Модель Изинга с квадратной решеткой

В статистической механике модель Изинга с двумерной квадратной решеткой представляет собой простую решеточную модель взаимодействующих магнитных спинов . Модель примечательна тем, что имеет нетривиальные взаимодействия, но при этом имеет аналитическое решение . Модель была решена Ларсом Онзагером для частного случая, когда внешнее магнитное поле H = 0. ^[1] Аналитическое решение для общего случая еще не найдено. ${\displaystyle H\neq 0}$

Определение функции распределения

Рассмотрим двумерную модель Изинга на квадратной решетке с N узлами и периодическими граничными условиями как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях, что эффективно сводит топологию модели к тору . В общем случае горизонтальная связь и вертикальная связь не равны. При абсолютной температуре и постоянной Больцмана функция распределения ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{*}}$ ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Z_{N}(K\equiv \beta J,L\equiv \beta J^{*})=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{\langle ij\rangle _{H}}\sigma _{i}\sigma _{j}+L\sum _{\langle ij\rangle _{V}}\sigma _{i}\sigma _{j}\right).}$

Критическая температура

Критическую температуру можно получить из соотношения двойственности Крамерса–Ванье . Обозначая свободную энергию на узел как , имеем: ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle F(K,L)}$

${\displaystyle \beta F\left(K^{*},L^{*}\right)=\beta F\left(K,L\right)+{\frac {1}{2}}\log {\big [}\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right){\big ]}}$

где

${\displaystyle \sinh \left(2K^{*}\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

${\displaystyle \sinh \left(2L^{*}\right)\sinh \left(2K\right)=1}$

Предполагая, что в плоскости ( K , L ) имеется только одна критическая линия , соотношение двойственности подразумевает, что это задается выражением:

${\displaystyle \sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

Для изотропного случая можно найти известное соотношение для критической температуры ${\displaystyle J=J^{*}}$ ${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle {\frac {kT_{\text{c}}}{J}}={\frac {2}{\ln(1+{\sqrt {2}})}}\approx 2.26918531421}$

Двойная решетка

Рассмотрим конфигурацию спинов на квадратной решетке . Пусть r и s обозначают число непохожих соседей в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Тогда слагаемое в соответствующем задается как ${\displaystyle \{\sigma \}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle \{\sigma \}}$

${\displaystyle e^{K(N-2s)+L(N-2r)}}$

Двойная решетка

Постройте двойную решетку, как показано на схеме. Для каждой конфигурации многоугольник связывается с решеткой путем рисования линии на краю двойной решетки, если спины, разделенные ребром, не похожи. Поскольку при прохождении вершины спины должны измениться четное число раз, чтобы прийти к начальной точке с тем же зарядом, каждая вершина двойной решетки связана с четным числом линий в конфигурации, определяя многоугольник. ${\displaystyle \Lambda _{D}}$ ${\displaystyle \{\sigma \}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Конфигурация спина на двойной решетке

Это уменьшает функцию распределения до

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

суммирование по всем многоугольникам в дуальной решетке, где r и s — число горизонтальных и вертикальных линий в многоугольнике, с коэффициентом 2, возникающим из-за инверсии конфигурации спина.

Низкотемпературное расширение

При низких температурах K , L стремятся к бесконечности, так что при , так что ${\displaystyle T\rightarrow 0,\ \ e^{-K},e^{-L}\rightarrow 0}$

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

определяет низкотемпературное расширение . ${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

Расширение при высоких температурах

Так как у одного есть ${\displaystyle \sigma \sigma '=\pm 1}$

${\displaystyle e^{K\sigma \sigma '}=\cosh K+\sinh K(\sigma \sigma ')=\cosh K(1+\tanh K(\sigma \sigma ')).}$

Поэтому

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{\{\sigma \}}\prod _{\langle ij\rangle _{H}}(1+v\sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{\langle ij\rangle _{V}}(1+w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

где и . Поскольку имеется N горизонтальных и вертикальных ребер, в разложении имеется всего членов . Каждый член соответствует конфигурации линий решетки, связывая линию, соединяющую i и j, если член (или выбран в произведении. Суммируя по конфигурациям, используя ${\displaystyle v=\tanh K}$ ${\displaystyle w=\tanh L}$ ${\displaystyle 2^{2N}}$ ${\displaystyle v\sigma _{i}\sigma _{j}}$ ${\displaystyle w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

${\displaystyle \sum _{\sigma _{i}=\pm 1}\sigma _{i}^{n}={\begin{cases}0&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\\2&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\end{cases}}}$

показывает, что только конфигурации с четным числом линий в каждой вершине (многоугольники) будут вносить вклад в функцию распределения, давая

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2^{N}(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{P\subset \Lambda }v^{r}w^{s}}$

где сумма берется по всем полигонам в решетке. Поскольку tanh K , tanh L как , это дает высокотемпературное расширение . ${\displaystyle \rightarrow 0}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

Два расширения можно связать, используя двойственность Крамерса–Ванье .

