Отдельные наборы

Тип отношения для подмножеств топологического пространства

В топологии и смежных разделах математики разделенные множества — это пары подмножеств данного топологического пространства , которые связаны друг с другом определенным образом: грубо говоря, не перекрываясь и не соприкасаясь. Понятие о том, когда два множества разделены или нет, важно как для понятия связных пространств (и их связных компонентов), так и для аксиом разделения топологических пространств.

Разделенные множества не следует путать с разделенными пространствами (определенными ниже), которые в некоторой степени родственны, но различны. Сепарабельные пространства — это снова совершенно другая топологическая концепция.

Определения

Существуют различные способы разделения двух подмножеств топологического пространства . Самый простой способ разделения двух множеств — это если они не пересекаются , то есть если их пересечение является пустым множеством . Это свойство не имеет ничего общего с топологией как таковой, а лишь с теорией множеств . Каждое из приведенных ниже свойств является более строгим, чем непересекаемость, и включает в себя некоторую топологическую информацию. Свойства представлены в порядке возрастания специфичности, каждое из которых является более сильным понятием, чем предыдущее. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

Более ограничительное свойство заключается в том, что и ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$разделены ,замыканиемдругого: ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle A\cap {\bar {B}}=\varnothing ={\bar {A}}\cap B.}$$

Это свойство известно как условие разделения Хаусдорфа-Ленна . ^[1] Поскольку каждое множество содержится в своем замыкании, два отдельных множества автоматически должны быть непересекающимися. Сами замыкания не обязательно должны быть отделены друг от друга; например, интервалы и разделены на реальной линии , хотя точка 1 принадлежит обоим их замыканиям. Более общий пример состоит в том, что в любом метрическом пространстве два открытых шара разделяются всякий раз, когда Свойство быть разделенными также может быть выражено через производное множество (обозначенное штриховым символом): и разделяются, когда они не пересекаются и каждый из них не пересекаются с производным множеством другого, то есть (Как и в случае с первой версией определения, производные множества и не обязаны быть непересекающимися друг с другом.) ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\}}$ ${\displaystyle B_{s}(q)=\{x\in X:d(q,x)<s\}}$ ${\displaystyle d(p,q)\geq r+s.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\textstyle A'\cap B=\varnothing =B'\cap A.}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle B'}$

Наборы и есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$разделены окрестностями , если существуютокрестности итакие,чтоине пересекаются. (Иногда вы увидите требование, чтобыибыли открытыми окрестностями, но в конечном итоге это не имеет никакого значения.) В качестве примераивы можете взятьиотметить, что если любые два множества разделены окрестностями, то они, безусловно, разделены. Еслииоткрыты и не пересекаются, то они должны быть разделены окрестностями; просто возьмитеиПо этой причине разделённость часто используется с замкнутыми множествами (как вобычной аксиоме разделения). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A=[0,1)}$ ${\displaystyle B=(1,2],}$ ${\displaystyle U=(-1,1)}$ ${\displaystyle V=(1,3).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U=A}$ ${\displaystyle V=B.}$

Наборы и есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$разделены замкнутыми окрестностями ,если существуютзамкнутаяокрестностьи замкнутая окрестностьтаких, чтоине пересекаются. Наши примерыинеразделенызакрытыми кварталами. Вы можете сделать любойиз них закрытым, включив в него точку 1, но вы не можете сделать их оба закрытыми, сохраняя при этом их непересекающимися. Заметим, что если любые два множества разделены замкнутыми окрестностями, то они, конечно же, разделены окрестностями. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2],}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Наборы и есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$разделены непрерывной функцией , если существуетнепрерывная функция от пространствадо действительной линиитакая, чтои, то есть членыкарты равны 0, а членыкарты равны 1. (Иногдав этом определениивместо единичного интервала используетсяединичный интервал., но это не имеет значения.) В нашем примереине разделены функцией, потому что нет возможности непрерывного определенияв точке 1.^[2]Если два множества разделены непрерывной функцией, то они также разделены закрытыми кварталами; окрестности могут быть заданы в терминахпрообразаasигделюбоеположительноедействительное числоменьше ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=f^{-1}[-c,c]}$ ${\displaystyle V=f^{-1}[1-c,1+c],}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1/2.}$

Наборы и есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$точно разделены непрерывной функцией, если существуеттакая непрерывная функция, чтои(Опять же, вы также можете увидеть единичный интервал вместои снова это не имеет значения.) Обратите внимание, что если любые два множества точно разделены функцией, то они разделены функцией. Посколькуизамкнутытолько в замкнутых множествах, которые могут быть точно разделены функцией, но то, что два множества замкнуты и разделены функцией, не означает, что они автоматически точно разделяются функцией (даже другой функцией). ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle B=f^{-1}(1).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Связь с аксиомами разделения и разделенными пространствами

Аксиомы разделения — это различные условия, которые иногда накладываются на топологические пространства, многие из которых можно описать в терминах различных типов разделенных множеств. В качестве примера мы определим аксиому T ₂ , которая представляет собой условие, налагаемое на разделенные пространства. В частности, топологическое пространство является разделенным , если для любых двух различных точек x и y одноэлементные множества { x } и { y } разделены окрестностями.

Разделенные пространства обычно называют пространствами Хаусдорфа или пространствами Т ₂ .

Отношение к связанным пространствам

Учитывая топологическое пространство X , иногда полезно рассмотреть вопрос о том, возможно ли отделить подмножество A от его дополнения . Это, конечно, верно, если A — это либо пустое множество, либо все пространство X , но могут быть и другие возможности. Топологическое пространство X связно , если это единственные две возможности. И наоборот, если непустое подмножество A отделено от своего собственного дополнения и если единственным подмножеством A , обладающим этим свойством , является пустое множество, то A является компонентом открытой связности X . (В вырожденном случае, когда X само по себе является пустым множеством , мнения расходятся во мнениях относительно того, является ли оно связным и является ли его открыто-связным компонентом.) ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$

Отношение к топологически различимым точкам

В топологическом пространстве X две точки x и y топологически различимы, если существует открытое множество , которому одна точка принадлежит, а другая нет. Если x и y топологически различимы, то одноэлементные множества { x } и { y } должны быть непересекающимися. С другой стороны, если синглтоны { x } и { y } разделены, то точки x и y должны быть топологически различимы. Таким образом, для синглтонов топологическая различимость является промежуточным состоянием между дизъюнктностью и разделенностью.

Смотрите также

• Пространство Хаусдорфа  - Тип топологического пространства.
• Локально Хаусдорфово пространство
• Аксиома разделения  - аксиомы топологии, определяющие понятие «разделения».

Цитаты

1. Первин 1964, с. 51
2. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл. п. 211. ИСБН 0-13-181629-2.

Источники

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис-Холл . ISBN 0-13-181629-2.
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Аддисон-Уэсли . ISBN 0-486-43479-6.
• Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press