В математике простая группа — это нетривиальная группа , единственными нормальными подгруппами которой являются тривиальная группа и сама группа. Непростую группу можно разбить на две меньшие группы, а именно на нетривиальную нормальную подгруппу и соответствующую факторгруппу . Этот процесс можно повторить, и для конечных групп в конечном итоге можно прийти к однозначно определенным простым группам по теореме Йордана – Гёльдера .
Полная классификация конечных простых групп , завершенная в 2004 году, является важной вехой в истории математики.
Циклическая группа классов конгруэнции по модулю 3 (см. модульную арифметику ) проста. Если является подгруппой этой группы, ее порядок (количество элементов) должен быть делителем порядка 3. Поскольку 3 простое число, ее единственные делители - 1 и 3, поэтому либо есть , либо является тривиальной группой . С другой стороны, группа непростая. Набор классов конгруэнтности 0, 4 и 8 по модулю 12 является подгруппой порядка 3 и является нормальной подгруппой, поскольку любая подгруппа абелевой группы нормальна. Точно так же аддитивная группа целых чисел не проста; множество четных целых чисел является нетривиальной собственной нормальной подгруппой. [1]
Можно использовать те же рассуждения для любой абелевой группы, чтобы прийти к выводу, что единственными простыми абелевыми группами являются циклические группы простого порядка . Классификация неабелевых простых групп гораздо менее тривиальна. Наименьшая неабелева простая группа — знакопеременная группа порядка 60, а каждая простая группа порядка 60 изоморфна . [2] Вторая наименьшая неабелева простая группа — это проективная специальная линейная группа PSL(2,7) порядка 168, и каждая простая группа порядка 168 изоморфна PSL(2,7). [3] [4]
Бесконечная знакопеременная группа , т. е. группа четных перестановок целых чисел с конечным носителем, проста. Эту группу можно записать как возрастающее объединение конечных простых групп относительно стандартных вложений . Другое семейство примеров бесконечных простых групп дается , где – бесконечное поле и .
Гораздо сложнее построить конечно порожденные бесконечные простые группы. Первый результат существования неявный; оно принадлежит Грэму Хигману и состоит из простых факторов группы Хигмана . [5] Явные примеры, которые оказываются конечно представленными, включают бесконечные группы Томпсона и . Конечно определенные бесконечные простые группы без кручения были построены Бюргером и Мозесом. [6]
Классификация общих (бесконечных) простых групп пока не известна и не предвидится. [ нужна цитата ]
Конечные простые группы важны, потому что в определенном смысле они являются «основными строительными блоками» всех конечных групп, что в некоторой степени похоже на то, как простые числа являются основными строительными блоками целых чисел . Это выражено теоремой Джордана-Гельдера , которая утверждает, что любые два композиционных ряда данной группы имеют одинаковую длину и одинаковые множители с точностью до перестановки и изоморфизма . Благодаря огромным совместным усилиям классификация конечных простых групп была объявлена завершенной в 1983 году Дэниелом Горенштейном , хотя всплыли некоторые проблемы (в частности, в классификации квазитонких групп , которые были закрыты в 2004 году).
Вкратце, конечные простые группы классифицируются как принадлежащие к одному из 18 семейств или входящие в одно из 26 исключений:
Знаменитая теорема Фейта и Томпсона утверждает , что любая группа нечетного порядка разрешима . Следовательно, каждая конечная простая группа имеет четный порядок, если только она не является циклической простого порядка.
Гипотеза Шрайера утверждает, что группа внешних автоморфизмов любой конечной простой группы разрешима. Это можно доказать с помощью классификационной теоремы.
В истории конечных простых групп есть две нити — открытие и построение конкретных простых групп и семейств, проходившее от работ Галуа в 1820-х годах до построения «Монстра» в 1981 году; и доказательство того, что этот список был полным, которое началось в 19 веке, наиболее значимо имело место в период с 1955 по 1983 год (когда была первоначально объявлена победа), но было общепринято завершить его только в 2004 году. По состоянию на 2010 год [update]работа над улучшением доказательств и понимание продолжается; см. (Silvestri 1979) историю простых групп XIX века.
