Флаг (линейная алгебра)

В математике , особенно в линейной алгебре , флаг — это возрастающая последовательность подпространств конечномерного векторного пространства V. Здесь «увеличение» означает, что каждое из них является собственным подпространством следующего (см. фильтрацию ):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

Термин «флаг» мотивирован конкретным примером, напоминающим флаг : нулевая точка, линия и плоскость соответствуют гвоздю, посоху и листу ткани. ^[1]

Если мы напишем, что dim V _i = d _i , то мы имеем

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

где n — размерность V (считается конечной) . Следовательно, мы должны иметь k ≤ n . Флаг называется полным флагом, если d _i = i для всех i , в противном случае он называется частичным флагом .

Частичный флаг можно получить из полного флага, удалив некоторые подпространства. И наоборот, любой частичный флаг может быть дополнен (разными способами) путем вставки подходящих подпространств.

Сигнатурой флага является последовательность ( d _{1 ,} ... , d _k ).

Базы

Говорят, что упорядоченный базис для V адаптирован к флагу V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _k, если первые базисные векторы d _i образуют базис для V _i для каждого 0 ≤ i ≤ k . Стандартные аргументы линейной алгебры могут показать, что любой флаг имеет адаптированную основу.

Любой упорядоченный базис порождает полный флаг, если V _i является промежутком первых i базисных векторов. Например,стандартный флаг вR ⁿ индуцируется изстандартного базиса(e₁, ...,en), где _ei обозначаетвектор с 1 в _i -й записи и 0 в остальных местах. Конкретно, стандартным флагом является последовательность подпространств:

${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Адаптированный базис почти никогда не бывает уникальным (контрпримеры тривиальны); см. ниже.

Полный флаг в пространстве внутреннего произведения имеет по существу уникальный ортонормированный базис : он уникален с точностью до умножения каждого вектора на единицу (скаляр единичной длины, например 1, −1, i ). Такой базис можно построить с помощью процесса Грама-Шмидта . Единственность с точностью до единиц следует индуктивно , отмечая, что она находится в одномерном пространстве . ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}}$

Более абстрактно, оно уникально с точностью до действия максимального тора : флаг соответствует группе Бореля , а скалярное произведение соответствует максимальной компактной подгруппе . ^[2]

Стабилизатор

Подгруппой стабилизатора стандартного флага является группа обратимых верхнетреугольных матриц .

В более общем смысле, стабилизатор флага ( линейные операторы на V такие, что для всех i ) в матричных терминах представляет собой алгебру блочных верхнетреугольных матриц (относительно адаптированного базиса), где размеры блоков . Подгруппа стабилизатора полного флага — это множество обратимых верхнетреугольных матриц относительно любого базиса, адаптированного к флагу. Подгруппа нижних треугольных матриц относительно такого базиса зависит от этого базиса и поэтому не может быть охарактеризована только с помощью флага. ${\displaystyle T(V_{i})<V_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}-d_{i-1}}$

Подгруппа стабилизатора любого полного флага является борелевской подгруппой (полной линейной группы ), а стабилизатор любых частичных флагов — параболической подгруппой.

Подгруппа стабилизатора флага действует просто транзитивно на адаптированных базисах флага, и, следовательно, они не уникальны, если только стабилизатор не тривиален. Это очень исключительное обстоятельство: оно происходит только для векторного пространства размерности 0 или векторного пространства над размерностью 1 (именно в тех случаях, когда существует только один базис, независимо от какого-либо флага). ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$

Подпространственное гнездо

В бесконечномерном пространстве V , используемом в функциональном анализе , идея флага обобщается до гнезда подпространства , а именно набора подпространств V , который представляет собой полный порядок включения и который, кроме того, замкнут при произвольных пересечениях и замкнутых линейных промежутках. См. гнездовую алгебру .

Теоретико-множественные аналоги

С точки зрения поля с одним элементом множество можно рассматривать как векторное пространство над полем с одним элементом: это формализует различные аналогии между группами Кокстера и алгебраическими группами .

При этом соответствии упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу: упорядочение эквивалентно максимальной фильтрации множества. Например, фильтрация (флаг) соответствует упорядочиванию . ${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$ ${\displaystyle (0,1,2)}$

Смотрите также

• Фильтрация (математика)
• Флаговый коллектор
• Грассманиан
• Матроид

Рекомендации

1. Кострикин, Алексей И. и Манин, Юрий И. (1997). Линейная алгебра и геометрия , с. 13. Перевод с русского М. Е. Алферьева. Издательство Гордон и Бреч Сайенс. ISBN  2-88124-683-4 .
2. Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс , с. 95. Спрингер. ISBN 0387974954 . 

• Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия. Спрингер . ISBN 978-3-642-30993-9.