Определение констант равновесия

Константы равновесия определяются для количественной оценки химического равновесия . Когда константа равновесия K выражается как коэффициент концентрации,

${\displaystyle K={\frac {\mathrm {[S]} ^{\sigma }\mathrm {[T]} ^{\tau }\cdots }{\mathrm {[A]} ^{\alpha }\mathrm {[B]} ^{\beta }\cdots }}}$

подразумевается, что коэффициент активности постоянен. Чтобы это предположение было верным, константы равновесия должны быть определены в среде с относительно высокой ионной силой . Если это невозможно, следует рассмотреть возможные вариации активности.

Выражение равновесия выше является функцией концентраций [ A], [B] и т. д. химических веществ в равновесии. Значение константы равновесия может быть определено, если любая из этих концентраций может быть измерена. Общая процедура заключается в том, что рассматриваемая концентрация измеряется для серии растворов с известными аналитическими концентрациями реагентов. Обычно титрование выполняется с одним или несколькими реагентами в сосуде для титрования и одним или несколькими реагентами в бюретке. Зная аналитические концентрации реагентов изначально в реакционном сосуде и в бюретке, все аналитические концентрации можно вывести как функцию объема (или массы) добавленного титранта.

Константы равновесия могут быть получены путем наилучшего согласования экспериментальных данных с химической моделью равновесной системы.

Экспериментальные методы

Существует четыре основных экспериментальных метода. Для менее часто используемых методов см. Rossotti и Rossotti. ^[1] Во всех случаях диапазон может быть расширен с помощью метода конкуренции. Пример применения этого метода можно найти в цианиде палладия(II) .

Потенциометрические измерения

Свободная концентрация [A] или активность {A} вида A измеряется с помощью ионселективного электрода, такого как стеклянный электрод . Если электрод калибруется с использованием стандартов активности, предполагается, что уравнение Нернста применяется в форме

${\displaystyle E=E^{0}+{\frac {RT}{nF}}\ln \mathrm {\{A\}} }$

где E ⁰ — стандартный электродный потенциал . При использовании для калибровки буферных растворов с известным pH показанием счетчика будет pH.

${\displaystyle \mathrm {pH} ={\frac {nF}{RT}}\left(E^{0}-E\right)}$

При 298 К 1 единица pH приблизительно равна 59 мВ. ^[2]

Когда электрод калибруется с помощью растворов известной концентрации, например, с помощью титрования сильной кислотой и сильным основанием, предполагается модифицированное уравнение Нернста.

${\displaystyle E=E^{0}+s\log _{10}\mathrm {[A]} }$

где s — эмпирический фактор наклона. Раствор с известной концентрацией ионов водорода может быть приготовлен путем стандартизации сильной кислоты по буре . Постоянно кипящая соляная кислота также может быть использована в качестве первичного стандарта для концентрации ионов водорода.

Диапазон и ограничения

Наиболее широко используемый электрод — стеклянный электрод, селективный к иону водорода. Он подходит для всех кислотно-щелочных равновесий . Значения log ₁₀ β между 2 и 11 можно измерить непосредственно потенциометрическим титрованием с использованием стеклянного электрода . Этот огромный диапазон значений константы устойчивости (приблизительно от 100 до 10 ¹¹ ) возможен из-за логарифмического отклика электрода. Ограничения возникают из-за того, что уравнение Нернста нарушается при очень низком или очень высоком pH.

При использовании стеклянного электрода для получения измерений, от которых зависят рассчитанные константы равновесия, точность рассчитанных параметров ограничивается вторичными эффектами, такими как изменение потенциалов жидкого соединения в электроде. На практике практически невозможно получить точность для log β лучше, чем ±0,001.

Спектрофотометрические измерения

Поглощение

Предполагается, что действует закон Бера-Ламберта .

${\displaystyle A=l\sum {\varepsilon c}}$

где l — оптическая длина пути, ε — молярная абсорбция на единице длины пути, а c — концентрация. В абсорбцию могут вносить вклад более одного вида. В принципе абсорбцию можно измерить только на одной длине волны, но в современной практике принято регистрировать полные спектры.

Диапазон и ограничения

Верхний предел log ₁₀ β обычно указывается равным 4, что соответствует точности измерений, но также зависит от интенсивности эффекта. Спектры участвующих видов должны четко отличаться друг от друга

Интенсивность флуоресценции (люминесценции)

Предполагается, что интенсивность рассеянного света является линейной функцией концентрации видов.

${\displaystyle I=\sum \varphi c}$

где φ — коэффициент пропорциональности.

Диапазон и ограничения

Величина константы φ может быть выше, чем значение молярного коэффициента экстинкции ε для вида. Когда это так, предел обнаружения для этого вида будет ниже. При высоких концентрациях растворенного вещества интенсивность флуоресценции становится нелинейной относительно концентрации из-за самопоглощения рассеянного излучения.

Измерения химического сдвига ЯМР

Химический обмен предполагается быстрым в шкале времени ЯМР. Индивидуальный химический сдвиг δ представляет собой средневзвешенное по молярной доле значение сдвигов δ ядер в участвующих видах.

${\displaystyle {\bar {\delta }}={\frac {\sum x_{i}\delta _{i}}{\sum x_{i}}}}$

Пример: p K _a гидроксильной группы в лимонной кислоте был определен из данных по химическому сдвигу 13 C и составил 14,4. Ни потенциометрия , ни ультрафиолетовая–видимая спектроскопия не могли быть использованы для этого определения. ^[3]

Диапазон и ограничения

Ограниченная точность измерений химического сдвига также устанавливает верхний предел около 4 для log ₁₀ β . Ограничено диамагнитными системами. ¹ H ЯМР нельзя использовать с растворами соединений в ¹ H ₂ O.

