Полуторалинейная форма

Обобщение билинейной формы

В математике полуторалинейная форма является обобщением билинейной формы , которая, в свою очередь, является обобщением концепции скалярного произведения евклидова пространства . Билинейная форма линейна по каждому из своих аргументов, но полуторалинейная форма позволяет одному из аргументов быть «скрученным» полулинейным образом , отсюда и название; которое происходит от латинского числового префикса sesqui-, означающего «один с половиной». Основная концепция скалярного произведения — получение скаляра из пары векторов — может быть обобщена, допуская более широкий диапазон скалярных значений и, возможно, одновременно, расширяя определение вектора.

Мотивирующим частным случаем является полуторалинейная форма на комплексном векторном пространстве V . Это отображение V × V → C , которое линейно по одному аргументу и «изменяет» линейность другого аргумента комплексным сопряжением (называемым антилинейным по другому аргументу). Этот случай естественным образом возникает в приложениях математической физики. Другой важный случай позволяет скалярам происходить из любого поля , а изменение обеспечивается автоморфизмом поля .

Приложение в проективной геометрии требует, чтобы скаляры происходили из деления кольца (тела), K , и это означает, что «векторы» должны быть заменены элементами K -модуля . В очень общей ситуации полуторалинейные формы могут быть определены над R -модулями для произвольных колец R.

Неформальное знакомство

Полуторалинейные формы абстрагируют и обобщают основное понятие эрмитовой формы на комплексном векторном пространстве . Эрмитовы формы обычно рассматриваются в физике как скалярное произведение на комплексном гильбертовом пространстве . В таких случаях стандартная эрмитова форма на C ⁿ задается как

${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$

где обозначает комплексное сопряжение Это произведение может быть обобщено на ситуации, когда не работаете с ортонормированным базисом для C ⁿ или даже с каким-либо базисом вообще. Вставляя дополнительный множитель в произведение, получаем косоэрмитову форму , более точно определенную ниже. Нет особой причины ограничивать определение комплексными числами; его можно определить для произвольных колец , несущих антиавтоморфизм , неформально понимаемый как обобщенное понятие «комплексного сопряжения» для кольца. ${\displaystyle {\overline {w}}_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}~.}$ ${\displaystyle i}$

Соглашение

Соглашения о том, какой аргумент должен быть линейным, различаются. В коммутативном случае мы будем считать первый аргумент линейным, как это принято в математической литературе, за исключением раздела, посвященного полуторалинейным формам на комплексных векторных пространствах. Там мы используем другое соглашение и считаем первый аргумент сопряженно-линейным (т. е. антилинейным), а второй — линейным. Это соглашение в основном используется физиками ^[1] и берет начало в обозначении Дирака в квантовой механике . Оно также согласуется с определением обычного (евклидова) произведения как . ${\displaystyle w,z\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle w^{*}z}$

В более общей некоммутативной ситуации для правых модулей мы считаем второй аргумент линейным, а для левых модулей мы считаем первый аргумент линейным.

Комплексные векторные пространства

Предположение : В этом разделе полуторалинейные формы являются антилинейными по своему первому аргументу и линейными по своему второму аргументу.

В комплексном векторном пространстве отображение является полуторалинейным, если ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi :V\times V\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)={\overline {a}}b\,\varphi (x,y)\end{aligned}}}$

для всех и вся Здесь, комплексно сопряженный скаляр ${\displaystyle x,y,z,w\in V}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle {\overline {a}}}$ ${\displaystyle a.}$

Комплексную полуторалинейную форму можно также рассматривать как комплексное билинейное отображение , где — комплексно-сопряженное векторное пространство. По универсальному свойству тензорных произведений они находятся во взаимно-однозначном соответствии с комплексными линейными отображениями. $${\displaystyle {\overline {V}}\times V\to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle V.}$ $${\displaystyle {\overline {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .}$$

Для фиксированного отображение является линейным функционалом на (т.е. элементом сопряженного пространства ). Аналогично отображение является сопряженно-линейным функционалом на ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle w\mapsto \varphi (z,w)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle w\mapsto \varphi (w,z)}$ ${\displaystyle V.}$

Для любой комплексной полуторалинейной формы на мы можем определить вторую комплексную полуторалинейную форму с помощью сопряженного транспонирования : В общем случае и будут разными. Если они одинаковы, то говорят, что она эрмитова . Если они отрицательны друг другу, то говорят, что она косоэрмитова . Каждая полуторалинейная форма может быть записана как сумма эрмитовой формы и косоэрмитовой формы. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Матричное представление

Если — конечномерное комплексное векторное пространство, то относительно любого базиса полуторалинейной формы представляется матрицей и задается выражением , где — сопряженное транспонирование . Компоненты матрицы задаются выражением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle A,}$ $${\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}{\overline {w_{i}}}z_{j}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\dagger }Az.}$$ ${\displaystyle w^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).}$

Эрмитова форма

Термин «эрмитова форма» может также относиться к иному понятию, нежели то, что объяснено ниже: он может относиться к определенной дифференциальной форме на эрмитовом многообразии .

