В математике таблица Юнга ( / t æ ˈ b l oʊ , ˈ t æ b l oʊ / ; множественное число: tableaux ) — комбинаторный объект , полезный в теории представлений и исчислении Шуберта . Она обеспечивает удобный способ описания групповых представлений симметрических и общих линейных групп и изучения их свойств.
Таблицы Юнга были введены Альфредом Юнгом , математиком из Кембриджского университета , в 1900 году. [1] [2] Затем они были применены к изучению симметрической группы Георгом Фробениусом в 1903 году. Их теория была далее развита многими математиками, включая Перси Макмахона , В. В. Д. Ходжа , Дж. де Б. Робинсона , Джан-Карло Роту , Алена Ласку , Марселя-Поля Шютценбергера и Ричарда П. Стэнли .
Примечание: в данной статье используется английская система обозначений для отображения диаграмм и таблиц Юнга .
Диаграмма Юнга (также называемая диаграммой Феррерса , особенно когда представлена с использованием точек) представляет собой конечный набор блоков или ячеек, расположенных в выровненных по левому краю строках, с длинами строк в невозрастающем порядке. Перечисление количества блоков в каждой строке дает разбиение λ неотрицательного целого числа n , общего количества блоков диаграммы. Говорят, что диаграмма Юнга имеет форму λ , и она несет ту же информацию, что и это разбиение. Содержание одной диаграммы Юнга в другой определяет частичное упорядочение на множестве всех разбиений, которое на самом деле является решетчатой структурой, известной как решетка Юнга . Перечисление количества блоков диаграммы Юнга в каждом столбце дает другое разбиение, сопряженное или транспонированное разбиение λ ; можно получить диаграмму Юнга этой формы, отразив исходную диаграмму вдоль ее главной диагонали.
Существует почти всеобщее согласие, что при маркировке блоков диаграмм Юнга парами целых чисел первый индекс выбирает строку диаграммы, а второй индекс выбирает блок внутри строки. Тем не менее, существуют два различных соглашения для отображения этих диаграмм и, следовательно, таблиц: первое размещает каждую строку под предыдущей, второе размещает каждую строку поверх предыдущей. Поскольку первое соглашение в основном используется англоговорящими, а второе часто предпочитают франкоговорящие , принято называть эти соглашения соответственно английской нотацией и французской нотацией ; например, в своей книге о симметричных функциях Макдональд советует читателям, предпочитающим французскую нотацию, «читать эту книгу вверх ногами в зеркале» (Macdonald 1979, стр. 2). Эта номенклатура, вероятно, началась как шутливая. Английская нотация соответствует той, которая повсеместно используется для матриц, в то время как французская нотация ближе к соглашению о декартовых координатах ; Однако французская нотация отличается от этой конвенции тем, что первой ставится вертикальная координата. На рисунке справа показана диаграмма Юнга, соответствующая разбиению (5, 4, 1) числа 10 в английской нотации. Сопряженное разбиение, измеряющее длины столбцов, равно (3, 2, 2, 2, 1).
Во многих приложениях, например, при определении функций Джека , удобно определять длину плеча a λ ( s ) ящика s как количество ящиков справа от s на диаграмме λ в английской нотации. Аналогично, длина ноги l λ ( s ) — это количество ящиков ниже s . Длина крючка ящика s — это количество ящиков справа от s или ниже s в английской нотации, включая сам ящик s ; другими словами, длина крючка равна a λ ( s ) + l λ ( s ) + 1.
Таблица Юнга получается путем заполнения ячеек диаграммы Юнга символами, взятыми из некоторого алфавита , который обычно должен быть полностью упорядоченным набором . Первоначально этот алфавит был набором индексированных переменных x 1 , x 2 , x 3 ..., но теперь обычно используют набор чисел для краткости. В своем первоначальном применении к представлениям симметрической группы таблицы Юнга имеют n различных записей, произвольно назначенных ячейкам диаграммы. Таблица называется стандартной , если записи в каждой строке и каждом столбце увеличиваются. Количество различных стандартных таблиц Юнга с n записями задается числами инволюции
В других приложениях естественно разрешить одному и тому же числу появляться более одного раза (или не появляться вообще) в таблице. Таблица называется полустандартной , или строгой по столбцу , если записи слабо увеличиваются вдоль каждой строки и строго увеличиваются вниз по каждому столбцу. Запись количества раз, когда каждое число появляется в таблице, дает последовательность, известную как вес таблицы . Таким образом, стандартные таблицы Юнга являются в точности полустандартными таблицами веса (1,1,...,1), которые требуют, чтобы каждое целое число до n встречалось ровно один раз.
В стандартной таблице Юнга целое число является спуском , если появляется в строке строго ниже . Сумма спусков называется главным индексом таблицы. [3]
Существует несколько вариантов этого определения: например, в таблице со строгой строкой записи строго увеличиваются вдоль строк и слабо увеличиваются вниз по столбцам. Также рассматривались таблицы с уменьшающимися записями, в частности, в теории плоских разбиений . Существуют также обобщения, такие как таблицы домино или ленточные таблицы, в которых несколько ящиков могут быть сгруппированы вместе перед назначением им записей.
Косая форма — это пара разбиений ( λ , μ ), такая, что диаграмма Юнга λ содержит диаграмму Юнга μ ; она обозначается λ / μ . Если λ = ( λ 1 , λ 2 , ...) и μ = ( μ 1 , μ 2 , ...) , то включение диаграмм означает, что μ i ≤ λ i для всех i . Косая диаграмма косой формы λ / μ — это теоретико-множественная разность диаграмм Юнга λ и μ : множество квадратов, которые принадлежат диаграмме λ, но не принадлежат диаграмме μ . Косая таблица формы λ / μ получается путем заполнения квадратов соответствующей косой диаграммы; Такая таблица является полустандартной, если записи слабо увеличиваются вдоль каждой строки и строго увеличиваются вниз по каждому столбцу, и она является стандартной, если, кроме того, все числа от 1 до числа квадратов косой диаграммы встречаются ровно один раз. В то время как отображение из разделов в их диаграммы Юнга является инъективным, это не относится к отображению из косых форм в косые диаграммы; [4] поэтому форма косой диаграммы не всегда может быть определена только из набора заполненных квадратов. Хотя многие свойства косых таблиц зависят только от заполненных квадратов, некоторые операции, определенные на них, требуют явного знания λ и μ , поэтому важно, чтобы косые таблицы записывали эту информацию: две различные косые таблицы могут отличаться только своей формой, при этом они занимают один и тот же набор квадратов, каждый из которых заполнен одними и теми же записями. [5] Таблицы Юнга можно идентифицировать с косыми таблицами, в которых μ является пустым разделом (0) (уникальным разделом 0).
Любая перекошенная полустандартная таблица T формы λ / μ с положительными целыми элементами порождает последовательность разделов (или диаграмм Юнга), начиная с μ и принимая за раздел i места далее в последовательности тот, диаграмма которого получена из диаграммы μ путем добавления всех ячеек, которые содержат значение ≤ i в T ; это разделение в конечном итоге становится равным λ . Любая пара последовательных фигур в такой последовательности является перекошенной формой, диаграмма которой содержит не более одной ячейки в каждом столбце; такие фигуры называются горизонтальными полосами . Эта последовательность разделов полностью определяет T , и фактически возможно определить (перекошенные) полустандартные таблицы как такие последовательности, как это сделал Макдональд (Macdonald 1979, стр. 4). Это определение включает разделы λ и μ в данные, составляющие перекошенную таблицу.
Таблицы Юнга имеют многочисленные приложения в комбинаторике , теории представлений и алгебраической геометрии . Были исследованы различные способы подсчета таблиц Юнга, что привело к определению и тождествам для функций Шура .
Известно много комбинаторных алгоритмов на таблицах, включая jeu de taquin Шютценбергера и соответствие Робинсона–Шенстеда–Кнута . Ласку и Шютценбергер изучили ассоциативное произведение на множестве всех полустандартных таблиц Юнга, придав ему структуру, называемую пластическим моноидом (фр. le monoïde plaxique ).
