Шаг потенциала

В квантовой механике и теории рассеяния одномерный ступенчатый потенциал — это идеализированная система, используемая для моделирования падающих, отраженных и проходящих волн материи . Задача состоит в решении независимого от времени уравнения Шредингера для частицы со ступенчатым потенциалом в одном измерении. Обычно потенциал моделируется как ступенчатая функция Хевисайда .

Расчет

Уравнение Шредингера и потенциальная функция

Рассеяние на конечном потенциальном шаге высотой V ₀ , показано зеленым цветом. Указаны амплитуды и направления левых и правых движущихся волн. Желтый цвет — падающая волна, синий — отраженная и прошедшая, красный цвет не происходит. E > V ₀ для этого рисунка.

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции имеет вид где Ĥ — гамильтониан , ħ — приведенная постоянная Планка , m — масса , E — энергия частицы. Ступенчатый потенциал — это просто произведение V ₀ , высоты барьера и ступенчатой ​​функции Хевисайда : ${\displaystyle \psi (x)}$ $${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),}$$ $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}$$

Барьер расположен в точке x = 0, хотя можно выбрать любую позицию x ₀ без изменения результатов, просто сдвинув позицию шага на − x ₀ .

Первый член гамильтониана — это кинетическая энергия частицы. ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

Решение

Ступенька делит пространство на две части: x < 0 и x > 0. В любой из этих частей потенциал постоянен, то есть частица квазисвободна, а решение уравнения Шредингера можно записать в виде суперпозиции лево- и праводвижущихся волн (см. свободная частица ).

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\leftarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\quad x<0,}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\leftarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\quad x>0}$

где индексы 1 и 2 обозначают области x < 0 и x > 0 соответственно, индексы (→) и (←) у амплитуд A и B обозначают направление вектора скорости частицы: вправо и влево соответственно.

Волновые векторы в соответствующих областях

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}},}$

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

оба из которых имеют ту же форму, что и соотношение Де Бройля (в одном измерении)

${\displaystyle p=\hbar k}$.

Граничные условия

Коэффициенты A , B должны быть найдены из граничных условий волновой функции при x = 0. Волновая функция и ее производная должны быть непрерывны всюду, поэтому:

${\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0),}$

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=0}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=0}.}$

Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты:

${\displaystyle (A_{\rightarrow }+A_{\leftarrow })=(B_{\rightarrow }+B_{\leftarrow })}$

${\displaystyle k_{1}(A_{\rightarrow }-A_{\leftarrow })=k_{2}(B_{\rightarrow }-B_{\leftarrow })}$

Передача и отражение

Полезно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне области барьера. Классическая частица с энергией E, большей высоты барьера V _{0 ,} будет замедлена, но никогда не отразится барьером, в то время как классическая частица с E < V ₀ , падающая на барьер слева, всегда будет отражаться. Как только мы найдем квантово-механический результат, мы вернемся к вопросу о том, как восстановить классический предел.

Для изучения квантового случая рассмотрим следующую ситуацию: частица падает на барьер с левой стороны A _→ . Она может быть отражена ( A _← ) или пройдена ( B _→ ). Здесь и далее предполагаем E > V ₀ .

Чтобы найти амплитуды отражения и пропускания при падении слева, мы устанавливаем в приведенных выше уравнениях A _→ = 1 (входящая частица), A _← = √ R (отражение), B _← = 0 (нет входящей частицы справа) и B _→ = √ Tk ₁ / k ₂ (пропускание ^[1] ) . Затем мы решаем относительно T и R.

Результат:

${\displaystyle {\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R}}={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

Модель симметрична относительно преобразования четности и в то же время меняет местами k ₁ и k ₂ . Для падения справа мы имеем, следовательно, амплитуды для пропускания и отражения

${\displaystyle {\sqrt {T'}}={\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R'}}=-{\sqrt {R}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

Анализ выражений

Вероятность отражения и прохождения при потенциале Heaviside-step. Пунктир: классический результат. Сплошные линии: квантовая механика. При E < V ₀ классическая и квантовая задача дают одинаковый результат.

Энергия меньше высоты ступеньки (Э

При энергиях E < V ₀ волновая функция справа от ступеньки экспоненциально затухает на расстоянии . ${\displaystyle 1/(k_{2})}$

Энергия больше высоты ступеньки (Э>В0)

В этом диапазоне энергий коэффициенты пропускания и отражения отличаются от классического случая. Они одинаковы для падения слева и справа:

${\displaystyle T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle R=|R'|=1-T={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

В пределе больших энергий E ≫ V ₀ имеем k ₁ ≈ k ₂ и восстанавливается классический результат T = 1, R = 0.

