Во Флюгге, С. (ред.). Внешние свойства атомных ядер / Äussere Eigenschaften der Atomkerne . Энциклопедия физики. Том. 8/38/1. Спрингер . стр. 1–37. Бибкод : 1958HDP....38....1W. дои : 10.1007/978-3-642-45901-6_1. ISBN 978-3-642-45902-3.
10. Мёллер, П. (2016). «Границы ядерной карты, установленные делением и альфа-распадом» (PDF) . Сеть конференций EPJ . 131 : 03002: 1–8. Бибкод : 2016EPJWC.13103002M. дои : 10.1051/epjconf/201613103002 .

Источники

• Фридман, Р.; Янг, Х. (2004). Университетская физика Сирса и Земанского с современной физикой (11-е изд.). стр. 1633–1634. ISBN 978-0-8053-8768-1.
• Ливерант, SE (1960). Элементарное введение в физику ядерных реакторов . Джон Уайли и сыновья . стр. 58–62. LCCN  60011725.
• Чоппин, Г.; Лильензин, Ж.-О.; Ридберг, Дж. (2002). «Ядерная масса и стабильность» (PDF) . Радиохимия и ядерная химия (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . стр. 41–57. ISBN 978-0-7506-7463-8.

Внешние ссылки

• Модель капли ядерной жидкости в онлайн-справочнике по гиперфизике Университета штата Джорджия .
• Модель жидкой капли с подгонкой параметров на основе первых наблюдений возбужденных состояний в нейтронно-дефицитных ядрах ^160,161 W и ¹⁵⁹ Ta , Алекс Кинан, докторская диссертация, Ливерпульский университет , 1999 (версия HTML).