Симплициальный комплекс

Математический набор, состоящий из точек, отрезков линий, треугольников и их n-мерных аналогов.

Симплициальный 3-комплекс.

В математике симплициальный комплекс — это набор , состоящий из точек , отрезков прямых , треугольников и их n -мерных аналогов (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества , появляющимся в современной теории симплициальных гомотопий . Чисто комбинаторным аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс . Чтобы отличить симплициальный комплекс от абстрактного симплициального комплекса, первый часто называют геометрическим симплициальным комплексом . ^{[1] : 7}

Определения

Симплициальный комплекс — это совокупность симплексов , удовлетворяющая следующим условиям: ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

1. Каждая грань симплекса из также находится в . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

2. Непустое пересечение любых двух симплексов является гранью обоих и . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$

См. также определение абстрактного симплициального комплекса , который, грубо говоря, является симплициальным комплексом без связанной геометрии.

Симплициальный k -комплекс — это симплициальный комплекс, у которого наибольшая размерность любого симплекса в равна k . Например, симплициальный 2-комплекс должен содержать хотя бы один треугольник и не должен содержать тетраэдров или симплексов более высокой размерности. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Чистый или однородный симплициальный k -комплекс — это симплициальный комплекс, в котором каждый симплекс размерности меньше k является гранью некоторого симплекса размерности ровно k . Неформально чистый 1-комплекс «выглядит» так, как будто он состоит из набора линий, 2-комплекс «выглядит» так, как будто он состоит из набора треугольников и т. д. Примером неоднородного комплекса является треугольник с отрезок прямой, прикрепленный к одной из его вершин. Чистые симплициальные комплексы можно рассматривать как триангуляции и обеспечить определение многогранников . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$

Фасета — это максимальный симплекс, т. е. любой симплекс в комплексе, который не является гранью какого -либо большего симплекса. ^[2] (Обратите внимание на отличие от «лица» симплекса ). Чистый симплициальный комплекс можно рассматривать как комплекс, все грани которого имеют одинаковую размерность. Для (граничных комплексов) симплициальных многогранников это совпадает со значением полиэдральной комбинаторики.

Иногда термин грань используется для обозначения симплекса комплекса, не путать с гранью симплекса.

Для симплициального комплекса , вложенного в k -мерное пространство, k -грани иногда называют его ячейками . Термин « клетка» иногда используется в более широком смысле для обозначения множества, гомеоморфного симплексу , что приводит к определению клеточного комплекса .

Базовое пространство , иногда называемое носителем симплициального комплекса, представляет собой объединение его симплексов. Обычно он обозначается или . ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {K}}\|}$

Поддерживать

Относительные внутренности всех симплексов образуют раздел лежащего в основе пространства : для каждой точки существует ровно один симплекс, содержащийся в ее относительной внутренней части. Этот симплекс называется носителем x и обозначается . ^{[3] : 9} ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (x)}$

Закрытие, звездочка и ссылка

• 
  Два симплекса и их замыкание .
• 
  Вершина и ее звезда .
• 
  Вершина и ее ссылка .

Пусть K — симплициальный комплекс и S — набор симплексов в K .

Замыкание S (обозначается ) — это наименьший симплициальный подкомплекс K , который содержит каждый симплекс из S . получается путем многократного добавления к S каждой грани каждого симплекса из S . ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$

Звезда S (обозначается ) — это объединение звезд каждого симплекса в S. Для одного симплекса s звездой s является набор симплексов, имеющих s в качестве грани ^{[ необходимы пояснения ]} . Звезда S , как правило, сама по себе не является симплициальным комплексом, поэтому некоторые авторы определяют замкнутую звезду S (обозначенную ) как замыкание звезды S. ${\displaystyle \mathrm {st} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {St} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S}$

Ссылка S ( обозначается ) равна . Это закрытая звезда S минус звезды всех граней S. ${\displaystyle \mathrm {Lk} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}}$

Алгебраическая топология

В алгебраической топологии симплициальные комплексы часто полезны для конкретных вычислений. Для определения групп гомологии симплициального комплекса можно непосредственно прочитать соответствующий цепной комплекс при условии, что все симплексы имеют согласованную ориентацию. Требования теории гомотопий приводят к использованию более общих пространств — комплексов CW . Бесконечные комплексы — это технический инструмент, основной в алгебраической топологии. См. также обсуждение в Polytope симплициальных комплексов как подпространств евклидова пространства , состоящего из подмножеств, каждое из которых является симплексом . Это несколько более конкретное понятие приписывается там Александрову . Любой конечный симплициальный комплекс в том смысле, о котором здесь говорится, может быть вложен как многогранник в этом смысле в некотором большом числе измерений. В алгебраической топологии компактное топологическое пространство , гомеоморфное геометрической реализации конечного симплициального комплекса, обычно называется многогранником ( см. Spanier 1966, Maunder 1996, Hilton & Wylie 1967).

