Сферические мультипольные моменты

Коэффициенты разложения потенциала в ряд

В физике сферические мультипольные моменты представляют собой коэффициенты в ряду разложения потенциала , который изменяется обратно пропорционально расстоянию R до источника, т. е . как  ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{R}}.}$ Примерами таких потенциалов являются электрический потенциал , магнитный потенциал и гравитационный потенциал .

Для ясности мы проиллюстрируем расширение для точечного заряда ^[1] , затем обобщим до произвольной плотности заряда В этой статье штрихованные координаты, такие как относятся к положению заряда(ов), тогда как нештрихованные координаты, такие как относятся к точке, в которой наблюдается потенциал. Мы также используем сферические координаты повсюду, например, вектор имеет координаты , где — радиус, — коширота , а — азимутальный угол. ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ').}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle \theta '}$ ${\displaystyle \phi '}$

Сферические мультипольные моменты точечного заряда

Рисунок 1: Определения для сферического мультипольного расширения

Электрический потенциал, обусловленный точечным зарядом, расположенным в , определяется выражением , где — расстояние между положением заряда и точкой наблюдения, а — угол между векторами и . Если радиус точки наблюдения больше радиуса заряда, мы можем вынести за скобки 1/ r и разложить квадратный корень по степеням с помощью полиномов Лежандра. Это в точности аналогично разложению аксиального мультиполя . ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2r'r\cos \gamma }}}.}$$ ${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle (r'/r)<1}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma )}$$

Через координаты точки наблюдения и положение заряда можно выразить, используя сферический закон косинусов (рис. 2) ${\displaystyle \cos \gamma }$ $${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')}$$

Рисунок 2: Углы между единичными векторами (осью координат), (точкой наблюдения) и (положением заряда). ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$

Подстановка этого уравнения в полиномы Лежандра и разложение штрихованных и нештрихованных координат дает важную формулу, известную как теорема о сферическом гармоническом сложении , где функции являются сферическими гармониками . Подстановка этой формулы в потенциал дает ${\displaystyle \cos \gamma }$ $${\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$ ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

что можно записать как где мультипольные моменты определены $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ q\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').}$$

Как и в случае с осевыми мультипольными моментами , мы можем также рассмотреть случай, когда радиус точки наблюдения меньше радиуса заряда. В этом случае мы можем записать, что можно записать как , где внутренние сферические мультипольные моменты определяются как комплексно сопряженные нерегулярные твердые гармоники ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r'}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r'}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r}{r'}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {q}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

Оба случая можно объединить в одно выражение, если и определены как меньший и больший из двух радиусов и ; тогда потенциал точечного заряда принимает форму, которую иногда называют разложением Лапласа ${\displaystyle r_{<}}$ ${\displaystyle r_{>}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r'}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{\ell }}{r_{>}^{\ell +1}}}\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

Внешние сферические мультипольные моменты

Эти формулы легко обобщить, заменив точечный заряд бесконечно малым элементом заряда и проинтегрировав. Функциональная форма разложения та же самая. Во внешнем случае, когда , результат таков: где общие мультипольные моменты определены ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')d\mathbf {r} '}$ ${\displaystyle r>r'}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\,,}$$ $${\displaystyle Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').}$$

Примечание

Потенциал Φ( r ) является действительным, так что комплексное сопряжение расширения одинаково справедливо. Взятие комплексного сопряжения приводит к определению мультипольного момента, который пропорционален Y _ℓm , а не его комплексному сопряжению. Это общепринятое соглашение, см. молекулярные мультиполи для получения более подробной информации.

Внутренние сферические мультипольные моменты

Аналогично, внутреннее мультипольное расширение имеет ту же функциональную форму. В случае внутреннего мультипольного расширения, где , результат: с внутренними мультипольными моментами, определенными как ${\displaystyle r'>r}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}$$ $${\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').}$$

Энергии взаимодействия сферических мультиполей

Можно вывести простую формулу для энергии взаимодействия двух неперекрывающихся, но концентрических распределений зарядов. Пусть первое распределение зарядов будет центрировано в начале координат и полностью находиться внутри второго распределения зарядов . Энергия взаимодействия между любыми двумя статическими распределениями зарядов определяется как ${\displaystyle \rho _{1}(\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \rho _{2}(\mathbf {r} ')}$ $${\displaystyle U\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} \rho _{2}(\mathbf {r} )\Phi _{1}(\mathbf {r} ).}$$

Потенциал первого (центрального) распределения заряда может быть разложен по внешним мультиполям , где представляет собой внешний мультипольный момент первого распределения заряда. Подстановка этого разложения дает формулу ${\displaystyle \Phi _{1}(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ ${\displaystyle Q_{1\ell m}}$ ${\displaystyle \ell m}$ $${\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\int d\mathbf {r} \ \rho _{2}(\mathbf {r} )\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

Поскольку интеграл равен комплексному сопряжению внутренних мультипольных моментов второго (периферического) распределения заряда, формула энергии сводится к простому виду ${\displaystyle I_{2\ell m}}$ $${\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}I_{2\ell m}^{*}}$$

Например, эта формула может быть использована для определения электростатических энергий взаимодействия атомного ядра с окружающими его электронными орбиталями. И наоборот, зная энергии взаимодействия и внутренние мультипольные моменты электронных орбиталей, можно найти внешние мультипольные моменты (и, следовательно, форму) атомного ядра.

Частный случай осевой симметрии

Сферическое мультипольное расширение принимает простую форму, если распределение заряда аксиально-симметрично (т.е. не зависит от азимутального угла ). Выполняя интегрирования, которые определяют и , можно показать, что все мультипольные моменты равны нулю, за исключением случая . Используя математическое тождество, внешнее мультипольное расширение становится таким, где аксиально-симметричные мультипольные моменты определены В пределе, когда заряд ограничен осью , мы восстанавливаем внешние аксиальные мультипольные моменты . ${\displaystyle \phi '}$ ${\displaystyle \phi '}$ ${\displaystyle Q_{\ell m}}$ ${\displaystyle I_{\ell m}}$ ${\displaystyle m=0}$ $${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell 0}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {Q_{\ell }}{r^{\ell +1}}}\right)P_{\ell }(\cos \theta )}$$ $${\displaystyle Q_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta ')}$$ ${\displaystyle z}$

Аналогично внутреннее мультипольное расширение становится таким, где определены аксиально-симметричные внутренние мультипольные моменты. В пределе, когда заряд ограничен осью , мы восстанавливаем внутренние аксиальные мультипольные моменты . $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }I_{\ell }r^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}$$ $${\displaystyle I_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \theta ')}$$ ${\displaystyle z}$

Смотрите также

• Сплошные гармоники
• расширение Лапласа
• Расширение мультиполя
• полиномы Лежандра
• Аксиальные мультипольные моменты
• Цилиндрические мультипольные моменты

Ссылки

1. Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-30932-1.