Калориметрические измерения

Одновременное измерение K и Δ H для аддуктов 1:1 обычно выполняется с использованием изотермической титрационной калориметрии . Расширение на более сложные системы ограничено доступностью подходящего программного обеспечения.

Диапазон и ограничения

На данный момент нет достаточных доказательств.

Метод соревнования

Метод конкуренции может быть использован, когда значение константы устойчивости слишком велико для определения прямым методом. Впервые он был использован Шварценбахом при определении констант устойчивости комплексов ЭДТА с ионами металлов.

Для простоты рассмотрим определение константы устойчивости бинарного комплекса AB реагента A с другим реагентом B. ${\displaystyle K_{AB}}$

${\displaystyle K_{AB}={\frac {[AB]}{[A][B]}}}$

где [X] представляет собой концентрацию вида X в равновесном состоянии в растворе заданного состава.

Выбирается лиганд C , который образует более слабый комплекс с A. Константа устойчивости K _AC достаточно мала, чтобы ее можно было определить прямым методом. Например, в случае комплексов EDTA A является ионом металла, а C может быть полиамином, таким как диэтилентриамин .

${\displaystyle K_{AC}={\frac {[AC]}{[A][C]}}}$

Константа устойчивости, К для конкурентной реакции

${\displaystyle AC+B\leftrightharpoons AB+C}$

можно выразить как

${\displaystyle K={\frac {[AB][C]}{[AC][B]}}}$

Из этого следует, что

${\displaystyle K_{AB}=K\times K_{AC}}$

где K — константа устойчивости для конкурентной реакции. Таким образом, значение константы устойчивости может быть получено из экспериментально определенных значений K и . ${\displaystyle K_{AB}}$ ${\displaystyle K_{AC}}$

Методы расчета

Предполагается, что собранные экспериментальные данные содержат набор точек данных. В каждой i-й точке данных известны аналитические концентрации реагентов, T _A ( i ) , T _B ( i ) и т. д., а также измеренная величина, y _i , которая зависит от одной или нескольких из этих аналитических концентраций. Общая вычислительная процедура состоит из четырех основных компонентов:

1. Определение химической модели равновесия
2. Расчет концентраций всех химических веществ в каждом растворе
3. Уточнение констант равновесия
4. Выбор модели

Значение константы равновесия для образования комплекса 1:1, например, вида хозяин-гость, можно рассчитать с помощью специального приложения для работы с электронными таблицами Bindfit: ^[4] В этом случае шаг 2 можно выполнить с помощью неитеративной процедуры, а для шага 3 можно использовать предварительно запрограммированную процедуру Solver .

Химическая модель

Химическая модель состоит из набора химических видов, присутствующих в растворе, как реагентов, добавленных в реакционную смесь, так и комплексных видов, образованных из них. Обозначая реагенты как A, B..., каждый комплексный вид определяется стехиометрическими коэффициентами , которые связывают конкретную комбинацию реагентов, образующих их.

${\displaystyle {\ce {{{\mathit {p}}A}+{\mathit {q}}B\cdots <=>A_{\mathit {p}}B_{\mathit {q}}\cdots }}}$: ${\displaystyle \beta _{pq\cdots }={\frac {[{\ce {A}}_{p}{\ce {B}}_{q}\cdots ]}{[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots }}}$

При использовании универсальных компьютерных программ обычно используют кумулятивные константы ассоциации , как показано выше. Электрические заряды не показаны в общих выражениях, таких как это, и часто опускаются в конкретных выражениях для простоты записи. Фактически, электрические заряды не оказывают никакого влияния на процессы равновесия, за исключением требования общей электрической нейтральности во всех системах.

В водных растворах концентрации протона (иона гидроксония) и гидроксид-иона ограничиваются самодиссоциацией воды.

${\displaystyle {\ce {H2O <=> H+ + OH-}}}$: ${\displaystyle K_{\mathrm {W} }^{'}={\frac {[H^{+}][OH^{-}]}{[H_{2}O]}}}$

В разбавленных растворах концентрация воды предполагается постоянной, поэтому выражение равновесия записывается в виде ионного произведения воды.

${\displaystyle K_{\mathrm {W} }={\ce {[H+]}}[{\ce {OH-}}]\,}$

Когда и H ⁺ и OH ⁻ должны рассматриваться как реагенты, один из них исключается из модели, указывая, что его концентрация должна быть выведена из концентрации другого. Обычно концентрация гидроксид-иона определяется как

${\displaystyle [{\ce {OH-}}]={\frac {K_{{\ce {W}}}}{[{\ce {H+}}]}}\,}$

В этом случае константа равновесия для образования гидроксида имеет стехиометрические коэффициенты −1 по отношению к протону и ноль по отношению к другим реагентам. Это имеет важные последствия для всех равновесий протонирования в водном растворе и для констант гидролиза в частности.

Довольно часто из модели исключают те виды, концентрации которых считаются незначительными. Например, обычно предполагается, что нет взаимодействия между реагентами и/или комплексами и электролитом, используемым для поддержания постоянной ионной силы, или буфером, используемым для поддержания постоянного pH. Эти предположения могут быть оправданы или нет. Кроме того, неявно предполагается, что нет других видов комплексов. Когда комплексы ошибочно игнорируются, в расчеты вносится систематическая ошибка .

Значения констант равновесия обычно первоначально оцениваются на основе источников данных .

Расчеты видообразования

Расчет видообразования — это расчет, при котором концентрации всех видов в равновесной системе рассчитываются, зная аналитические концентрации T _A , T _B и т. д. реагентов A, B и т. д. Это означает решение системы нелинейных уравнений баланса масс.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {T_{A}}}&=[{\ce {A}}]+\sum _{1,nk}p\beta _{pq\cdots }[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots \\{\ce {T_{B}}}&=[{\ce {B}}]+\sum _{1,nk}q\beta _{pq\cdots }[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots \\etc.\end{aligned}}}$

для свободных концентраций [A], [B] и т.д. При измерении pH (или эквивалентной ЭДС, E) свободная концентрация ионов водорода, [H], получается из измеренного значения как

${\displaystyle [\mathrm {H} ]=10^{-\mathrm {pH} }}$или ${\displaystyle [\mathrm {H} ]=e^{\mathrm {{-{\frac {nF}{RT}}}(E-E^{0})} }}$

и только свободные концентрации других реагентов рассчитываются. Концентрации комплексов выводятся из свободных концентраций с помощью химической модели.

Некоторые авторы ^{[5] [6]} включают свободные реагирующие члены в суммы, объявляя константы идентичности (единицы) β , для которых стехиометрические коэффициенты равны 1 для рассматриваемого реагента и нулю для всех остальных реагентов. Например, при 2 реагентах уравнения баланса масс принимают более простую форму.

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\ce {A}}&=\sum _{0,nk}p\beta _{pq}[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\\[4pt]T_{\ce {B}}&=\sum _{0,nk}q\beta _{pq}[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \beta _{10}=\beta _{01}=1}$

Таким образом, все химические вещества, включая свободные реагенты , обрабатываются одинаково, поскольку они образованы из комбинации реагентов, которая определяется стехиометрическими коэффициентами.

В системе титрования аналитические концентрации реагентов в каждой точке титрования получаются из начальных условий, концентраций бюретки и объемов. Аналитическая (общая) концентрация реагента R в i-й точке титрования определяется как

${\displaystyle T_{{\ce {R}}}={\frac {{\ce {R}}_{0}+v_{i}{\ce {[R]}}}{v_{0}+v_{i}}}}$

где R ₀ — начальное количество R в титрованном сосуде, v ₀ — начальный объем, [R] — концентрация R в бюретке, а v _i — добавленный объем. Концентрация реагента в бюретке, отсутствующего в бюретке, принимается равной нулю.

В общем случае решение этих нелинейных уравнений представляет собой сложную задачу из-за огромного диапазона, в котором могут изменяться свободные концентрации. В начале необходимо оценить значения свободных концентраций. Затем эти значения уточняются, обычно с помощью итераций Ньютона-Рафсона . Логарифмы свободных концентраций могут быть уточнены, а не сами свободные концентрации. Уточнение логарифмов свободных концентраций имеет дополнительное преимущество, заключающееся в автоматическом наложении ограничения неотрицательности на свободные концентрации. После расчета концентраций свободных реагентов из них и констант равновесия выводятся концентрации комплексов.

Обратите внимание, что концентрации свободных реагентов можно рассматривать как неявные параметры в процессе уточнения константы равновесия. В этом контексте значения свободных концентраций ограничиваются путем принудительного применения условий баланса масс на всех стадиях процесса.

Уточнение константы равновесия

Целью процесса уточнения является нахождение значений константы равновесия, которые дают наилучшее соответствие экспериментальным данным. Обычно это достигается путем минимизации целевой функции U методом нелинейных наименьших квадратов . Сначала остатки определяются как

${\displaystyle r_{i}=y_{i}^{\text{obs}}-y_{i}^{\text{calc}}}$

Тогда наиболее общая целевая функция задается выражением

${\displaystyle U=\sum _{i}\sum _{j}r_{i}W_{ij}r_{j}\,}$

Матрица весов, W , должна быть, в идеале, обратной матрице дисперсии-ковариации наблюдений. Это редко бывает известно. Однако, когда это так, ожидаемое значение U равно единице, что означает, что данные соответствуют экспериментальной ошибке . Чаще всего известны только диагональные элементы, и в этом случае целевая функция упрощается до

${\displaystyle U=\sum _{i}W_{ii}r_{i}^{2}}$

с W _ij = 0, когда j ≠ i . Часто используются единичные веса, W _ii = 1 , но в этом случае ожидаемое значение U является средним квадратом экспериментальных ошибок.

Минимизация может быть выполнена с использованием метода Гаусса–Ньютона . Во-первых, целевая функция линеаризуется путем ее аппроксимации в виде разложения в ряд Тейлора первого порядка вокруг начального набора параметров p .

${\displaystyle U=U^{0}+\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial p_{i}}}\delta p_{i}}$

Приращения δ p _i добавляются к соответствующим начальным параметрам таким образом, чтобы U было меньше U ^0. При минимуме производные ⁠∂ U/∂ p _i⁠ , которые просто связаны с элементами матрицы Якоби , J

${\displaystyle J_{jk}={\frac {\partial y_{j}^{\mathrm {calc} }}{\partial p_{k}}}}$

где p _k — k- й параметр уточнения, равны нулю. Параметрами уточнения могут быть одна или несколько констант равновесия. Однако измеренные величины (см. выше), представленные y , выражаются не через константы равновесия, а через концентрации видов, которые являются неявными функциями этих параметров. Поэтому элементы Якоби должны быть получены с помощью неявного дифференцирования .

Приращения параметров δ p вычисляются путем решения нормальных уравнений , полученных из условий, что ⁠∂ U/∂ п⁠ = 0 как минимум.

${\displaystyle {\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)\delta p=J^{\mathrm {T} }Wr}}$

Приращения δ p добавляются итеративно к параметрам

${\displaystyle \mathbf {p} ^{n+1}=\mathbf {p} ^{n}+\delta \mathbf {p} }$

где n — номер итерации. Концентрации видов и значения y ^calc пересчитываются в каждой точке данных. Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет достигнуто существенное снижение U , то есть пока не будет удовлетворен критерий сходимости. Если, однако, обновленные параметры не приводят к уменьшению целевой функции, то есть если происходит расхождение, расчет приращения должен быть изменен. Простейшая модификация — использовать дробь, f , рассчитанного приращения, так называемое смещение-срезание.

${\displaystyle \mathbf {p} ^{n+1}=\mathbf {p} ^{n}+f\mathbf {\delta p} }$

В этом случае направление вектора сдвига, δ p , остается неизменным. С другой стороны, при использовании более мощного алгоритма Левенберга–Марквардта вектор сдвига поворачивается в направлении наискорейшего спуска путем изменения нормальных уравнений,

${\displaystyle \mathbf {\left(J^{\mathrm {T} }WJ+\lambda I\right)\delta p=J^{\mathrm {T} }Wr} }$

где λ — параметр Марквардта, а I — единичная матрица. Были предложены и другие методы обработки расхождения. ^[6]

Особая проблема возникает с данными ЯМР и спектрофотометрии. Для последних наблюдаемая величина — это поглощение, A , а закон Бера-Ламберта можно записать как

${\displaystyle A_{\lambda }=l\sum (\varepsilon _{pq..})_{\lambda }c_{pq..}}$

Можно видеть, что, предполагая, что концентрации, c, известны, что поглощение, A , при заданной длине волны, и длине пути , является линейной функцией молярных поглощательных способностей, ε . При длине пути 1 см, в матричной записи ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {C} \,}$

Существуют два подхода к расчету неизвестных молярных коэффициентов поглощения

(1) Значения ε считаются параметрами минимизации, и на их основе строится якобиан. Однако сами значения ε вычисляются на каждом шаге уточнения линейным методом наименьших квадратов:

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {\left(C^{\mathrm {T} }C\right)^{-1}C^{\mathrm {T} }A} }$

используя уточненные значения констант равновесия для получения видообразования. Матрица

${\displaystyle \mathbf {\left(C^{T}C\right)^{-1}C^{T}} }$

является примером псевдообратного .

Голуб и Перейра ^[7] показали, как можно дифференцировать псевдообратную величину, чтобы можно было рассчитать приращения параметров как для молярных поглощательных способностей, так и для констант равновесия, решив нормальные уравнения.

(2) Закон Бера-Ламберта записывается как

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} _{\lambda }=\mathbf {A} _{\lambda }^{-1}\mathbf {C} \,}$

Неизвестные молярные поглощения всех "цветных" видов находятся с помощью неитерационного метода наименьших квадратов, по одной длине волны за раз. Расчеты выполняются один раз в каждом цикле уточнения, используя значения констант устойчивости, полученные в этом цикле уточнения, для расчета значений концентрации видов в матрице . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Ошибки параметров и корреляция

В области, близкой к минимуму целевой функции U , система приближается к линейной системе наименьших квадратов, для которой

${\displaystyle \mathbf {p=\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }Wy^{\mathrm {obs} }} }$

Таким образом, значения параметров являются (приблизительно) линейными комбинациями значений наблюдаемых данных, а ошибки параметров, p , могут быть получены путем распространения ошибок из наблюдений, y ^obs , с использованием линейной формулы. Пусть матрица дисперсии-ковариации для наблюдений будет обозначена как Σ ^y , а матрица параметров - как Σ ^p . Тогда,

${\displaystyle \mathbf {\Sigma ^{p}=\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }W\Sigma ^{y}W^{\mathrm {T} }J(J^{\mathrm {T} }WJ)^{-1}} }$

Когда W = ( Σ ^y ) ⁻¹ , это упрощается до

${\displaystyle \mathbf {\Sigma ^{p}=\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)^{-1}} }$

В большинстве случаев ошибки в наблюдениях не коррелируют, так что Σ ^y является диагональной . Если это так, каждый вес должен быть обратной величиной дисперсии соответствующего наблюдения. Например, при потенциометрическом титровании вес в точке титрования, k , может быть задан как

${\displaystyle W_{k}={\frac {1}{\sigma _{E}^{2}+\left({\frac {\partial E}{\partial v}}\right)_{k}^{2}\sigma _{v}^{2}}}}$

где σ _E — ошибка в потенциале электрода или pH, ( ⁠∂ E/∂ v⁠ )
_к— наклон кривой титрования , а σ _v — ошибка добавленного объема.

При использовании единичных весов ( W = I , p = ( J ^T J ) ⁻¹ J ^T y ) подразумевается, что экспериментальные ошибки некоррелированы и все равны: Σ ^y = σ ² I , где σ ² известно как дисперсия наблюдения единичного веса, а I — единичная матрица . В этом случае σ ² аппроксимируется как

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {U}{n_{\mathrm {d} }-n_{\mathrm {p} }}}}$

где U — минимальное значение целевой функции, а n _d и n _p — количество данных и параметров соответственно.

${\displaystyle \mathbf {\Sigma ^{p}} ={\frac {U}{n_{\mathrm {d} }-n_{\mathrm {p} }}}\left(\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }\mathbf {J} \right)^{-1}}$

Во всех случаях дисперсия параметра p _i определяется как Σ^р
_iiа ковариация между параметрами p _i и p _j определяется как Σ^п
_ij. Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии. Эти оценки ошибок отражают только случайные ошибки в измерениях. Истинная неопределенность параметров больше из-за наличия систематических ошибок , которые по определению не могут быть количественно оценены.

