Линейное подпространство

В математике векторное подпространство

В математике , а точнее в линейной алгебре , линейное подпространство или векторное подпространство ^{[1] [примечание 1]} — это векторное пространство , которое является подмножеством некоторого большего векторного пространства. Линейное подпространство обычно называют просто подпространством, если контекст позволяет отличить его от других типов подпространств.

Определение

Если V — векторное пространство над полем K и если W — подмножество V , то W — линейное подпространство V , если при операциях V W является векторным пространством над K. Эквивалентно, непустое подмножество W является линейным подпространством V , если всякий раз, когда w ₁ , w ₂ являются элементами W и α , β являются элементами K , из этого следует, что αw ₁ + βw ₂ находится в W . ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Как следствие, все векторные пространства оснащены как минимум двумя (возможно, разными) линейными подпространствами: нулевым векторным пространством , состоящим только из нулевого вектора , и самим векторным пространством. Они называются тривиальными подпространствами векторного пространства. ^[7]

Примеры

Пример I

В векторном пространстве V = R ³ ( действительном координатном пространстве над полем действительных чисел R ) возьмем W за множество всех векторов из V , последний компонент которых равен 0. Тогда W является подпространством V .

Доказательство:

1. Учитывая u и v в W , они могут быть выражены как u = ( u ₁ , u ₂ , 0) и v = ( v ₁ , v ₂ , 0) . Тогда ты + v знак равно ( ты ₁ + v ₁ , ты ₂ + v ₂ , 0+0) = ( ты ₁ + v ₁ , ты ₂ + v ₂ , 0) . Таким образом, u + v тоже является элементом W .
2. Учитывая u в W и скаляр c в R , если u = ( u ₁ , u ₂ , 0) снова, то c u = ( cu ₁ , cu ₂ , c 0) = ( cu ₁ , cu ₂ ,0) . Таким образом, c u тоже является элементом W.

Пример II

Пусть поле снова будет R , но теперь пусть векторное пространство V будет декартовой плоскостью R ² . Возьмем W как набор точек ( x , y ) кольца R2 таких, ^что x = y . Тогда W является подпространством R ² .

Иллюстрированный пример II

Доказательство:

1. Пусть p = ( p ₁ , p ₂ ) и q = ( q ₁ , q ₂ ) — элементы W , то есть точки на плоскости такие, что p ₁ = p ₂ и q ₁ = q ₂ . Тогда p + q = ( p ₁ + q ₁ , p ₂ + q ₂ ) ; поскольку p ₁ = p ₂ и q ₁ = q ₂ , то p ₁ + q ₁ = p ₂ + q ₂ , поэтому p + q является элементом W.
2. Пусть p = ( p1 , _p2 ) — элемент W , _то есть точка на плоскости такая, что _p1 = p2 , _и пусть c — скаляр в R. Тогда c p = ( cp ₁ , cp ₂ ) ; поскольку p ₁ = p ₂ , то cp ₁ = cp ₂ , поэтому c p является элементом W .

В общем, любое подмножество реального координатного пространства R ⁿ , определенное системой однородных линейных уравнений, будет давать подпространство. (Уравнение в примере I было z  = 0, а уравнение в примере II — x  =  y .)

Пример III

Снова возьмем поле как R , но теперь пусть векторное пространство V будет множеством R ^R всех функций от R до R. Пусть C( R ) — подмножество, состоящее из непрерывных функций . Тогда C( R ) является подпространством R ^R .

Доказательство:

1. Из исчисления мы знаем, что ⁰ ∈ C( R ) ⊂ RR .
2. Из исчисления мы знаем, что сумма непрерывных функций непрерывна.
3. Опять же, из исчисления мы знаем, что произведение непрерывной функции и числа непрерывно.

Пример IV

Сохраните то же поле и векторное пространство, что и раньше, но теперь рассмотрим множество Diff( R ) всех дифференцируемых функций . Те же рассуждения, что и предыдущие, показывают, что это тоже подпространство.

Примеры, расширяющие эти темы, часто встречаются в функциональном анализе .

Свойства подпространств

Из определения векторных пространств следует, что подпространства непусты и замкнуты относительно сумм и скалярных кратных. ^[8] Эквивалентно, подпространства можно охарактеризовать свойством замкнутости относительно линейных комбинаций. То есть непустое множество W является подпространством тогда и только тогда, когда каждая линейная комбинация конечного числа элементов W также принадлежит W . Эквивалентное определение гласит, что эквивалентно рассматривать линейные комбинации двух элементов одновременно.

