Установить оценку

В статистике случайный вектор $x$ классически представляется функцией плотности вероятности . В подходе на основе членства во множестве или оценке множеств x представляется множеством $X$ $,$ к которому, как предполагается, принадлежит $x . Это означает, что$ поддержка функции распределения вероятностей x $включена$ внутрь $X.$ С одной стороны, представление случайных векторов множествами позволяет предоставлять меньше предположений о случайных величинах (таких как независимость ), а также проще иметь дело с нелинейностями . С другой стороны, функция распределения вероятностей предоставляет более точную информацию, чем множество, охватывающее ее поддержку.

Оценка членства в множестве

Оценка членства множества (или оценка множества для краткости) — это подход к оценке , который считает, что измерения представлены множеством $Y$ (чаще всего ящиком ⁠ ⁠, $\mathbb {R} ^{м},$ где $m$ — количество измерений) пространства измерений. Если $p$ — вектор параметров, а $f$ — функция модели, то множество всех допустимых векторов параметров равно

$P=P_{0}\cap f^{-1}(Y),$

где $P 0$ — априорный набор параметров. Характеристика $P$ соответствует проблеме инверсии набора . ^[1]

Разрешение

Когда $f$ является линейным, допустимое множество $P$ может быть описано линейными неравенствами и может быть аппроксимировано с использованием методов линейного программирования . ^[2]

Когда $f$ нелинейно, разрешение может быть выполнено с использованием интервального анализа . Допустимое множество $P$ затем аппроксимируется внутренним и внешним подмостями . Основным ограничением метода является его экспоненциальная сложность по отношению к числу параметров. ^[3]

Пример

Рассмотрим следующую модель

$\phi (p_{1},p_{2},t)=(tp_{1})^{2}+tp_{2}^{2}+\sin(p_{1}+tp_{2}),$

где $p 1$ и $p 2$ — два параметра, которые необходимо оценить.

Предположим, что в моменты времени $t 1 = -1$ , $t 2 = 1$ , $t 3 = 2$ были собраны следующие интервальные измерения: как показано на рисунке 1. Соответствующий набор измерений (здесь прямоугольник) равен ${\begin{array}{rclr}[y_{1}]&=&[-4,&-2],\\{}[y_{2}]&=&[\quad \!4,&9],\\{}[y_{3}]&=&[\quad \!7,&11],\end{array}}$

$Y=[y_{1}]\times [y_{2}]\times [y_{3}].$

Модельная функция определяется как

$f(p_{1},p_{2})={\begin{bmatrix}p_{1}^{2}-p_{2}^{2}+\sin(p_{1}-p_{2})\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+p_{2})\\(2p_{1})^{2}+2p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+2p_{2})\end{bmatrix}}$

Компоненты $f$ получаются с использованием модели для каждого измерения времени. После решения задачи инверсии множества мы получаем приближение, изображенное на рисунке 2. Красные поля находятся внутри допустимого множества $P$ , а синие поля — за его $пределами$ .

Рекурсивный случай

Оценка множества может быть использована для оценки состояния системы, описанной уравнениями состояния, с использованием рекурсивной реализации. Когда система линейна, соответствующее допустимое множество для вектора состояния может быть описано многогранниками или эллипсоидами ^[4] . ^[5] Когда система нелинейна, множество может быть заключено в подмощения. ^[6]

Прочный корпус

При возникновении выбросов метод оценки множества обычно возвращает пустой набор. Это связано с тем, что пересечение между наборами векторов параметров, которые согласуются с $i$ -м столбцом данных, пусто. Чтобы быть надежными относительно выбросов, мы обычно характеризуем набор векторов параметров, которые согласуются со всеми столбцами данных, за исключением $q$ из них. Это возможно с использованием понятия $q$ - ослабленного пересечения .

Смотрите также

Установить идентификацию

Ссылки

^ Жолен, Л.; Уолтер, Э. (1993). "Гарантированная нелинейная оценка параметров с помощью интервальных вычислений" (PDF) . Интервальные вычисления .
^ Уолтер, Э.; Пит-Лаханиер, Х. (1989). «Точное рекурсивное полиэдральное описание допустимого набора параметров для моделей с ограниченной ошибкой». Труды IEEE по автоматическому управлению . 34 (8): 911–915. doi :10.1109/9.29443.
^ Крейнович, В.; Лакеев, А.В.; Рон, Дж.; Каль, П.Т. (1997). «Вычислительная сложность и осуществимость обработки данных и интервальных вычислений». Надежные вычисления . 4 (4).
^ Фогель, Э.; Хуан, Й. Ф. (1982). «О ценности информации в системной идентификации — случай ограниченного шума». Automatica . 18 (2): 229–238. doi :10.1016/0005-1098(82)90110-8.
^ Schweppe, FC (1968). «Рекурсивная оценка состояния: неизвестные, но ограниченные ошибки и входные данные системы». Труды IEEE по автоматическому управлению . 13 (1): 22–28. doi :10.1109/tac.1968.1098790.
^ Киффер, М.; Жолен, Л.; Уолтер, Э. (1998). "Гарантированная рекурсивная нелинейная оценка состояния с использованием интервального анализа" (PDF) . Труды 37-й конференции IEEE по принятию решений и управлению . 4 .