Метрическая карта

В математической теории метрических пространств метрическое отображение — это функция между метрическими пространствами, которая не увеличивает расстояние. Эти отображения являются морфизмами категории метрических пространств Met . ^[1] Такие функции всегда являются непрерывными функциями . Их также называют липшицевыми функциями с константой Липшица 1, нерасширяющими отображениями , нерасширяющими отображениями , слабыми сокращениями или короткими отображениями .

В частности, предположим, что и являются метрическими пространствами и является функцией от до . Таким образом, мы имеем метрическое отображение, когда для любых точек и в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!}$$

${\displaystyle d_{X}}$ ${\displaystyle d_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Примеры

Рассмотрим метрическое пространство с евклидовой метрикой . Тогда функция является метрическим отображением, так как при , . ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||x-y|<|x-y|}$

Категория метрических карт

Функциональная композиция двух метрических карт — это еще одна метрическая карта, а тождественная карта в метрическом пространстве — это метрическая карта, которая также является единичным элементом для композиции функций. Таким образом, метрические пространства вместе с метрическими отображениями образуют категорию Met . Met — подкатегория категории метрических пространств и липшицевых функций. Отображение между метрическими пространствами является изометрией тогда и только тогда, когда оно является биективным метрическим отображением, обратное которому также является метрическим отображением. Таким образом, изоморфизмы в Met являются в точности изометриями. ${\displaystyle \mathrm {id} _{M}:M\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$

Строго метрические карты

Можно сказать, что оно строго метрическое , если неравенство строгое для каждых двух разных точек. Таким образом, сжимающее отображение является строго метрическим, но не обязательно наоборот. Обратите внимание, что изометрия никогда не бывает строго метрической, за исключением вырожденного случая пустого пространства или одноточечного пространства. ${\displaystyle f}$

Многозначная версия

Отображение метрического пространства в семейство непустых подмножеств называется липшицевым, если существует такое, что ${\displaystyle T:X\to {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\geq 0}$

$${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$$

расстояниесжатием ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L=1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L<1}$ ${\displaystyle T}$

Смотрите также

• Сжатие (теория операторов)  - Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Картирование сжатия  — функция, уменьшающая расстояние между всеми точками.
• Коэффициент растяжения  - математический параметр вложений.
• Карта субподряда  — функция уменьшения расстояния между всеми точкамиСтраницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Рекомендации

1. Исбелл, младший (1964). «Шесть теорем об инъективных метрических пространствах». Комментарий. Математика. Хелв . 39 : 65–76. дои : 10.1007/BF02566944.