В топологическом векторном пространстве X подпространство W не обязательно должно быть топологически замкнутым , но конечномерное подпространство всегда замкнуто. ^[9] То же самое верно и для подпространств конечной коразмерности (т. е. подпространств, определяемых конечным числом непрерывных линейных функционалов ).

Описания

Описания подпространств включают набор решений однородной системы линейных уравнений , подмножество евклидова пространства, описываемое системой однородных линейных параметрических уравнений , диапазон набора векторов, а также нулевое пространство , пространство столбцов и пространство строк . матрица . _ Геометрически (особенно над полем действительных чисел и его подполями) подпространство — это плоскость в n - пространстве, проходящая через начало координат.

Естественным описанием 1-подпространства является скалярное умножение одного ненулевого вектора v на все возможные скалярные значения. 1-подпространства, заданные двумя векторами, равны тогда и только тогда, когда один вектор можно получить из другого скалярным умножением:

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{ (or }}\mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {v} '{\text{)}}}$

Эта идея обобщается для более высоких размерностей с линейным размахом , но критерии равенства k -пространств , заданных наборами из k векторов, не так просты.

Двойственное описание обеспечивается линейными функционалами (обычно реализуемыми в виде линейных уравнений). Один ненулевой линейный функционал F задает своим ядром подпространство F  = 0 коразмерности 1. Подпространства коразмерности 1, заданные двумя линейными функционалами, равны тогда и только тогда, когда один функционал может быть получен из другого скалярным умножением (в двойственном пространстве ) :

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{ (or }}\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\mathbf {F} '{\text{)}}}$

Оно обобщается на высшие коразмерности с помощью системы уравнений . В следующих двух подразделах это последнее описание будет представлено подробно, а оставшиеся четыре подраздела дополнительно описывают идею линейного размаха.

Системы линейных уравнений

Множеством решений любой однородной ^{системы} линейных уравнений с n переменными является подпространство в координатном пространстве Kn :

$${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.}$$

Например, набор всех векторов ( x , y , z ) (над действительными или рациональными числами ), удовлетворяющих уравнениям

$${\displaystyle x+3y+2z=0\quad {\text{and}}\quad 2x-4y+5z=0}$$

n независимыхK ^kнулевого набораn

Нулевое пространство матрицы

В конечномерном пространстве однородную систему линейных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

Множество решений этого уравнения известно как нулевое пространство матрицы. Например, описанное выше подпространство является нулевым пространством матрицы

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.}$

Каждое подпространство K ⁿ можно описать как нулевое пространство некоторой матрицы (подробнее см. § Алгоритмы ниже).

Линейные параметрические уравнения

Подмножество Kn ^, описываемое системой однородных линейных параметрических уравнений, является подпространством:

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.}$

Например, набор всех векторов ( x ,  y ,  z ), параметризованных уравнениями

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}$

— двумерное подпространство K ³ , если K — числовое поле (например, действительные или рациональные числа). ^{[заметка 2]}

Диапазон векторов

В линейной алгебре систему параметрических уравнений можно записать в виде одного векторного уравнения:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

Выражение справа называется линейной комбинацией векторов (2, 5, −1) и (3, −4, 2). Говорят, что эти два вектора охватывают результирующее подпространство.

В общем случае, линейная комбинация векторов v ₁ ,  v ₂ , ... ,  v _k представляет собой любой вектор вида

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.}$

Набор всех возможных линейных комбинаций называется промежутком :

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.}$

Если векторы v ₁ , ... ,  v _k имеют n компонент, то их оболочка является подпространством K ⁿ . Геометрически пролет — это плоскость, проходящая через начало координат в n -мерном пространстве, определяемое точками v ₁ , ... ,  v _k .

Пример

Плоскость xz в R3 можно ^{параметризовать} уравнениями

${\displaystyle x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

Как подпространство, плоскость xz натянута векторами (1, 0, 0) и (0, 0, 1). Каждый вектор в плоскости xz можно записать как линейную комбинацию этих двух:

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}}$

Геометрически это соответствует тому факту, что в каждую точку плоскости xz можно добраться из начала координат, сначала переместившись на некоторое расстояние в направлении (1, 0, 0), а затем переместившись на некоторое расстояние в направлении (0, 0). , 1).

