Стебель (сноп)

Математическое построение

В математике стебель снопа — это математическая конструкция , описывающая поведение снопа вокруг заданной точки.

Мотивация и определение

Пучки определены на открытых множествах , но лежащее в их основе топологическое пространство состоит из точек. Разумно попытаться изолировать поведение пучка в одной фиксированной точке . Концептуально говоря, мы делаем это, рассматривая малые окрестности точки. Если мы рассмотрим достаточно малую окрестность , поведение пучка в этой малой окрестности должно быть таким же, как поведение в этой точке. Конечно, ни одна отдельная окрестность не будет достаточно малой, поэтому нам придется взять некий предел. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Точное определение следующее: стебель at , обычно обозначаемый , это: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}:=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U).}$

Здесь прямой предел индексируется по всем открытым множествам, содержащим , с отношением порядка, индуцированным обратным включением ( , если ). По определению (или универсальному свойству ) прямого предела элемент стебля является классом эквивалентности элементов , где два таких сечения и считаются эквивалентными , если ограничения двух сечений совпадают в некоторой окрестности . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle U\supseteq V}$ ${\displaystyle f_{U}\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle f_{V}}$ ${\displaystyle x}$

Альтернативное определение

Есть другой подход к определению стебля, который полезен в некоторых контекстах. Выберите точку , и пусть будет включением одноточечного пространства в . Тогда стебель совпадает с обратным образом пучка . Обратите внимание, что единственными открытыми множествами одноточечного пространства являются и , и нет никаких данных над пустым множеством. Однако над мы получаем: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle i^{-1}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle i^{-1}{\mathcal {F}}(\{x\})=\varinjlim _{U\supseteq \{x\}}{\mathcal {F}}(U)=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U)={\mathcal {F}}_{x}.}$

Замечания

Для некоторых категорий C прямой предел, используемый для определения стебля, может не существовать. Однако он существует для большинства категорий, которые встречаются на практике, таких как категория множеств или большинство категорий алгебраических объектов, таких как абелевы группы или кольца , которые являются именно кополными .

Существует естественный морфизм для любого открытого множества, содержащего : он переводит сечение в в его росток , то есть в его класс эквивалентности в прямом пределе. Это обобщение обычного понятия ростка , которое можно восстановить, посмотрев на стебли пучка непрерывных функций на . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle X}$

Примеры

Постоянные шкивы

Постоянный пучок, связанный с некоторым множеством (или группой, кольцом и т. д.), — это пучок, для которого для всех из . ${\displaystyle {\underline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\underline {S}}_{x}=S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Пучки аналитических функций

Например, в пучке аналитических функций на аналитическом многообразии росток функции в точке определяет функцию в малой окрестности точки. Это происходит потому, что росток записывает разложение функции в степенной ряд , и все аналитические функции по определению локально равны своим степенным рядам. Используя аналитическое продолжение , мы находим, что росток в точке определяет функцию на любом связном открытом множестве, где функция может быть определена всюду. (Это не означает, что все отображения ограничений этого пучка инъективны!)

Пучки гладких функций

Напротив, для пучка гладких функций на гладком многообразии ростки содержат некоторую локальную информацию, но их недостаточно для реконструкции функции в любой открытой окрестности. Например, пусть будет функцией выпуклости , которая тождественно равна единице в окрестности начала координат и тождественно равна нулю вдали от начала координат. В любой достаточно малой окрестности, содержащей начало координат, тождественно равна единице, поэтому в начале координат она имеет тот же росток, что и постоянная функция со значением 1. Предположим, что мы хотим реконструировать из ее ростка. Даже если мы заранее знаем, что является функцией выпуклости, росток не сообщает нам, насколько велик ее выступ. Из того, что нам сообщает росток, выпуклость может быть бесконечно широкой, то есть может равняться постоянной функции со значением 1. Мы не можем реконструировать даже в небольшой открытой окрестности, содержащей начало координат, потому что мы не можем сказать, полностью ли вписывается выпуклость в или она настолько велика, что тождественно равна единице в . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$

С другой стороны, ростки гладких функций могут различать постоянную функцию со значением один и функцию , потому что последняя функция не является тождественно единицей ни в какой окрестности начала координат. Этот пример показывает, что ростки содержат больше информации, чем разложение функции в степенной ряд, потому что степенной ряд тождественно единица. (Эта дополнительная информация связана с тем фактом, что стебель пучка гладких функций в начале координат является не- нётеровым кольцом . Теорема Крулля о пересечении утверждает, что этого не может произойти для нётерова кольца.) ${\displaystyle 1+e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle 1+e^{-1/x^{2}}}$

Квазикогерентные пучки

На аффинной схеме стебель квазикогерентного пучка, соответствующего -модулю в точке, соответствующей простому идеалу, является просто локализацией . ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M_{p}}$

Сноп небоскребов

На любом топологическом пространстве небоскребный пучок, связанный с замкнутой точкой и группой или кольцом, имеет черешки, которые можно включить и выключить — отсюда и название небоскреб . Эта идея становится более понятной, если принять общепринятую визуализацию функций, отображающих из некоторого пространства выше в пространство ниже; с этой визуализацией любая функция, которая отображает , располагается непосредственно над . То же самое свойство справедливо для любой точки, если рассматриваемое топологическое пространство является пространством T 1 , поскольку каждая точка пространства T ₁ замкнута. Эта особенность является основой построения резолюций Годемана , используемых, например, в алгебраической геометрии для получения функториальных инъективных резолюций пучков. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G\to x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Свойства стебля

Как было отмечено во введении, стебли фиксируют локальное поведение пучка. Поскольку пучок должен определяться своими локальными ограничениями (см. аксиому склеивания ), можно ожидать, что стебли фиксируют достаточное количество информации, которую кодирует пучок. Это действительно так:

• Морфизм пучков является изоморфизмом , эпиморфизмом или мономорфизмом соответственно тогда и только тогда, когда индуцированные морфизмы на всех стеблях обладают одним и тем же свойством. (Однако неверно, что два пучка, все стебли которых изоморфны, также изоморфны, поскольку между рассматриваемыми пучками может не существовать отображения.)

В частности:

• Пучок равен нулю (если мы имеем дело с пучками групп), если и только если все стебли пучка равны нулю. Поэтому точность данного функтора можно проверить на стеблях, что часто проще, поскольку можно переходить к все меньшим и меньшим окрестностям.

Оба утверждения ложны для предпучков . Однако стебли пучков и предпучков тесно связаны:

• При наличии предпучка и его сшивания стебли и совпадают. Это следует из того факта, что пучок является образом через левый сопряженный (потому что функтор сшивания является левым сопряженным к функтору включения ), и того факта, что левые сопряженные сохраняют копределы. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle (-)^{+}:\mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}\to Sh(X)}$ ${\displaystyle Sh(X)\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}}$

Ссылка

• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 9780387902449.
• Теннисон, BR (1975). Теория пучков. doi :10.1017/CBO9780511661761. ISBN 9780521207843.

Внешние ссылки

• преследование в nLab
• Авторы проекта Stacks. «6.11 Stalks».
• Авторы проекта Stacks. «6.27 Связки и стебли небоскребов».
• Горески, Марк. «Введение в извращенные пучки» (PDF) . Институт перспективных исследований.
• Киран Кедлая. 18.726 Алгебраическая геометрия (LEC # 3 - 5 пучков) Весна 2009 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .