Решения уравнений поля Эйнштейна являются метриками пространства-времени , которые получаются в результате решения уравнений поля Эйнштейна (EFE) общей теории относительности . Решение уравнений поля дает многообразие Лоренца . Решения в целом классифицируются как точные и неточные .
Уравнения поля Эйнштейна:
где — тензор Эйнштейна , — космологическая постоянная (иногда принимаемая за ноль для простоты), — метрический тензор , — константа, — тензор энергии-импульса .
Уравнения поля Эйнштейна связывают тензор Эйнштейна с тензором энергии-импульса, который представляет распределение энергии, импульса и напряжения в пространственно-временном многообразии. Тензор Эйнштейна строится из метрического тензора и его частных производных; таким образом, при наличии тензора энергии-импульса уравнения поля Эйнштейна представляют собой систему из десяти частных дифференциальных уравнений , в которых метрический тензор может быть решен.
Важно понимать, что одних только уравнений поля Эйнштейна недостаточно для определения эволюции гравитационной системы во многих случаях. Они зависят от тензора энергии-импульса , который зависит от динамики материи и энергии (например, траекторий движущихся частиц), которая, в свою очередь, зависит от гравитационного поля. Если кого-то интересует только предел слабого поля теории, динамику материи можно вычислить с помощью методов специальной теории относительности и/или законов гравитации Ньютона, а затем полученный тензор энергии-импульса можно включить в уравнения поля Эйнштейна. Но если требуется точное решение или решение, описывающее сильные поля, эволюция метрики и тензора энергии-импульса должны быть решены вместе.
Для получения решений используются соответствующие уравнения: приведенные выше уравнения электропроводности (в любой форме) и уравнение непрерывности (для определения эволюции тензора энергии-напряжения):
Этого явно недостаточно, так как имеется всего 14 уравнений (10 из уравнений поля и 4 из уравнения непрерывности) для 20 неизвестных (10 метрических компонент и 10 компонент тензора энергии-импульса). Уравнения состояния отсутствуют. В самом общем случае легко увидеть, что требуется как минимум еще 6 уравнений, возможно, больше, если есть внутренние степени свободы (например, температура), которые могут меняться в пространстве-времени.
На практике обычно можно упростить задачу, заменив полный набор уравнений состояния простым приближением. Вот некоторые распространенные приближения:
Здесь — плотность массы и энергии, измеренная в мгновенной сопутствующей системе отсчета, — векторное поле 4-скорости жидкости, — давление.
Для идеальной жидкости необходимо добавить еще одно уравнение состояния, связывающее плотность и давление . Это уравнение часто зависит от температуры, поэтому требуется уравнение теплопередачи или постулат о том, что теплопередачей можно пренебречь.
Далее, обратите внимание, что только 10 из исходных 14 уравнений являются независимыми, поскольку уравнение непрерывности является следствием уравнений Эйнштейна. Это отражает тот факт, что система калибровочно-инвариантна (в общем случае, при отсутствии некоторой симметрии, любой выбор криволинейной координатной сетки в той же системе будет соответствовать численно разному решению.) Требуется «калибровочная фиксация», т. е. нам нужно наложить 4 (произвольных) ограничения на систему координат, чтобы получить однозначные результаты. Эти ограничения известны как координатные условия .
Популярным выбором датчика является так называемый «датчик Де Дондера», также известный как гармоническое состояние или гармонический датчик.
В числовой теории относительности предпочтительная калибровка — это так называемое «разложение 3+1», основанное на формализме ADM . В этом разложении метрика записывается в виде
и являются функциями пространственно-временных координат и могут быть выбраны произвольно в каждой точке. Остальные физические степени свободы содержатся в , который представляет собой риманову метрику на 3-гиперповерхностях с константой . Например, наивный выбор , , соответствовал бы так называемой синхронной системе координат: такой, где t-координата совпадает с собственным временем для любого сопутствующего наблюдателя (частицы, движущейся по фиксированной траектории ).
После выбора уравнений состояния и фиксации калибровки можно решить полный набор уравнений. К сожалению, даже в простейшем случае гравитационного поля в вакууме (исчезающий тензор энергии-импульса) задача слишком сложна, чтобы быть точно решенной. Чтобы получить физические результаты, мы можем либо обратиться к численным методам , попытаться найти точные решения , наложив симметрии , либо попробовать промежуточные подходы, такие как методы возмущений или линейные приближения тензора Эйнштейна .
Точные решения представляют собой метрики Лоренца , которые соответствуют физически реалистичному тензору энергии-импульса и которые получаются путем точного решения уравнения EFE в замкнутой форме .
Статья в Scholarpedia по теме, написанная Малкольмом Маккаллумом
Решения, которые не являются точными, называются неточными решениями . Такие решения в основном возникают из-за сложности решения EFE в замкнутой форме и часто принимают форму приближений к идеальным системам. Многие неточные решения могут быть лишены физического содержания, но служат полезными контрпримерами к теоретическим предположениям.
Существуют как практические, так и теоретические причины для изучения решений уравнений поля Эйнштейна.
С чисто математической точки зрения интересно узнать набор решений уравнений поля Эйнштейна. Некоторые из этих решений параметризованы одним или несколькими параметрами. С физической точки зрения знание решений уравнений поля Эйнштейна позволяет с высокой точностью моделировать астрофизические явления, включая черные дыры, нейтронные звезды и звездные системы. Аналитически можно делать прогнозы относительно анализируемой системы; такие прогнозы включают прецессию перигелия Меркурия , существование совращающейся области внутри вращающихся черных дыр и орбиты объектов вокруг массивных тел.
