В математике пространственная форма — это полное риманово многообразие M постоянной секционной кривизны K. Тремя наиболее фундаментальными примерами являются евклидово n -пространство , n - мерная сфера и гиперболическое пространство , хотя пространственная форма не обязательно должна быть односвязной .
Теорема Киллинга–Хопфа римановой геометрии утверждает, что универсальная накрывающая n -мерного пространства с кривизной изометрична , гиперболическому пространству , с кривизной изометрична , евклидову n -пространству , а с кривизной изометрична , n-мерной сфере точек, находящихся на расстоянии 1 от начала координат в .
Изменяя масштаб римановой метрики на , мы можем создать пространство постоянной кривизны для любого . Аналогично, изменяя масштаб римановой метрики на , мы можем создать пространство постоянной кривизны для любого . Таким образом, универсальное покрытие пространственной формы с постоянной кривизной изометрично .
Это сводит проблему изучения пространственных форм к изучению дискретных групп изометрий которых действуют собственно разрывно . Заметим, что фундаментальная группа , , будет изоморфна . Группы, действующие таким образом на , называются кристаллографическими группами . Группы, действующие таким образом на и , называются фуксовыми группами и клейновыми группами соответственно.