Таким образом, существует конечная вероятность того, что частица с энергией, большей высоты ступеньки, будет отражена.

Отрицательные шаги

• В случае большого положительного E и малого положительного шага T почти равно 1.
• Но в случае малого положительного E и большого отрицательного V R почти равно 1.

Другими словами, квантовая частица отражается от большого падения потенциала (так же, как и от большого скачка потенциала). Это имеет смысл с точки зрения несоответствия импеданса, но это кажется классически контринтуитивным...

Классический предел

Результат, полученный для R, зависит только от отношения E / V ₀ . На первый взгляд это выглядит как нарушение принципа соответствия , поскольку мы получаем конечную вероятность отражения независимо от значения постоянной Планка или массы частицы. Например, мы, кажется, предсказываем, что когда шарик катится к краю стола, может быть большая вероятность того, что он отразится обратно, а не упадет. Согласованность с классической механикой восстанавливается путем устранения нефизического предположения о том, что ступенчатый потенциал является прерывистым. Когда ступенчатая функция заменяется пандусом, который охватывает некоторое конечное расстояние w , вероятность отражения приближается к нулю в пределе , где k - волновое число частицы. ^[2] ${\displaystyle wk\to \infty }$

Релятивистский расчет

Релятивистский расчет свободной частицы, сталкивающейся со ступенчатым потенциалом, может быть получен с помощью релятивистской квантовой механики . Для случая 1/2 фермионов, таких как электроны и нейтрино , решения уравнения Дирака для высоких энергетических барьеров дают коэффициенты пропускания и отражения, которые не ограничены. Это явление известно как парадокс Клейна . Кажущийся парадокс исчезает в контексте квантовой теории поля .

Приложения

Ступенчатый потенциал Хевисайда в основном служит упражнением по вводной квантовой механике, поскольку решение требует понимания различных концепций квантовой механики: нормализации волновой функции, непрерывности, амплитуд падения/отражения/прохождения и вероятностей.

Аналогичная рассмотренной проблема возникает в физике интерфейсов нормальный металл- сверхпроводник . Квазичастицы рассеиваются на парном потенциале , который в простейшей модели можно считать имеющим ступенчатую форму. Решение уравнения Боголюбова-де Жена напоминает решение обсуждаемого ступенчатого потенциала Хевисайда. В случае нормальный металл-сверхпроводник это приводит к андреевскому отражению .

Смотрите также

• Прямоугольный потенциальный барьер
• Конечная потенциальная яма
• Бесконечная потенциальная яма
• Дельта-потенциальный барьер
• Конечный потенциальный барьер

Ссылки

1. Коэффициент передачи определяется как отношение переданного вероятностного тока к входящему вероятностному току. Однако величины, непосредственно участвующие в этой потенциальной ступенчатой ​​задаче, называются амплитудами рассеяния . Они связаны с коэффициентами передачи и отражения здесь . Мы можем видеть в этом видео на YouTube, что наиболее общее выражение для равно , а для мы имеем отношение k-векторов и, возможно, различных масс на их соответствующих сторонах: . Массы берутся из определения вероятностного тока, а k-векторы — из производных волновых функций. ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle A_{\leftarrow }}$ ${\displaystyle r={\sqrt {R}}}$ ${\displaystyle B_{\rightarrow }}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$
2. Брэнсон, Д. (1979). «Принцип соответствия и рассеяние от потенциальных ступенек». American Journal of Physics . 47 (12): 1101–1102. Bibcode : 1979AmJPh..47.1101B. doi : 10.1119/1.11582.

Источники

• Квантовая механика Демистифицирована , Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Квантовая механика , Э. Аберс, редактор Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
• Элементарная квантовая механика , Н. Ф. Мотт, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5 
• Стационарные состояния , А. Холден, College Physics Monographs (США), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Й. Пелег, Р. Пнини, Очерки Шаума, Mc Graw Hill (США), 1998, ISBN 007-0540187 

Дальнейшее чтение

• Новая квантовая вселенная , Т. Хей, П. Уолтерс, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• Квантовая теория поля , Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Й. Пелег, Р. Пнини, краткий курс Шаума, McGraw Hill (США), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6