Комплексная эрмитова форма (также называемая симметричной полуторалинейной формой ) — это полуторалинейная форма, такая что Стандартная эрмитова форма на задается (опять же, с использованием «физического» соглашения о линейности по второй и сопряженной линейности по первой переменной) выражением В более общем смысле, скалярное произведение в любом комплексном гильбертовом пространстве является эрмитовой формой. ${\displaystyle h:V\times V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ $${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$$

В эрмитовой форме вводится знак минус для определения группы SU(1,1) . ${\displaystyle ww^{*}-zz^{*}}$

Векторное пространство с эрмитовой формой называется эрмитовым пространством . ${\displaystyle (V,h)}$

Матричное представление комплексной эрмитовой формы — эрмитова матрица .

Комплексная эрмитова форма, примененная к одному вектору, всегда является действительным числом . Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма действительна для всех $${\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}$$ ${\displaystyle z\in V.}$

Косоэрмитова форма

Комплексная косоэрмитова форма (также называемая антисимметричной полуторалинейной формой ) — это комплексная полуторалинейная форма , такая что Каждая комплексная косоэрмитова форма может быть записана как мнимая единица, умноженная на эрмитову форму. ${\displaystyle s:V\times V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.}$$ ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}}}$

Матричное представление комплексной косоэрмитовой формы — это косоэрмитова матрица .

Комплексная косоэрмитова форма, примененная к одному вектору, всегда является чисто мнимым числом . $${\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}$$

Через разделительное кольцо

Этот раздел применяется без изменений, когда деление K коммутативно . Тогда также применяется более конкретная терминология: деление является полем, антиавтоморфизм также является автоморфизмом, а правый модуль является векторным пространством. Следующее применимо к левому модулю с подходящим переупорядочением выражений .

Определение

σ - полуторалинейной формой над правым K -модулем M называется биаддитивное отображение φ  : M × M → K с ассоциированным антиавтоморфизмом σ тела K таким, что для всех x , y из M и всех α , β из K ,

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\sigma (\alpha )\,\varphi (x,y)\,\beta .}$

Соответствующий антиавтоморфизм σ для любой ненулевой полуторалинейной формы φ однозначно определяется φ .

Ортогональность

Если задана полуторалинейная форма φ над модулем M и подпространство ( подмодуль ) W модуля M , то ортогональное дополнение W относительно φ равно

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.}$

Аналогично, x ∈ M ортогонален y ∈ M относительно φ , что записывается как x ⊥ φ _y ( или просто x ⊥ y , если φ можно вывести из контекста), когда φ ( x , y ) = 0. Это отношение не обязательно должно быть симметричным , т. е. x ⊥ y не подразумевает y ⊥ x (но см. § Рефлексивность ниже).

Рефлексивность

Полуторалинейная форма φ является рефлексивной , если для всех x , y из M ,

${\displaystyle \varphi (x,y)=0}$подразумевает ${\displaystyle \varphi (y,x)=0.}$

То есть полуторалинейная форма рефлексивна именно тогда, когда производное отношение ортогональности симметрично.

Эрмитовы вариации

σ - полуторалинейная форма φ называется ( σ , ε ) -эрмитовой , если существует ε из K такое, что для всех x , y из M

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))\,\varepsilon .}$

Если ε = 1 , то форма называется σ - эрмитовой , а если ε = −1 , то она называется σ - антиэрмитовой . (Когда подразумевается σ , то соответственно просто эрмитовой или антиэрмитовой .)

Для ненулевой ( σ , ε ) -эрмитовой формы следует, что для всех α из K ,

${\displaystyle \sigma (\varepsilon )=\varepsilon ^{-1}}$

${\displaystyle \sigma (\sigma (\alpha ))=\varepsilon \alpha \varepsilon ^{-1}.}$

Отсюда также следует, что φ ( x , x ) является неподвижной точкой отображения α ↦ σ ( α ) ε . Неподвижные точки этого отображения образуют подгруппу аддитивной группы K.

( σ , ε ) -эрмитова форма рефлексивна, и каждая рефлексивная σ - полуторалинейная форма является ( σ , ε ) -эрмитовой для некоторого ε . ^{[2] [3] [4] [5]}

В частном случае, когда σ является тождественным отображением (т.е. σ = id ), K коммутативен, φ является билинейной формой и ε ² = 1 . Тогда для ε = 1 билинейная форма называется симметричной , а для ε = −1 называется кососимметричной . ^[6]

Пример

Пусть V — трехмерное векторное пространство над конечным полем F = GF( q ² ) , где q — степень простого числа . Относительно стандартного базиса мы можем записать x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) и определить отображение φ следующим образом:

${\displaystyle \varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.}$

Отображение σ  : t ↦ t ^q является инволютивным автоморфизмом F . Отображение φ тогда является σ -полуторалинейной формой. Матрица M _{φ ,} связанная с этой формой, является единичной матрицей . Это эрмитова форма.

