Набор, все элементы которого принадлежат другому набору
В математике множество A является подмножеством множества B , если все элементы A также являются элементами B ; B тогда является надмножеством A . Возможно, что A и B равны; если они неравны, то A является собственным подмножеством B . Отношение одного множества как подмножества другого называется включением (или иногда включением ). A представляет собой подмножество B , что также может быть выражено как B включает (или содержит) A или A включено (или содержится) в B . k -подмножество — это подмножество из k элементов .
Если A и B — множества и каждый элемент A также является элементом B , то:
A является подмножеством B , обозначаемым или, что то же самое ,
B является надмножеством A , обозначаемым
Если A является подмножеством B , но A не равно B (т.е. существует хотя бы один элемент B, который не является элементом A ), то :
A является собственным (или строгим ) подмножеством B , обозначаемым или , что то же самое,
B является собственным ( или строгим ) надмножеством A , обозначаемым .
Пустое множество , записанное или является подмножеством любого множества X и собственным подмножеством любого множества, кроме самого себя, отношение включения представляет собой частичный порядок на множестве ( степенное множество S — множество всех подмножеств S [1] ) определяется . Мы также можем частично упорядочить путем обратного включения множества, определив
В количественном выражении представляется как [2]
Мы можем доказать это утверждение , применив технику доказательства, известную как аргумент элемента [3] :
Пусть заданы множества A и B. Чтобы доказать это
предположим , что a — конкретный, но произвольно выбранный элемент из A
покажите , что a является элементом B .
Справедливость этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает для произвольно выбранного элемента c . Тогда универсальное обобщение подразумевает то, что эквивалентно сказанному выше.
Множество A является подмножеством B тогда и только тогда , когда их объединение равно B.
Формально:
Конечное множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда мощность их пересечения равна мощности A.
Формально:
символы ⊂ и ⊃
Некоторые авторы используют символы и для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и [4]. Например, для этих авторов для каждого множества A верно то ( рефлексивное отношение ).
Другие авторы предпочитают использовать символы и указывать правильное (также называемое строгим) подмножество и правильное надмножество соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и [5] Это использование аналогично символам неравенства и Например, если тогда x может равняться или не равняться y , но если тогда x определенно не равен y , и меньше y ( иррефлексивное отношение ) . Аналогично, используя соглашение о правильном подмножестве, if then A может равняться или не равняться B , но if then A определенно не равняется B .
Примеры подмножеств
Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения и истинны.
Набор D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому является истинным и не является истинным (ложным).
Любое множество является подмножеством самого себя, но не собственным подмножеством. ( истинно и ложно для любого множества X.)
Набор { x : x — простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x — нечетное число больше 10}
Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ; аналогично, набор точек на отрезке линии является собственным подмножеством набора точек на линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечны, а подмножество имеет ту же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть количеству элементов конечного множества), что и целое; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
Множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.
C является подмножеством, но не собственным подмножеством B.
Другие свойства включения
Включение — это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество изоморфно некоторому набору множеств , упорядоченному включением. Порядковые числа являются простым примером: если каждый порядковый номер n отождествляется с набором всех порядковых номеров, меньших или равных n , то тогда и только тогда, когда
Для степенного набора набора S частичный порядок включения — с точностью до изоморфизма порядка — декартово произведение ( мощности S ) копий частичного порядка, для которых это можно проиллюстрировать , перечислив и сопоставив с каждым подмножество (т.е. каждый элемент ) k -кортежа, из которого i -я координата равна 1 тогда и только тогда, когда является членом T .
Смотрите также
Выпуклое подмножество - в геометрии множество, пересечение которого с каждой линией представляет собой один отрезок линии.Pages displaying short descriptions of redirect targets
Порядок включения - частичный порядок, который возникает как отношение включения подмножества в некоторой коллекции объектов.
Регион - связанное открытое подмножество топологического пространства.Pages displaying short descriptions of redirect targets