В теории представлений стандартные таблицы Юнга размера k описывают базисы в неприводимых представлениях симметрической группы на k буквах. Стандартный мономиальный базис в конечномерном неприводимом представлении общей линейной группы GL n параметризуется набором полустандартных таблиц Юнга фиксированной формы над алфавитом {1, 2, ..., n }. Это имеет важные последствия для теории инвариантов , начиная с работы Ходжа об однородном координатном кольце грассманиана и далее исследованной Джан-Карло Ротой с соавторами, де Кончини и Прочези , и Эйзенбудом . Правило Литтлвуда–Ричардсона, описывающее (помимо прочего) разложение тензорных произведений неприводимых представлений GL n на неприводимые компоненты , сформулировано в терминах некоторых перекошенных полустандартных таблиц.
Приложения к алгебраической геометрии сосредоточены вокруг исчисления Шуберта на грассманианах и флаговых многообразиях . Некоторые важные классы когомологий могут быть представлены полиномами Шуберта и описаны в терминах таблиц Юнга.
Диаграммы Юнга находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми представлениями симметрической группы над комплексными числами . Они предоставляют удобный способ задания симметризаторов Юнга , из которых строятся неприводимые представления . Многие факты о представлении могут быть выведены из соответствующей диаграммы. Ниже мы опишем два примера: определение размерности представления и ограниченные представления. В обоих случаях мы увидим, что некоторые свойства представления могут быть определены с использованием только его диаграммы. Таблицы Юнга участвуют в использовании симметрической группы в квантово-химических исследованиях атомов, молекул и твердых тел. [6] [7]
Диаграммы Юнга также параметризуют неприводимые полиномиальные представления общей линейной группы GL n (когда они имеют не более n непустых строк), или неприводимые представления специальной линейной группы SL n (когда они имеют не более n − 1 непустых строк), или неприводимые комплексные представления специальной унитарной группы SU n (опять же, когда они имеют не более n − 1 непустых строк). В этих случаях полустандартные таблицы с записями до n играют центральную роль, а не стандартные таблицы; в частности, именно количество этих таблиц определяет размерность представления.
Размерность неприводимого представления π λ симметрической группы S n , соответствующего разбиению λ числа n, равна числу различных стандартных таблиц Юнга, которые можно получить из диаграммы представления. Это число можно вычислить по формуле длины крючка .
Длина крючка hook ( x ) ящика x в диаграмме Юнга Y ( λ ) формы λ — это количество ящиков, которые находятся в той же строке справа от него, плюс те ящики в том же столбце под ним, плюс один (для самого ящика). По формуле длины крючка размерность неприводимого представления равна n ! деленная на произведение длин крючков всех ящиков в диаграмме представления:
На рисунке справа показаны длины крючков для всех ящиков в схеме разбиения 10 = 5 + 4 + 1. Таким образом,
Аналогично, размерность неприводимого представления W ( λ ) GL r , соответствующего разбиению λ числа n (с не более чем r частями), представляет собой число полустандартных таблиц Юнга формы λ (содержащих только элементы от 1 до r ), которое определяется формулой длины крючка:
где индекс i задает строку, а j — столбец блока. [8] Например, для разбиения (5,4,1) мы получаем в качестве размерности соответствующего неприводимого представления GL 7 (обход блоков по строкам):
Представление симметрической группы на n элементах, S n также является представлением симметрической группы на n − 1 элементах, S n −1 . Однако неприводимое представление S n может не быть неприводимым для S n −1 . Вместо этого оно может быть прямой суммой нескольких представлений, которые неприводимы для S n −1 . Эти представления затем называются факторами ограниченного представления (см. также индуцированное представление ).
На вопрос об определении этого разложения ограниченного представления данного неприводимого представления S n , соответствующего разбиению λ числа n , отвечают следующим образом. Формируется множество всех диаграмм Юнга, которые могут быть получены из диаграммы формы λ путем удаления всего лишь одного квадрата (который должен находиться в конце как строки, так и столбца); затем ограниченное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений S n −1 , соответствующих этим диаграммам, каждое из которых встречается в сумме ровно один раз.
Такие механизмы были введены Альфредом Янгом в 1900 г..