В проективной геометрии

Предположение : В этом разделе полуторалинейные формы являются антилинейными (соответственно линейными ) по своему второму (соответственно первому) аргументу.

В проективной геометрии G перестановка δ подпространств, которая инвертирует включение, т.е.

S ⊆ T ⇒ T ^δ ⊆ S ^δ для всех подпространств S , T из G ,

называется корреляцией . Результат Биркгофа и фон Неймана (1936) ^[7] показывает, что корреляции дезарговых проективных геометрий соответствуют невырожденным полуторалинейным формам на базовом векторном пространстве. ^[5] Полуторалинейная форма φ является невырожденной , если φ ( x , y ) = 0 для всех y в V (тогда и) только если x = 0 .

Для достижения полной общности этого утверждения, и поскольку каждая дезаргова проективная геометрия может быть скоординирована с помощью деления , Райнхольд Бэр расширил определение полуторалинейной формы до деления, что требует замены векторных пространств на R -модули . ^[8] (В геометрической литературе их до сих пор называют либо левыми, либо правыми векторными пространствами над телами.) ^[9]

По произвольным кольцам

Специализация приведенного выше раздела на skewfields была следствием применения к проективной геометрии, а не внутренне присущей природе полуторалинейных форм. Для обобщения версии определения произвольного поля на произвольные кольца требуются лишь незначительные изменения, необходимые для учета некоммутативности умножения.

Пусть R — кольцо , V — R - модуль и σ — антиавтоморфизм кольца R.​

Отображение φ  : V × V → R является σ -полуторалинейным , если

${\displaystyle \varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)}$

${\displaystyle \varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)}$

для всех x , y , z , w в V и всех c , d в R.

Элемент x ортогонален другому элементу y относительно полуторалинейной формы φ (записывается как x ⊥ y ), если φ ( x , y ) = 0. Это отношение не обязательно должно быть симметричным, т. е. x ⊥ y не подразумевает y ⊥ x .

Полуторалинейная форма φ  : V × V → R является рефлексивной (или ортосимметричной ), если φ ( x , y ) = 0 влечет φ ( y , x ) = 0 для всех x , y из V .

Полуторалинейная форма φ  : V × V → R является эрмитовой , если существует σ такое, что ^{[10] : 325}

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))}$

для всех x , y из V. Эрмитова форма обязательно рефлексивна, и если она не равна нулю, то связанный с ней антиавтоморфизм σ является инволюцией (т.е. имеет порядок 2).

Так как для антиавтоморфизма σ мы имеем σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) для всех s , t из R , то если σ = id , то R должно быть коммутативным и φ является билинейной формой. В частности, если в этом случае R является телом, то R является полем, а V является векторным пространством с билинейной формой.

Антиавтоморфизм σ  : R → R можно также рассматривать как изоморфизм R → R ^op , где R ^op — противоположное кольцо R , имеющее то же самое базовое множество и то же самое сложение, но операция умножения ( ∗ ) которого определяется как a ∗ b = ba , где произведение справа — это произведение в R . Из этого следует, что правый (левый) R -модуль V можно превратить в левый (правый) R ^op -модуль, V ^o . ^[11] Таким образом, полуторалинейную форму φ  : V × V → R можно рассматривать как билинейную форму φ ′ : V × V ^o → R .

Смотрите также

• *-кольцо

Примечания

1. сноска 1 в Энтони Кнаппе, «Основы алгебры» (2007), стр. 255
2. «Комбинаторика», Труды Института перспективных исследований НАТО, состоявшиеся в замке Ниенроде, Брекелен, Нидерланды, 8–20 июля 1974 г. , Д. Рейдель : 456–457, 1975 г.– [1]
3. Полуторалинейная форма в Encyclopedia of Mathematics
4. Симеон Болл (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения , Cambridge University Press , стр. 28– [2]
5. Дембовски 1968, стр. 42
6. При char K = 2 кососимметричные и симметричные билинейные формы совпадают, так как тогда 1 = −1 . Во всех случаях чередующиеся билинейные формы являются подмножеством кососимметричных билинейных форм и не должны рассматриваться отдельно.
7. Биркгоф, Г.; фон Нейман, Дж. (1936), «Логика квантовой механики», Annals of Mathematics , 37 (4): 823–843, doi :10.2307/1968621, JSTOR  1968621
8. Бэр, Рейнхольд (2005) [1952], Линейная алгебра и проективная геометрия , Довер, ISBN 978-0-486-44565-6
9. Терминология Бэра дает третий способ обозначения этих идей, поэтому его следует читать с осторожностью.
10. Фор, Клод-Ален; Фрёлихер, Альфред (2000), Современная проективная геометрия , Kluwer Academic Publishers
11. Якобсон 2009, стр. 164

Ссылки

• Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, МР  0233275
• Грюнберг, К. В.; Вейр, А. Дж. (1977), Линейная геометрия (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
• Якобсон, Натан Дж. (2009) [1985], Основы алгебры I (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1

Внешние ссылки

• «Полуторалинейная форма», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]