Обратите внимание, что даже если наблюдения не коррелируют, параметры всегда коррелируют .

Производные константы

Когда кумулятивные константы были уточнены, часто бывает полезно вывести из них пошаговые константы. Общая процедура заключается в том, чтобы записать определяющие выражения для всех задействованных констант, а затем уравнять концентрации. Например, предположим, что кто-то хочет вывести pKa для удаления одного протона из трехосновной кислоты, LH ₃ , такой как лимонная кислота .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {L^3-}}+{\ce {H+ <=>}}\ {\ce {LH^2-}}&:\ [{\ce {LH^2-}}]=\beta _{11}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]\\{\ce {L^3-}}+{\ce {2H+ <=>}}\ {\ce {LH2^-}}&:\ [{\ce {LH2^-}}]=\beta _{12}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{2}\\{\ce {L^3-}}+{\ce {3H+ <=>}}\ {\ce {LH3}}&:\ [{\ce {LH3}}]=\beta _{13}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{3}\end{aligned}}}$

Пошаговая константа ассоциации для образования LH ₃ определяется выражением

${\displaystyle {\ce {{LH2^{-}}+H+<=>LH3\ ;\quad \ [LH3]}}=K[{\ce {LH2^{-}}}][{\ce {H+}}]}$

Подставим выражения для концентраций LH ₃ и LH⁻
₂в это уравнение

${\displaystyle \beta _{13}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{3}=K\beta _{12}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{2}[{\ce {H+}}]}$

откуда

${\displaystyle \beta _{13}=K\beta _{12};K={\frac {\beta _{13}}{\beta _{12}}}\,}$

и поскольку p K _a = −log ₁₀ ⁠1/К⁠ его значение определяется как

${\displaystyle {\ce {p}}K_{{\ce {a1}}}=\log _{10}\beta _{13}-\log _{10}\beta _{12}\,}$

${\displaystyle {\ce {p}}K_{{\ce {a2}}}=\log _{10}\beta _{12}-\log _{10}\beta _{11}\,}$

${\displaystyle {\ce {p}}K_{{\ce {a3}}}=\log _{10}\beta _{11}\,}$

Обратите внимание на обратную нумерацию для pK и log β. При вычислении ошибки на ступенчатой ​​константе необходимо учитывать тот факт, что кумулятивные константы коррелируют . По распространению ошибок

${\displaystyle \sigma _{K}^{2}=\sigma _{\beta _{12}}^{2}+\sigma _{\beta _{13}}^{2}-2\sigma _{\beta _{12}}\sigma _{\beta _{13}}\rho _{12,13}\,}$

и

${\displaystyle \sigma _{\log _{10}K}={\frac {\sigma _{K}}{K}}}$

Выбор модели

После завершения уточнения результаты следует проверить, чтобы убедиться, что выбранная модель приемлема. Вообще говоря, модель приемлема, когда данные соответствуют экспериментальной ошибке, но единого критерия для принятия решения не существует. Необходимо учитывать следующее.

Целевая функция

Если веса были правильно получены из оценок экспериментальной ошибки, ожидаемое значение ⁠У/н _д − н _п⁠ равен 1. ^[8] Поэтому очень полезно оценить экспериментальные ошибки и вывести из них некоторые разумные веса, поскольку это является абсолютным показателем качества соответствия.

При использовании единичных весов подразумевается, что все наблюдения имеют одинаковую дисперсию .У/н _д − н _п⁠ ожидается равным этой дисперсии.

Ошибки параметров

Хотелось бы, чтобы ошибки констант устойчивости были примерно соизмеримы с экспериментальной ошибкой. Например, с данными титрования pH, если pH измеряется с точностью до 2 знаков после запятой, ошибки log ₁₀ β не должны быть намного больше 0,01. В исследовательской работе, где природа присутствующих видов заранее неизвестна, можно протестировать и сравнить несколько различных химических моделей. Будут модели, в которых неопределенности в наилучшей оценке константы равновесия могут быть несколько или даже значительно больше, чем σ _pH , особенно с теми константами, которые управляют образованием сравнительно второстепенных видов, но решение о том, насколько большой размер приемлем, остается субъективным. Процесс принятия решения о том, включать ли сравнительно неопределенные равновесия в модель или нет, и для сравнения конкурирующих моделей в целом, можно сделать объективным, и он был описан Гамильтоном. ^[8]

Распределение остатков

При минимуме в U система может быть приближена к линейной, остатки в случае единичных весов связаны с наблюдениями соотношением

${\displaystyle \mathbf {r=y^{\mathrm {obs} }-J\left(J^{\mathrm {T} }T\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }y^{\mathrm {obs} }} }$

Симметричная идемпотентная матрица J ( J T T ) ^{−1 J} известна в статистической литературе как матрица шляпы , H. Таким образом ,

${\displaystyle \mathbf {r=\left(I-H\right)y^{\mathrm {obs} }} }$

и

${\displaystyle \mathbf {M^{r}=\left(I-H\right)M^{y}\left(I-H\right)} }$

где I — единичная матрица , а M ^r и M ^y — матрицы дисперсии-ковариации остатков и наблюдений соответственно. Это показывает, что даже если наблюдения не коррелируют, остатки всегда коррелируют.