Простые группы изучались, по крайней мере, со времен ранней теории Галуа , когда Эварист Галуа понял, что тот факт, что чередующиеся группы в пяти или более точках являются простыми (и, следовательно, неразрешимыми), что он доказал в 1831 году, был причиной того, что нельзя решить квинтику в радикалах. Галуа также построил проективную специальную линейную группу плоскости над простым конечным полем PSL(2, p ) и заметил, что они просты для p , а не для 2 или 3. Это содержится в его последнем письме Шевалье [7] и являются следующим примером конечных простых групп. [8]
Следующие открытия были сделаны Камиллой Жорданом в 1870 году. [9] Джордан нашел 4 семейства простых матричных групп над конечными полями простого порядка, которые теперь известны как классические группы .
Примерно в то же время было показано, что семейство из пяти групп, названное группами Матье и впервые описанное Эмилем Леонаром Матье в 1861 и 1873 годах, также является простым. Поскольку эти пять групп были построены методами, которые не давали бесконечно много возможностей, Уильям Бернсайд в своем учебнике 1897 года назвал их « спорадическими » .
Позже результаты Джордана о классических группах были обобщены на произвольные конечные поля Леонардом Диксоном после классификации сложных простых алгебр Ли Вильгельма Киллинга . Диксон также построил группы исключений типов G2 и E6 , но не типов F4 , E7 или E8 ( Wilson 2009, стр. 2) . В 1950-х годах работа над группами лиева типа была продолжена: Клод Шевалле в статье 1955 года дал единую конструкцию классических групп и групп исключительного типа. При этом были опущены некоторые известные группы (проективные унитарные группы), полученные «перекручиванием» конструкции Шевалле. Остальные группы лиева типа были созданы Стейнбергом, Титсом и Герцигом (которые произвели 3 D 4 ( q ) и 2 E 6 ( q )) и Сузуки и Ри ( группы Сузуки–Ри ).
Эти группы (группы лиева типа вместе с циклическими группами, знакопеременными группами и пятью исключительными группами Матье) считались полным списком, но после почти столетнего затишья со времени работы Матье в 1964 г. была открыта первая группа Янко , а остальные 20 спорадических групп были открыты или предположены в 1965–1975 годах, кульминацией которых стал 1981 год, когда Роберт Грис объявил, что он построил « группу монстров » Бернда Фишера . Монстр — крупнейшая спорадическая простая группа, имеющая порядок 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Монстр имеет точное 196 883-мерное представление в 196 884-мерной алгебре Грисса , что означает, что каждый элемент Монстра может быть выражен как матрица размером 196 883 на 196 883.
Принято считать, что полная классификация начинается с теоремы Фейта-Томпсона 1962–63 годов и просуществовала в основном до 1983 года, но завершилась только в 2004 году.
Вскоре после постройки «Монстра» в 1981 году было представлено доказательство объемом более 10 000 страниц того, что теоретики групп успешно перечислили все конечные простые группы , причем победа была объявлена в 1983 году Дэниелом Горенштейном. Это было преждевременно — позже были обнаружены некоторые пробелы, в частности, в классификации квазитоновых групп , которая в конечном итоге была заменена в 2004 году классификацией квазитоновых групп объемом 1300 страниц, которая сейчас общепринята как полная.
Тест Силова : пусть n — положительное целое число, не являющееся простым, и пусть p — простой делитель n . Если 1 — единственный делитель n , конгруэнтный 1 по модулю p , то не существует простой группы порядка n .
Доказательство: если n — степень простого числа, то группа порядка n имеет нетривиальный центр [10] и, следовательно, не является простой. Если n не является простой степенью, то каждая силовская подгруппа является собственной, и по третьей теореме Силова мы знаем, что количество силовских p -подгрупп в группе порядка n равно 1 по модулю p и делит n . Поскольку 1 — единственное такое число, силовская p -подгруппа единственна и, следовательно, нормальна. Поскольку это собственная неединичная подгруппа, группа не является простой.
Бернсайд : Неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся как минимум на три различных простых числа. Это следует из теоремы Бернсайда .
{{citation}}
: CS1 maint: postscript (link){{citation}}
: Внешняя ссылка |postscript=
( помощь )CS1 maint: postscript (link)