Курносый дисфеноид

84-й Джонсон сплошной (12 треугольных граней)

3D-модель курносого дисфеноида

В геометрии курносый дисфеноид , сиамский додекаэдр , треугольный додекаэдр , тригональный додекаэдр или додекадельтаэдр — это выпуклый многогранник с двенадцатью равносторонними треугольниками в качестве граней . Это не правильный многогранник , поскольку у некоторых вершин четыре грани, а у других — пять. Это додекаэдр , один из восьми выпуклых дельтаэдров (многогранников с равносторонними треугольными гранями), и 84-е тело Джонсона ( неоднородные выпуклые многогранники с правильными гранями). Ее можно рассматривать как квадратную антипризму , в которой оба квадрата заменены двумя равносторонними треугольниками.

Курносый дисфеноид также является вершиной изогональной ступенчатой ​​призмы 13-5, полихорона , построенного из дуопризмы 13-13 путем выбора вершины в тридекагоне , а затем выбора 5-й вершины в следующем тридекагоне, делая это до достижения исходного. тридекагон. Однако его нельзя сделать однородным, поскольку курносый дисфеноид не имеет описанной сферы .

История и именование

Эта форма была названа сиамским додекаэдром в статье Ганса Фройденталя и Б.Л. ван дер Вардена (1947), которые впервые описали набор из восьми выпуклых дельтаэдров . ^[1] Название додекадельтаэдр было дано той же форме Берналом (1964), имея в виду тот факт, что это 12-гранный дельтаэдр. Существуют и другие симплициальные додекаэдры , например шестиугольная бипирамида , но это единственный, который можно реализовать с равносторонними гранями. Бернала интересовала форма отверстий, оставленных в неправильных плотноупакованных сферах, поэтому он использовал ограничительное определение дельтаэдров, в котором дельтаэдр — это выпуклый многогранник с треугольными гранями, которые могут быть образованы центрами набора конгруэнтных граней. сферы, касания которых представляют собой ребра многогранников, и такие, что нет места для размещения еще одной сферы внутри клетки, созданной этой системой сфер. Это ограничительное определение не допускает треугольную бипирамиду (которая образует два тетраэдрических отверстия, а не одно отверстие), пятиугольную бипирамиду (поскольку сферы ее вершин взаимопроникают, поэтому она не может возникнуть в упаковках сфер) и икосаэдр (поскольку в ней есть внутреннее пространство для другой сфера). Бернал пишет, что курносый дисфеноид является «очень распространенной координацией иона кальция в кристаллографии ». ^[2] В координационной геометрии он обычно известен как тригональный додекаэдр или просто додекаэдр.

Название курносого дисфеноида происходит от классификации твердых тел Джонсона , предложенной Норманом Джонсоном в 1966 году , — выпуклых многогранников, все грани которых правильные. ^[3] Он впервые существует в ряду многогранников с осевой симметрией, поэтому ему также можно дать название двуугольный гиробиантикупол .

Характеристики

Курносый дисфеноид является 4-связным , что означает, что для отключения оставшихся вершин требуется удаление четырех вершин. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, а это означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством — правильный октаэдр , пятиугольная бипирамида и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. ^[4]

Курносый дисфеноид имеет ту же симметрию, что и тетрагональный дисфеноид : он имеет ось вращательной симметрии 180 °, проходящую через середины двух противоположных краев, две перпендикулярные плоскости отражательной симметрии, проходящие через эту ось, и четыре дополнительные операции симметрии, задаваемые отражающим перпендикуляром. к оси, за которым следует четверть оборота и, возможно, еще одно отражение, параллельное оси. ^[5] То есть он обладает антипризматической симметрией D _{2 d} , группой симметрии порядка 8.

Сферы с центрами в вершинах курносого дисфеноида образуют кластер, который согласно численным экспериментам имеет минимально возможный потенциал Леннарда-Джонса среди всех восьмисферных кластеров. ^[6]

С точностью до симметрии и параллельного перевода курносый дисфеноид имеет пять типов простых (несамопересекающихся) замкнутых геодезических . Это пути на поверхности многогранника, которые обходят вершины и локально выглядят как кратчайший путь: они следуют по отрезкам прямых, пересекающих каждую грань многогранника, которую они пересекают, и, пересекая ребро многогранника, образуют дополнительные углы на поверхности многогранника. два инцидента обращены к краю. Интуитивно можно было бы натянуть резинку вокруг многогранника по этому пути, и он остался бы на месте: нет возможности локально изменить путь и сделать его короче. Например, один тип геодезической пересекает два противоположных края курносого дисфеноида в их серединах (там, где ось симметрии выходит из многогранника) под углом π /3. Второй тип геодезической проходит вблизи пересечения курносого дисфеноида с плоскостью, перпендикулярно делящей ось симметрии пополам (экватор многогранника ), пересекая ребра восьми треугольников под углами, чередующимися между π /2 и π /6. Смещение геодезической на поверхности многогранника на небольшую величину (достаточно малую, чтобы сдвиг не заставлял ее пересекать какие-либо вершины) сохраняет свойство быть геодезической и сохраняет ее длину, поэтому в обоих этих примерах есть смещенные версии того же типа, которые расположены менее симметрично. Длины пяти простых замкнутых геодезических на курносом дисфеноиде с ребрами единичной длины равны

${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3.464}$(для экваториальной геодезической), , (для геодезической, проходящей через середины противоположных ребер), , и . ${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3.606}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4.359}$

За исключением тетраэдра, который имеет бесконечно много типов простых замкнутых геодезических, курносый дисфеноид имеет наибольшее количество типов геодезических среди всех дельтаэдров. ^[7]

Строительство

Курносый дисфеноид построен, как следует из его названия, как курносый многогранник, образованный из тетрагонального дисфеноида , формы более низкой симметрии правильного тетраэдра .