На диаграмме справа показан результат уточнения констант устойчивости Ni (Gly) ⁺ , Ni(Gly) ₂ и Ni(Gly)⁻
₃(где GlyH = глицин ). Наблюдаемые значения показаны синими ромбами, а концентрации видов в процентах от общего содержания никеля наложены друг на друга. Остатки показаны в нижнем поле. Остатки не распределены так случайно, как можно было бы ожидать. Это связано с изменением потенциалов жидкостного соединения и другими эффектами на границах раздела стекло/жидкость. Эти эффекты очень медленные по сравнению со скоростью установления равновесия.

Физические ограничения

Некоторые физические ограничения обычно включаются в расчеты. Например, все концентрации свободных реагентов и видов должны иметь положительные значения, а константы ассоциации должны иметь положительные значения.

При использовании спектрофотометрических данных все рассчитанные значения молярной поглощательной способности (или излучательной способности) должны быть положительными. Большинство компьютерных программ не накладывают это ограничение на расчеты.

Химические ограничения

При определении констант устойчивости комплексов металл-лиганд принято фиксировать константы протонирования лиганда на значениях, которые были определены с использованием данных, полученных для растворов без металлов. Константы гидролиза ионов металлов обычно фиксируются на значениях, которые были получены с использованием растворов без лигандов. При определении констант устойчивости тройных комплексов M _p A _q B _r принято фиксировать значения соответствующих бинарных комплексов M _p′ A _q′ и M _p′′ B _q′′ на значениях, которые были определены в отдельных экспериментах. Использование таких ограничений сокращает число определяемых параметров, но может привести к занижению расчетных ошибок уточненных значений констант устойчивости.

Другие модели

Если модель неприемлема, следует рассмотреть множество других моделей, чтобы найти ту, которая лучше всего соответствует экспериментальным данным в пределах экспериментальной ошибки. Основная трудность связана с так называемыми второстепенными видами. Это виды, концентрация которых настолько мала, что влияние на измеряемую величину находится на уровне или ниже уровня ошибки экспериментального измерения. Константу для второстепенного вида может оказаться невозможно определить, если нет способа увеличить концентрацию вида.

Термодинамические принципы взаимодействия хозяина и гостя

Термодинамику взаимодействия хозяин-гость можно оценить с помощью ЯМР-спектроскопии, УФ/видимой спектроскопии и изотермической титрационной калориметрии. ^[9] Количественный анализ значений констант связывания дает полезную термодинамическую информацию. ^[10]

Константа ассоциации может быть определена выражением ${\displaystyle K_{a}^{\ominus }}$

${\displaystyle K_{a}^{\ominus }={\frac {\{HG\}}{\{H\}\{G\}}}={\frac {[HG]}{[H][G]}}\times \Gamma }$

где {HG} — термодинамическая активность комплекса в равновесии. {H} представляет активность хозяина, а {G} — активность гостя. Величины , и — соответствующие концентрации, а — частное коэффициентов активности . ${\displaystyle [HG]}$ ${\displaystyle [H]}$ ${\displaystyle [G]}$ ${\displaystyle \Gamma }$

На практике константа равновесия обычно определяется через концентрации.

${\displaystyle K_{a}={\frac {[HG]}{[H][G]}}}$

При использовании этого определения подразумевается, что отношение коэффициентов активности имеет численное значение, равное единице. Тогда получается, что константа равновесия имеет размерность 1/концентрация, но это не может быть правдой, поскольку стандартное изменение свободной энергии Гиббса пропорционально логарифму . ${\displaystyle K_{A}}$ ${\displaystyle \Delta G^{\ominus }}$ ${\displaystyle K_{A}}$

${\displaystyle \Delta G^{\ominus }=-RT\ln {K_{A}^{\ominus }}}$

Этот очевидный парадокс разрешается, когда размерность определяется как обратная размерности частного концентраций. Подразумевается, что рассматривается как имеющая постоянное значение при всех соответствующих экспериментальных условиях. Тем не менее, общепринятой практикой является приписывание размерности, например миллимоль на литр или микромоль на литр, значению K, которое было определено экспериментально. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Большое значение указывает на то, что молекулы хозяина и гостя сильно взаимодействуют, образуя комплекс хозяин–гость. ${\displaystyle K_{a}}$

Определение значений констант связывания и кинетических констант

Простое комплексообразование хозяин-гость

Когда молекулы хозяина и гостя объединяются в единый комплекс, равновесие представляется как

${\displaystyle H+G\leftrightharpoons HG}$

а константа равновесия K определяется как

${\displaystyle K={\frac {[HG]}{[H][G]}}}$

где [X] обозначает концентрацию химического вещества X (предполагается, что все коэффициенты активности имеют числовые значения 1). Уравнения баланса массы в любой точке данных:

${\displaystyle T_{H}=[H]+K[H][G]}$

${\displaystyle T_{G}=[G]+K[H][G]}$

где и представляют собой общие концентрации хозяина и гостя, могут быть сведены к одному квадратному уравнению, скажем, [G] и, таким образом, могут быть решены аналитически для любого заданного значения K. Затем можно вывести концентрации [H] и [HG]. ${\displaystyle T_{G}}$ ${\displaystyle T_{H}}$

${\displaystyle [H]=T_{H}-T_{G}+[G]}$

${\displaystyle [HG]=K[H][G]}$

Следующим шагом в расчете является вычисление значения, , величины, соответствующей наблюдаемой величине . Затем, сумма квадратов, U, по всем точкам данных, np, может быть определена как ${\displaystyle X_{i}^{calc}}$ ${\displaystyle X_{i}^{obs}}$

${\displaystyle U=\sum _{i=1,np}(X_{i}^{obs}-X_{i}^{calc})^{2}}$

и это может быть минимизировано относительно значения константы стабильности, K, и параметра, такого как химический сдвиг вида HG (данные ЯМР) или его молярная поглощательная способность (данные УФ/видимого). Минимизация может быть выполнена в приложении для работы с электронными таблицами, таком как EXCEL , с использованием встроенной утилиты SOLVER.

