Стационарный набор

Теоретико-множественная концепция

В математике , в частности в теории множеств и теории моделей , стационарное множество — это множество , которое не слишком мало в том смысле, что пересекает все клубные множества и аналогично множеству ненулевой меры в теории меры . Существует по крайней мере три тесно связанных понятия стационарного множества, в зависимости от того, рассматриваем ли мы подмножества ординала , или подмножества чего-то заданной мощности , или супермножество .

Классическое представление

Если — кардинал несчетной конфинальности , и пересекает каждое клубное множество в , то называется стационарным множеством . ^[1] Если множество не является стационарным, то оно называется тонким множеством . Это понятие не следует путать с понятием тонкого множества в теории чисел . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa ,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle S}$

Если — стационарное множество и — клубное множество, то их пересечение также стационарно. Это потому, что если — любое клубное множество, то — клубное множество, поэтому непусто. Следовательно, должно быть стационарным. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S\cap C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C\cap D}$ ${\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)}$ ${\displaystyle (S\cap C)}$

См. также : Лемма Фодора

Ограничение до несчетной конфинальности необходимо для того, чтобы избежать тривиальностей: Предположим, что имеет счетную конфинальность. Тогда является стационарным в тогда и только тогда, когда ограничено в . В частности, если конфинальность равна , то любые два стационарных подмножества из имеют стационарное пересечение. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa \setminus S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Это уже не так, если конфинальность несчетна. Фактически, предположим, что является более того регулярным и стационарным. Тогда может быть разбито на множество непересекающихся стационарных множеств. Этот результат принадлежит Соловею . Если является последующим кардиналом , этот результат принадлежит Уламу и легко показывается с помощью того, что называется матрицей Улама . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Х. Фридман показал, что для каждого счетного ординала-последователя каждое стационарное подмножество содержит замкнутое подмножество типа порядка . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \beta }$

Идея Иеха

Существует также понятие стационарного подмножества для кардинала и множества такого, что , где — множество подмножеств мощности : . Это понятие принадлежит Томасу Йеху . Как и прежде, является стационарным тогда и только тогда, когда оно соответствует каждому клубу, где подмножество клуба — это множество, неограниченное относительно и замкнутое относительно объединения цепей длины не более . Эти понятия в общем случае различны, хотя для и они совпадают в том смысле, что является стационарным тогда и только тогда, когда является стационарным в . ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |X|\geq \lambda }$ ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}}$ ${\displaystyle S\subseteq [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X=\omega _{1}}$ ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle S\subseteq [\omega _{1}]^{\omega }}$ ${\displaystyle S\cap \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Соответствующая версия леммы Фодора также справедлива для этого понятия.

Обобщенное понятие

Существует еще третье понятие, модельно-теоретическое по своей природе и иногда называемое обобщенной стационарностью. Это понятие, вероятно, принадлежит Магидору , Форману и Шелаху , а также широко использовалось Вудином .

Теперь пусть будет непустым множеством. Множество является клубным (замкнутым и неограниченным) тогда и только тогда, когда существует функция такая, что . Здесь — совокупность конечных подмножеств . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle F:[X]^{<\omega }\to X}$ ${\displaystyle C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subseteq z\}}$ ${\displaystyle [y]^{<\omega }}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$является стационарным в тогда и только тогда, когда он соответствует каждому подмножеству клубов . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

Чтобы увидеть связь с теорией моделей, обратите внимание, что если — структура с универсумом в счетном языке и — функция Скулема для , то стационарная должна содержать элементарную подструктуру . Фактически, является стационарной тогда и только тогда, когда для любой такой структуры существует элементарная подструктура , которая принадлежит . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$

Ссылки

1. Иех (2003) стр.91

• Форман, Мэтью (2002) Стационарные множества, гипотеза Чанга и теория разделов , в Теория множеств (Конференция Хайнала) DIMACS Сер. Дискретная математическая теория, комп. наук, 58, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. С. 73–94. Файл в [1]
• Фридман, Харви (1974). «О замкнутых множествах ординалов». Proc. Am. Math. Soc . 43 (1): 190–192. doi : 10.2307/2039353 . JSTOR  2039353. Zbl  0299.04003.
• Jech, Thomas (2003). Теория множеств . Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Збл  1007.03002.

Внешние ссылки

• «Стационарное множество». PlanetMath .