Точное решение

Свободная энергия на сайт в пределе определяется следующим образом. Определим параметр как ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {1}{\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)}}}$

Свободную энергию Гельмгольца на участок можно выразить как ${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\beta F={\frac {\log(2)}{2}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left[\cosh \left(2K\right)\cosh \left(2L\right)+{\frac {1}{k}}{\sqrt {1+k^{2}-2k\cos(2\theta )}}\right]d\theta }$

Для изотропного случая из приведенного выше выражения можно найти внутреннюю энергию на узел: ${\displaystyle J=J^{*}}$

${\displaystyle U=-J\coth(2\beta J)\left[1+{\frac {2}{\pi }}(2\tanh ^{2}(2\beta J)-1)\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-4k(1+k)^{-2}\sin ^{2}(\theta )}}}d\theta \right]}$

и спонтанная намагниченность равна, для , ${\displaystyle T<T_{\text{c}}}$

${\displaystyle M=\left[1-\sinh ^{-4}(2\beta J)\right]^{1/8}}$

и для . ${\displaystyle M=0}$ ${\displaystyle T\geq T_{\text{c}}}$

Примечания

1. Онсагер, Ларс (1944-02-01). «Статистика кристаллов. I. Двумерная модель с переходом порядок-беспорядок». Physical Review . 65 (3–4): 117–149. doi :10.1103/PhysRev.65.117.

Ссылки

• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решенные модели в статистической механике (PDF) , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, МР  0690578
• Бакстер, Родни Дж. (2016). «Объемная, поверхностная и угловая свободная энергия модели Изинга с квадратной решеткой». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 50 (1). Издательство IOP: 014001. arXiv : 1606.02029 . doi : 10.1088/1751-8113/50/1/014001. ISSN  1751-8113. S2CID  2467419.
• Курт Биндер (2001) [1994], "Модель Изинга", Энциклопедия математики , EMS Press
• BRUSH, STEPHEN G. (1967-10-01). "История модели Ленца-Изинга". Reviews of Modern Physics . 39 (4). Американское физическое общество (APS): 883–893. Bibcode : 1967RvMP...39..883B. doi : 10.1103/revmodphys.39.883. ISSN  0034-6861.
• Хуан, Керсон (1987), Статистическая механика (2-е издание) , Wiley, ISBN 978-0471815181
• Hucht, Alfred (2021). "Модель Изинга с квадратной решеткой на прямоугольнике III: определители Ганкеля и Теплица". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 54 (37). IOP Publishing: 375201. arXiv : 2103.10776 . Bibcode :2021JPhA...54K5201H. doi :10.1088/1751-8121/ac0983. ISSN  1751-8113. S2CID  232290629.
• Изинг, Эрнст (1925), "Beitrag zur Theorie des Ferromanetismus", Z. Phys. , 31 (1): 253–258, Бибкод : 1925ZPhy...31..253I, doi : 10.1007/BF02980577, S2CID  122157319
• Ицыксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистика полей, Том 1 , Savoirs actuels ( CNRS ), EDP Sciences Editions, ISBN 978-2868833600
• Ицыксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля, Том 1: От броуновского движения к перенормировке и решеточной калибровочной теории , Cambridge University Press, ISBN 978-0521408059
• Барри М. Маккой и Тай Цун Ву (1973), Двумерная модель Изинга . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-91440-6 
• Монтролл, Эллиотт В.; Поттс, Ренфри Б.; Уорд, Джон К. (1963), «Корреляции и спонтанная намагниченность двумерной модели Изинга», Журнал математической физики , 4 (2): 308–322, Bibcode : 1963JMP.....4..308M, doi : 10.1063/1.1703955, ISSN  0022-2488, MR  0148406, архивировано из оригинала 2013-01-12
• Онсагер, Ларс (1944), «Статистика кристаллов. I. Двумерная модель с переходом порядок-беспорядок», Phys. Rev. , Series II, 65 (3–4): 117–149, Bibcode : 1944PhRv...65..117O, doi : 10.1103/PhysRev.65.117, MR  0010315
• Онсагер, Ларс (1949), «Дискуссия», Supplemento al Nuovo Cimento , 6 : 261
• Джон Палмер (2007), Плоские корреляции Изинга . Биркхойзер, Бостон, ISBN 978-0-8176-4248-8 . 
• Янг, CN (1952), «Спонтанное намагничивание двумерной модели Изинга», Physical Review , Series II, 85 (5): 808–816, Bibcode : 1952PhRv...85..808Y, doi : 10.1103/PhysRev.85.808, MR  0051740