n-скелет

Концепция алгебраической топологии

Этот граф гиперкуба является 1-скелетом тессеракта .

В математике , особенно в алгебраической топологии , n -скелет топологического пространства X , представленный как симплициальный комплекс (соответственно CW-комплекс ), относится к подпространству X _n , которое является объединением симплексов X (соответственно ячеек X ) . размеров m ≤ n . Другими словами, при индуктивном определении комплекса n -остов получается остановкой на n -м шаге .

Эти подпространства увеличиваются с ростом n . 0 -скелет — это дискретное пространство , а 1-скелет — топологический граф . Скелеты пространства используются в теории препятствий для построения спектральных последовательностей посредством фильтрации и вообще для проведения индуктивных рассуждений . Они особенно важны, когда X имеет бесконечную размерность, в том смысле, что X n _не становится постоянным при n → ∞.

В геометрии

В геометрии k -скелет n - многогранника P (функционально представленный как skel _k ( P )) состоит из всех элементов i -многогранника размерности до k . ^[1]

Например:

skel ₀ (куб) = 8 вершин

скель ₁ (куб) = 8 вершин, 12 ребер

скель ₂ (куб) = 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратных граней

Для симплициальных множеств

Приведенное выше определение скелета симплициального комплекса является частным случаем понятия скелета симплициального множества . Короче говоря, симплициальное множество можно описать совокупностью множеств вместе с гранями и отображениями вырождения между ними, удовлетворяющими ряду уравнений. Идея n -скелета состоит в том, чтобы сначала отбросить наборы с , а затем завершить сбор с до «наименьшего возможного» симплициального набора так, чтобы полученный симплициальный набор не содержал невырожденных симплексов в степенях . ${\displaystyle K_{*}}$ ${\displaystyle K_{i},\ i\geq 0}$ ${\displaystyle sk_{n}(K_{*})}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle i\leq n}$ ${\displaystyle i>n}$

Точнее, функтор ограничения

${\displaystyle i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Sets}$

имеет левый сопряженный, обозначаемый . ^[2] (Обозначения сравнимы с обозначениями функторов изображений для пучков .) n -скелет некоторого симплициального множества определяется как ${\displaystyle i^{*}}$ ${\displaystyle i^{*},i_{*}}$ ${\displaystyle K_{*}}$

${\displaystyle sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.}$

Коскелет

Более того, имеет право сопряженное . n -костный скелет определяется как ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle i^{!}}$

${\displaystyle cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.}$

Например, 0-скелет K представляет собой постоянный симплициальный набор, определяемый . 0-костный скелет дается чеховским нервом . ${\displaystyle K_{0}}$

${\displaystyle \dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.}$

(Морфизмы границы и вырождения задаются различными проекциями и диагональными вложениями соответственно.)

Приведенные выше конструкции работают и для более общих категорий (вместо множеств), при условии, что в категории есть волокнистые продукты . Коскелет необходим для определения понятия гипернакрытия в гомотопической алгебре и алгебраической геометрии . ^[3]

Рекомендации

1. Питер МакМаллен , Эгон Шульте , Абстрактные правильные многогранники, Cambridge University Press, 2002. ISBN  0-521-81496-0 (стр. 29)
2. Гёрсс, П.Г.; Жардин, Дж. Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопии , Progress in Mathematics, vol. 174, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6064-1, раздел IV.3.2
3. Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1969), Этальная гомотопия , Конспект лекций по математике, № 100, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Скелет». Математический мир .