stringtranslate.com

Сферический многогранник

Одним из наиболее известных сферических многогранников является футбольный мяч , который можно рассматривать как сферический усеченный икосаэдр .
Этот пляжный мяч был бы осоэдром с 6 сферическими гранями в форме луночки, если бы были удалены 2 белых колпачка на концах.

В геометрии сферический многогранник или сферическая мозаика — это мозаика сферы , в которой поверхность разделена или разложена большими дугами на ограниченные области, называемые сферическими многоугольниками . Многогранник , вершины которого равноудалены от его центра, можно удобно изучать, проектируя его ребра на сферу, чтобы получить соответствующий сферический многогранник.

Самый известный сферический многогранник — это футбольный мяч , который рассматривается как сферический усеченный икосаэдр . Следующий по популярности сферический многогранник — это пляжный мяч , который рассматривается как осоэдр .

Некоторые «несобственные» многогранники, такие как осоэдры и их двойственные , диэдры , существуют как сферические многогранники, но их плоские аналоги являются вырожденными . Пример шестиугольного пляжного мяча, {2, 6}, является осоэдром, а {6, 2} — его двойственный диэдр.

История

В X веке исламский ученый Абу аль-Вафа Бузджани (Абу-ль-Вафа) изучал сферические многогранники в рамках работы по геометрии, необходимой ремесленникам и архитекторам. [1]

Работа Бакминстера Фуллера по геодезическим куполам в середине 20-го века вызвала бум в изучении сферических многогранников. [2] Примерно в то же время Коксетер использовал их для перечисления всех, кроме одного, однородных многогранников , посредством построения калейдоскопов ( построение Вайтхоффа ). [3]

Примеры

Все правильные многогранники , полуправильные многогранники и их двойственные многогранники можно спроецировать на сферу в виде мозаик:

Замощение сферы сферическими треугольниками (икосаэдр, некоторые сферические треугольники которого искажены).

Неподходящие случаи

Сферические мозаики допускают случаи, которые не допускают многогранники, а именно осоэдры : фигуры как {2,n}, и диэдры : фигуры как {n,2}. Обычно используются правильные осоэдры и правильные диэдры.

Связь с мозаиками проективной плоскости

Сферические многогранники, имеющие по крайней мере одну обратную симметрию , связаны с проективными многогранниками [4] (замощениями действительной проективной плоскости ) – так же, как сфера имеет 2-кратное покрытие проективной плоскости, проективные многогранники соответствуют при 2-кратном покрытии сферическим многогранникам, которые симметричны относительно отражения относительно начала координат .

Наиболее известными примерами проективных многогранников являются правильные проективные многогранники, частные центрально-симметричных Платоновых тел , а также два бесконечных класса четных диэдров и осоэдров : [5]

Смотрите также

На Викискладе есть медиафайлы по теме Сферические многогранники .

Ссылки

  1. ^ Сарханги, Реза (сентябрь 2008 г.). «Иллюстрирование Абу аль-Вафа Бузджани: плоские изображения, сферические конструкции». Iranian Studies . 41 (4): 511–523. doi :10.1080/00210860802246184.
  2. ^ Попко, Эдвард С. (2012). Разделенные сферы: геодезические и упорядоченное подразделение сферы. CRC Press. стр. xix. ISBN 978-1-4665-0430-1Изобретение Бакминстером Фуллером геодезического купола стало самым большим стимулом для исследований и разработок в области сферического подразделения.
  3. ^ Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954). «Однородные многогранники». Phil. Trans . 246 A (916): 401–50. JSTOR  91532.
  4. ^ МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002). "6C. Проективные правильные многогранники". Абстрактные правильные многогранники . Cambridge University Press. стр. 162–5. ISBN 0-521-81496-0.
  5. ^ Коксетер, HSM (1969). "§21.3 Регулярные карты"". Введение в геометрию (2-е изд.). Wiley. С. 386–8. ISBN 978-0-471-50458-0. МР  0123930.