Операция сглаживания создает одну циклическую полосу треугольников, разделяющую два противоположных края (красные на рисунке) и прилегающие к ним треугольники. Плосконосые антипризмы аналогичны тем, что имеют одну циклическую полосу из треугольников, но в курносых антипризмах эти полосы разделяют две противоположные грани и прилегающие к ним треугольники, а не два противоположных края.

Курносый дисфеноид также можно построить из квадратной антипризмы , заменив две квадратные грани парами равносторонних треугольников. Однако это одно из элементарных тел Джонсона, которые не возникают в результате манипуляций с платоновыми и архимедовыми телами по принципу «вырезать и вставить».

Физическую модель курносого дисфеноида можно сформировать, сложив сетку , состоящую из 12 равносторонних треугольников ( 12-ромбов ), как показано на рисунке. Альтернативная сеть, предложенная Джоном Монтроллом, имеет меньше вогнутых вершин на границе, что делает ее более удобной для построения оригами . ^[8]

Декартовы координаты

Пусть – положительный вещественный корень кубического многочлена ${\displaystyle q\approx 0.16902}$

${\displaystyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1.}$

Кроме того, пусть

${\displaystyle r={\sqrt {q}}\approx 0.41112,}$

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1.56786,}$

и

${\displaystyle t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1.28917.}$

Тогда восьми вершинам курносого дисфеноида можно присвоить декартовы координаты.

${\displaystyle (\pm t,r,0),\,(0,-r,\pm t),}$

${\displaystyle (\pm 1,-s,0),\,(0,s,\pm 1).}$^[6]

Поскольку эта конструкция предполагает решение кубического уравнения, курносый дисфеноид нельзя построить с помощью циркуля и линейки , в отличие от других семи дельтаэдров. ^[9]

Используя эти координаты, можно вычислить объем курносого дисфеноида с длиной ребра a как , где , – положительный корень многочлена ${\displaystyle \xi a^{3}}$ ${\displaystyle \xi \approx 0.85949}$

${\displaystyle 5832x^{6}-1377x^{4}-2160x^{2}-4.}$^[10]

Точную форму можно выразить как: ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{6{\sqrt {6}}}}{\sqrt {17+{\sqrt[{3}]{155249-28848i{\sqrt {237}}}}+{\sqrt[{3}]{155249+28848i{\sqrt {237}}}}}},}$

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{6{\sqrt {6}}}}{\sqrt {17+2{\sqrt {6049}}\cos \left({\frac {1}{3}}\tan ^{-1}\left({\frac {28848{\sqrt {237}}}{155249}}\right)\right)}},}$

где мнимая единица. ${\displaystyle i}$

Связанные многогранники

Другая конструкция курносого дисфеноида представляет собой двуугольный гиробиантикупол . Он имеет ту же топологию и симметрию, но без равносторонних треугольников. Он имеет 4 вершины в квадрате в центральной плоскости в виде двух антикуполов , соединенных с вращательной симметрией. Его двойник имеет прямоугольные пятиугольники и может мозаику пространства.

Рекомендации

1. Фрейденталь, Х .; ван д. Варден, Б.Л. (1947), «Об утверждении Евклида», Саймон Стевин , 25 : 115–121, MR  0021687.
2. Бернал, доктор медицинских наук (1964), «Бейкеровская лекция, 1962. Структура жидкостей», Труды Лондонского королевского общества , серия A, Математические и физические науки, 280 (1382): 299–322, Bibcode : 1964RSPSA. 280..299B, номер документа : 10.1098/rspa.1964.0147, JSTOR  2415872, S2CID  178710030.
3. Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603.
4. Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010), «О хорошо покрытых триангуляциях. III», Discrete Applied Mathematics , 158 (8): 894–912, doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 , MR  2602814.
5. Канди, Х. Мартин (1952), «Дельтаэдры», The Mathematical Gazette , 36 (318): 263–266, doi : 10.2307/3608204, JSTOR  3608204, MR  0051525, S2CID  250435684.
6. Слоан, Нью-Джерси ; Хардин, Р.Х.; Дафф, TDS; Конвей, Дж. Х. (1995), «Кластеры твердых сфер с минимальной энергией», Дискретная и вычислительная геометрия , 14 (3): 237–259, doi : 10.1007/BF02570704 , MR  1344734.
7. Лоусон, Кайл А.; Пэриш, Джеймс Л.; Трауб, Синтия М.; Вейхаупт, Адам Г. (2013), «Раскраска графов для классификации простых замкнутых геодезических на выпуклых дельтаэдрах». (PDF) , Международный журнал чистой и прикладной математики , 89 (2): 123–139, doi : 10.12732/ijpam.v89i2.1 , Zbl  1286.05048.
8. Монтролл, Джон (2004), «Додекадельтаэдр», Созвездие многогранников оригами , Dover Origami Papercraft Series, Dover Publications, Inc., стр. 38–40, ISBN 9780486439587.
9. Хартшорн, Робин (2000), Геометрия: Евклид и не только, Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, стр. 457, ISBN 9780387986500.
10. Wolfram Research, Inc. (2020). «Вольфрам|База знаний Альфа». Шампейн, Иллинойс. MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Джонсон", 84}, "Объем"], x] {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Крутой дисфеноид». Математический мир .