Данная процедура применима к аддуктам 1:1.

Общая реакция комплексообразования

Для каждого равновесия, включающего хозяина, H, и гостя G

${\displaystyle pH+qG\leftrightharpoons H_{p}G_{q}}$

константа равновесия, определяется как ${\displaystyle \beta _{pq}}$

${\displaystyle \beta _{pq}={\frac {[H_{p}G_{q}]}{[H]^{p}[G]^{q}}}}$

Значения свободных концентраций и получаются путем решения уравнений баланса масс с известными или оценочными значениями констант устойчивости. ${\displaystyle [H]}$ ${\displaystyle [G]}$

${\displaystyle T_{H}=[H]+\sum p\beta _{pq}[H]^{p}[G]^{q}}$

${\displaystyle T_{G}=[G]+\sum q\beta _{pq}[H]^{p}[G]^{q}}$

Затем концентрации каждого сложного вида также могут быть рассчитаны как . Связь между концентрацией вида и измеренным количеством специфична для метода измерения, как указано в каждом разделе выше. Используя эту связь, набор параметров, значения констант устойчивости и значения свойств, таких как молярная поглощательная способность или заданные химические сдвиги, могут быть уточнены с помощью нелинейного процесса уточнения наименьших квадратов . Для более подробного изложения теории см. Определение констант равновесия. Некоторые специализированные компьютерные программы перечислены в разделе Реализации. ${\displaystyle [H_{p}G_{q}]=\beta _{pq}[H]^{p}[G]^{q}}$

Кооперативность

В кооперативности первоначальное связывание лиганда влияет на сродство хозяина к последующим лигандам. В положительной кооперативности первое связывание усиливает сродство хозяина к другому лиганду. Примерами положительной и отрицательной кооперативности являются рецептор гемоглобина и аспартата соответственно. ^[11]

Общая привязка хост–гость. (1.) Привязка гостя A. (2.) Привязка гостя B. (3.) Положительная кооперативность привязки гостя A–B. (4.) Отрицательная кооперативность привязки гостя A–B.

Термодинамические свойства кооперативности были изучены для того, чтобы определить математические параметры, которые различают положительную или отрицательную кооперативность. Традиционное уравнение свободной энергии Гиббса гласит: . Однако для количественной оценки кооперативности в системе хозяин-гость необходимо учитывать энергию связи. Схема справа показывает связывание A, связывание B, положительное кооперативное связывание A–B и, наконец, отрицательное кооперативное связывание A–B. Поэтому альтернативная форма уравнения свободной энергии Гиббса будет иметь вид ${\displaystyle \Delta G=\Delta H-T\Delta S\ }$

${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }=\Delta G_{A}^{\circ }+\Delta G_{B}^{\circ }-\Delta G_{AB}^{\circ }}$

${\displaystyle \Delta H_{S}^{\circ }=\Delta H_{A}^{\circ }+\Delta H_{B}^{\circ }-\Delta H_{AB}^{\circ }}$

${\displaystyle \ T\Delta G_{S}^{\circ }=T\Delta H_{A}^{\circ }+T\Delta H_{B}^{\circ }-T\Delta S_{AB}^{\circ }}$

где:

${\displaystyle \Delta G_{A}^{\circ }}$= свободная энергия связи A

${\displaystyle \Delta G_{B}^{\circ }}$= свободная энергия связи B

${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }}$= свободная энергия связи для связанных А и В

${\displaystyle \Delta G_{AB}^{\circ }}$= сумма свободных энергий связи

Считается, что если больше суммы и , то он положительно кооперативен. Если меньше, то он отрицательно кооперативен. ^[12] Химия хозяина-гостя не ограничивается взаимодействиями рецептор-линганд. Она также демонстрируется в системах ионного спаривания. Такие взаимодействия изучаются в водной среде с использованием синтетических металлоорганических хозяев и органических гостевых молекул. Например, поликатионный рецептор, содержащий медь (хозяин), координируется с такими молекулами, как тетракарбоксилаты, трикарбаллат, аспартат и ацетат (гости). Это исследование иллюстрирует, что энтропия, а не энтальпия, определяет энергию связи системы, приводящую к отрицательной кооперативности. Большое изменение энтропии возникает из-за смещения молекул растворителя, окружающих лиганд и рецептор. Когда несколько ацетатов связываются с рецептором, он высвобождает больше молекул воды в окружающую среду, чем тетракарбоксилат. Это привело к снижению свободной энергии, подразумевая, что система сотрудничает отрицательно. ^[13] В похожем исследовании с использованием гуанидиния, Cu(II) и гостей из поликарбоксилата было показано, что положительная кооперативность в значительной степени определяется энтальпией. ^[14] Помимо термодинамических исследований, химия хозяин-гость также имеет биологическое применение. ${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }}$ ${\displaystyle \Delta G_{A}^{\circ }}$ ${\displaystyle \Delta G_{B}^{\circ }}$ ${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }}$

Реализации

Некоторые простые системы поддаются расчетам с помощью электронных таблиц. ^{[4] [15]}

Было опубликовано большое количество универсальных компьютерных программ для расчета константы равновесия. Библиографию см. в ^{[16] . Наиболее часто используемые программы:}

• Потенциометрические данные: Hyperquad, BEST ^[17] PSEQUAD, ^[18] ReactLab pH PRO
• Спектрофотометрические данные: HypSpec, SQUAD, ^[18] Specfit, ^[19] ReactLab EQUILIBRIA
• Данные ЯМР HypNMR, EQNMR Архивировано 14 июля 2019 г. на Wayback Machine
• Калориметрические данные HypΔH. Affinimeter
  Commercial Изотермические титрационные калориметры обычно поставляются с программным обеспечением, с помощью которого можно получить константу равновесия и стандартную энтальпию образования для образования аддукта 1:1. Также может поставляться некоторое программное обеспечение для обработки более сложных равновесий.