Комбинаторика

Комбинатористы часто изучают f -вектор симплициального d-комплекса ∆, который представляет собой целочисленную последовательность , где f _i — число ( i −1)-мерных граней ∆ (по соглашению f ₀  = 1, если только ∆ не является пустой комплекс). Например, если ∆ является границей октаэдра , то его f -вектор равен (1, 6, 12, 8), а если ∆ является первым симплициальным комплексом, изображенным выше, его f -вектор равен (1, 18, 23 , 8, 1). Полную характеристику возможных f -векторов симплициальных комплексов даёт теорема Краскала–Катона . ${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$

Используя f -вектор симплициального d -комплекса ∆ в качестве коэффициентов многочлена ( записанного в порядке убывания показателей), мы получаем f-многочлен от ∆. В наших двух примерах выше f -полиномы будут и соответственно. ${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$ ${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$

Комбинатористов часто весьма интересует h-вектор симплициального комплекса Δ, который представляет собой последовательность коэффициентов многочлена, полученную в результате подстановки x  - 1 в f -полином от Δ. Формально, если мы пишем F _Δ ( x ) для обозначения f -полинома от Δ, то h-полином от Δ будет

${\displaystyle F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

и h -вектор Δ равен

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).}$

Мы вычисляем h-вектор границы октаэдра (наш первый пример) следующим образом:

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}$

Итак, h -вектор границы октаэдра равен (1, 3, 3, 1). Этот h -вектор симметричен не случайно . Фактически, это происходит всякий раз, когда ∆ является границей симплициального многогранника (это уравнения Дена–Соммервилля ). Однако в общем случае h -вектор симплициального комплекса даже не обязательно положителен. Например, если мы возьмем Δ как 2-комплекс, заданный двумя треугольниками, пересекающимися только в общей вершине, результирующий h -вектор будет (1, 3, −2).

Полную характеристику всех симплициальных многогранных h -векторов дает знаменитая g-теорема Стэнли , Биллеры и Ли .

Видно, что симплициальные комплексы имеют ту же геометрическую структуру, что и контактный граф упаковки сфер (граф, в котором вершины являются центрами сфер, а ребра существуют, если соответствующие элементы упаковки касаются друг друга), и как таковые могут использоваться для определения комбинаторика упаковок сфер , такая как количество соприкасающихся пар (1-симплексов), соприкасающихся троек (2-симплексов) и соприкасающихся четверок (3-симплексов) в упаковке сфер.

Вычислительные проблемы

Задача распознавания симплициального комплекса состоит в следующем: учитывая конечный симплициальный комплекс, решить, гомеоморфен ли он заданному геометрическому объекту. Эта проблема неразрешима для любых d -мерных многообразий при d ≥ 5.

Смотрите также

• Абстрактный симплициальный комплекс
• Барицентрическое подразделение
• Причинная динамическая триангуляция
• Дельта-сет
• Полигональная цепочка  – одномерный симплициальный комплекс
• Лемма Такера
• Симплексное дерево

Рекомендации

1. Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером., раздел 4.3
2. Де Лоэра, Хесус А .; Рамбау, Йорг; Сантос, Франциско (2010), Триангуляции: структуры для алгоритмов и приложений, алгоритмы и вычисления в математике, том. 25, Спрингер, с. 493, ISBN 9783642129711.
3. Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером., раздел 4.3

• Спэньер, Эдвин Х. (1966), Алгебраическая топология , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Маундер, Чарльз РФ (1996), Алгебраическая топология (перепечатка издания 1980 года), Минеола, Нью-Йорк: Дувр, ISBN 0-486-69131-4, МР  1402473
• Хилтон, Питер Дж .; Уайли, Шон (1967), Теория гомологии , Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-09422-4, МР  0115161

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Симплициальный комплекс». Математический мир .
• Норман Дж. Вильдбергер. «Симплексы и симплициальные комплексы». Разговор на ютубе..