stringtranslate.com

Сферическая коническая

Сферические коники, нарисованные на сферической доске. Две конфокальные коники синего и желтого цвета имеют общие фокусы F 1 и F 2 . Углы, образованные красными дугами большого круга от фокусов через одно из пересечений коник, демонстрируют свойство отражения сферических коник. Три взаимно перпендикулярных конических центра и три линии симметрии зеленого цвета определяют сферический октаэдр, совмещенный с главными осями конуса.
Сетка на квадратном диэдре под обратной квинкунциальной проекцией Пирса конформна, за исключением четырех особенностей вокруг экватора, которые становятся фокусами сетки сферических коник.

В математике сферическая коника или сфероконика — это кривая на сфере , пересечение сферы с концентрическим эллиптическим конусом . Это сферический аналог конического сечения ( эллипса , параболы или гиперболы ) на плоскости, и, как и в плоском случае, сферический конус можно определить как геометрическое место точек, сумма или разность расстояний по большому кругу которых до них два фокуса постоянны. [1] Если перенести антиподальную точку в один фокус, каждый сферический эллипс также станет сферической гиперболой , и наоборот. Как пространственная кривая сферическая коника является квартикой , хотя ее ортогональные проекции на три главные оси являются плоскими кониками. Как и плоские коники, сферические коники также обладают «свойством отражения»: дуги большого круга, ведущие от двух фокусов к любой точке коники, имеют касательную и нормаль к конике в этой точке в качестве биссектрисы угла.

Многие теоремы о кониках на плоскости распространяются на сферические коники. Например, теорема Грейвса и теорема Айвори о софокусных кониках также могут быть доказаны на сфере; о плоских версиях см. конфокальные конические разделы . [2]

Подобно тому, как длина дуги эллипса задается неполным эллиптическим интегралом второго рода, длина дуги сферической коники задается неполным эллиптическим интегралом третьего рода. [3]

Ортогональная система координат в евклидовом пространстве, основанная на концентрических сферах и квадратичных конусах, называется конической или сфероконической системой координат. Если ограничиться поверхностью сферы, остальные координаты представляют собой софокусные сферические коники. Иногда ее называют эллиптической системой координат на сфере по аналогии с плоской эллиптической системой координат . Такие координаты можно использовать при вычислении конформных отображений сферы на плоскость. [4]

Приложения

Решением задачи Кеплера в пространстве равномерной положительной кривизны является сферическая коника с потенциалом, пропорциональным котангенсу геодезического расстояния. [5]

Поскольку двухточечная эквидистантная проекция сохраняет расстояния до пары заданных точек, она отображает семейство софокусных коник на сфере в два семейства софокусных эллипсов и гипербол на плоскости. [6]

Если часть Земли смоделирована сферической, например, с использованием соприкасающейся сферы в точке эллипсоида вращения, гиперболы, используемые в гиперболической навигации (которая определяет положение на основе разницы во времени приема сигнала от фиксированных радиопередатчиков), будут сферическими. коники. [7]

Примечания

  1. ^ Фусс, Николас (1788). «De proprietatibus quibusdam ellipseos in superficie sphaerica descriptae» [О некоторых свойствах эллипсов, описываемых на сферической поверхности]. Nova Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae (на латыни). 3 : 90–99.
  2. ^ Стачел, Хельмут ; Валлнер, Йоханнес (2004). «Теорема Айвори в гиперболических пространствах» (PDF) . Сибирский математический журнал . 45 (4): 785–794.
  3. ^ Гудерманн, Кристоф (1835). «Integralia elliptica tertiae speciei Reducendi Methodus simplicior, quae simul ad ipsorum applicationem facillimam et computum numericum expeditum perducit.sectionum conico–sphaericarum qudratura et rectification» [Более простой метод приведения эллиптических интегралов третьего рода, обеспечивающий простоту применения и удобные численные вычисления: Квадратура и ректификация конико-сферических сечений. Журнал Крелля . 14 : 169–181.
    Бут, Джеймс (1844). «IV. О спрямлении и квадратуре сферического эллипса». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 25 (163): 18–38. дои : 10.1080/14786444408644925.
  4. ^ Гюю, Эмиль (1887). «Новая система проекции сферы: Обобщение проекции Меркатора» [Новая система проекции сферы: Обобщение проекции Меркатора]. Гидрографические Анналы . Сер. 2 (на французском языке). 9 :16–35.
    Адамс, Оскар Шерман (1925). Эллиптические функции, примененные к конформным картам мира (PDF) . Типография правительства США. Специальная публикация № 112 береговой и геодезической службы США.
  5. ^ Хиггс, Питер В. (1979). «Динамические симметрии в сферической геометрии I». Журнал физики A: Математический и общий . 12 (3): 309–323. дои : 10.1088/0305-4470/12/3/006.
    Козлов Валерий Васильевич ; Харин, Александр О. (1992). «Проблема Кеплера в пространствах постоянной кривизны». Небесная механика и динамическая астрономия . 54 (4): 393–399. дои : 10.1007/BF00049149.
    Кариньена, Хосе Ф.; Раньяда, Мануэль Ф.; Сантандер, Мариано (2005). «Центральные потенциалы на пространствах постоянной кривизны: задача Кеплера на двумерной сфере S 2 и гиперболической плоскости H 2 ». Журнал математической физики . 46 (5): 052702. arXiv : math-ph/0504016 . дои : 10.1063/1.1893214.
    Арнольд, Владимир ; Козлов Валерий Васильевич ; Нейштадт, Анатолий Иванович (2007). Математические аспекты классической и небесной механики . дои : 10.1007/978-3-540-48926-9.
    Диаку, Флорин (2013). «Задача изогнутых N тел: риски и выгоды» (PDF) . Математический интеллект . 35 (3): 24–33.
  6. ^ Кокс, Жак-Франсуа (1946). «Дважды равноотстоящая проекция». Бюллетень геодезии . 2 (1): 74–76. дои : 10.1007/bf02521618.
  7. ^ Разин, Шелдон (1967). «Явное (неитеративное) решение Лорана». Навигация . 14 (3): 265–269. doi :10.1002/j.2161-4296.1967.tb02208.x.
    Фрейслебен, Ганс-Кристиан (1976). «Сферические гиперболы и эллипсы». Журнал навигации . 29 (2): 194–199. дои : 10.1017/S0373463300030186.

Рекомендации