Ссылки

1. Россотти, Ф. Дж. К.; Россотти, Х. (1961). Определение констант устойчивости . McGraw-Hill.
2. «Определения шкал pH, стандартных справочных значений, измерения pH и связанной терминологии» (PDF) . Pure Appl. Chem . 57 : 531–542. 1985. doi :10.1351/pac198557030531. S2CID  14182410.
3. Сильва, Андре МН; Конг, Сяоле; Хайдер, Роберт К. (2009). «Определение значения p K _a гидроксильной группы в α-гидроксикарбоксилатах цитрате, малате и лактате с помощью ¹³ C ЯМР: последствия для координации металлов в биологических системах». Биометаллы . 22 (5): 771–778. doi :10.1007/s10534-009-9224-5. PMID  19288211. S2CID  11615864.
4. Хибберт, ДБ; Тордарсон, П. (2017). «Смерть графика Джобса, прозрачность, открытая наука и онлайн-инструменты, методы оценки неопределенности и другие разработки в анализе данных супрамолекулярной химии». Chemical Communications . 52 (87): 12792–12805. doi : 10.1039/c6cc03888c . PMID  27779264.
5. Мотекайтис, Р. Дж.; Мартелл, А. Э. (1982). «BEST — Новая программа для строгого расчета параметров равновесия сложных многокомпонентных систем». Can. J. Chem . 60 (19): 2403–2409. doi :10.1139/v82-347.
6. Potvin, P. G. (1990). «Моделирование сложных равновесий растворов. I. Быстрое, беспроблемное уточнение констант равновесия методом наименьших квадратов». Can. J. Chem . 68 (12): 2198–2207. doi : 10.1139/v90-337 .
7. Голуб, Г. Х.; Перейра, В. (1973). «Дифференциация псевдообратных матриц и нелинейные задачи наименьших квадратов, переменные которых разделяются». SIAM J. Numer. Anal . 10 (2): 413–432. Bibcode : 1973SJNA...10..413G. doi : 10.1137/0710036.
8. Hamilton, W. C. (1964). Статистика в физической науке . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Ronald Press.
9. Piñeiro, Á.; Banquy, X.; Pérez-Casas, S.; Tovar, É.; García, A.; Villa, A.; Amigo, A.; Mark, AE; Costas, M. (2007). «О характеристике комплексов хозяин–гость: поверхностное натяжение, калориметрия и молекулярная динамика циклодекстринов с неионным поверхностно-активным веществом». Journal of Physical Chemistry B. 111 ( 17): 4383–92. doi :10.1021/jp0688815. PMID  17428087.
10. Ошибка цитирования: Указанная ссылка textbookбыла вызвана, но не определена (см. страницу справки ).
11. Кошланд, Д. (1996). «Структурная основа отрицательной кооперативности: рецепторы и ферменты». Current Opinion in Structural Biology . 6 (6): 757–761. doi :10.1016/S0959-440X(96)80004-2. PMID  8994875.
12. Jencks, WP (1981). «О приписывании и аддитивности энергий связывания». Труды Национальной академии наук США . 78 (7): 4046–4050. Bibcode : 1981PNAS...78.4046J. doi : 10.1073/pnas.78.7.4046 . PMC 319722. PMID  16593049 . 
13. Dobrzanska, L; Lloyd, G; Esterhuysen, C; Barbour, L (2003). «Исследования термодинамического происхождения отрицательной кооперативности в молекулярном распознавании пар ионов». Журнал Американского химического общества . 125 (36): 10963–10970. doi :10.1021/ja030265o. PMID  12952478.
14. Хьюз, А.; Анслин, Э. (2007). «Катионный хозяин, демонстрирующий положительную кооперативность в воде». Труды Национальной академии наук США . 104 (16): 6538–6543. Bibcode : 2007PNAS..104.6538H. doi : 10.1073/pnas.0609144104 . PMC 1871821. PMID  17420472 . 
15. Билло, Э. Джозеф (2011). Excel для химиков: полное руководство (3-е изд.). Wiley-VCH. ISBN 978-0-470-38123-6.
16. Ганс, П.; Сабатини, А.; Вакка, А. (1996). «Исследование равновесий в растворе. Определение констант равновесия с помощью пакета программ HYPERQUAD». Talanta . 43 (10): 1739–1753. doi :10.1016/0039-9140(96)01958-3. PMID  18966661.
17. Martell, A. E.; Motekaitis, R. J. (1992). Определение и использование констант устойчивости . Wiley-VCH. ISBN 0471188174.
18. Leggett, D. J., ред. (1985). Вычислительные методы определения констант формирования . Plenum Press. ISBN 978-0-306-41957-7.
19. Гэмпп, Х.; Мейдер, М.; Майер, К. Дж.; Цубербюлер, А. (1985). «Вычисление констант равновесия из многоволновых спектроскопических данных — Математические соображения». Talanta . 32 (95): 95–101. doi :10.1016/0039-9140(85)80035-7. PMID  18963802.