Пространство столбца и пространство строки

Систему линейных параметрических уравнений в конечномерном пространстве можно записать и в виде одного матричного уравнения:

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}$

В этом случае подпространство состоит из всех возможных значений вектора x . В линейной алгебре это подпространство известно как пространство столбцов (или образ ) матрицы A. Это в точности подпространство K ⁿ , натянутое на вектор-столбцы A .

Пространство строк матрицы — это подпространство, охватываемое ее векторами-строками. Пространство строк интересно тем, что оно является ортогональным дополнением нулевого пространства (см. ниже).

Независимость, основа и размерность

Векторы u и v являются базисом этого двумерного подпространства R ³ .

В общем, подпространство K ⁿ , определенное k параметрами (или натянутое k векторами), имеет размерность k . Однако из этого правила есть исключения. Например, подпространство K3 ^, охватываемое тремя векторами (1, 0, 0), (0, 0, 1) и (2, 0, 3), представляет собой просто плоскость xz , каждая точка которой лежит на плоскости. описывается бесконечно многими различными значениями t ₁ , t ₂ , t ₃ .

В общем случае векторы v ₁ , ... ,  v _k называются линейно независимыми, если

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}}$

для ( т ₁ ,  т ₂ , ... ,  т _k ) ≠ ( ты ₁ ,  ты ₂ , ... ,  ты _k ). ^{[примечание 3]} Если v ₁ , ..., v _k линейно независимы, то координаты t ₁ , ..., t _k для вектора в промежутке определяются однозначно.

Базисом подпространства S является набор линейно независимых векторов, длина которых равна S . Число элементов в базисе всегда равно геометрической размерности подпространства. Любой охватывающий набор для подпространства можно превратить в базис, удалив избыточные векторы (подробнее см. § Алгоритмы ниже).

Пример

Пусть S — подпространство R4 ^, определенное уравнениями

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

Тогда векторы (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1) являются базисом для S . В частности, каждый вектор, удовлетворяющий приведенным выше уравнениям, можно однозначно записать как линейную комбинацию двух базисных векторов:

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

Подпространство S двумерно. Геометрически это плоскость в R ⁴ , проходящая через точки (0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1).

Операции и отношения на подпространствах

Включение

Теоретико -множественное бинарное отношение включения задает частичный порядок на множестве всех подпространств (любой размерности).

Подпространство не может лежать в каком-либо подпространстве меньшей размерности. Если dim  U  =  k — конечное число, и U ⊂  W  , то dim  W  =  k тогда и только тогда, когда U  =  W.

Пересечение

В R ³ пересечение двух различных двумерных подпространств является одномерным.

Учитывая подпространства U и W векторного пространства V , то их пересечение U  ∩  W  := { v  ∈  V  : v  является элементом как U , так и  W } также является подпространством V . ^[10]

Доказательство:

1. Пусть v и w — элементы U  ∩  W . Тогда v и w принадлежат как U , так и W. Поскольку U — подпространство, то v  +  w принадлежит U. Аналогично, поскольку W — подпространство, то v  +  w принадлежит W. Таким образом, v  +  w принадлежит U  ∩  W .
2. Пусть v принадлежит U  ∩  W и c — скаляр. Тогда v принадлежит и U , и W. Поскольку U и W являются подпространствами, c v принадлежит как U , так и  W .
3. Поскольку U и W — векторные пространства, то 0 принадлежит обоим множествам. Таким образом, 0 принадлежит U  ∩  W .

Для каждого векторного пространства V набор {0} и сам V являются подпространствами V. ^{[11] [12]}

Сумма

Если U и W — подпространства, их сумма — это подпространство ^{[13] [14]}

$${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

Например, сумма двух прямых — это плоскость, содержащая их обе. Размерность суммы удовлетворяет неравенству

$${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$$

Здесь минимум возникает только в том случае, если одно подпространство содержится в другом, а максимум — это наиболее общий случай. Размерность пересечения и сумма связаны следующим уравнением: ^[15]

$${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$$

Набор подпространств является независимым , если единственным пересечением любой пары подпространств является тривиальное подпространство. Прямая сумма — это сумма независимых подпространств, записанная как . Эквивалентное утверждение состоит в том, что прямая сумма является суммой подпространств при условии, что каждое подпространство вносит вклад в диапазон суммы. ^{[16] [17] [18] [19]} ${\displaystyle U\oplus W}$

Размерность прямой суммы такая же, как и сумма подпространств, но может быть сокращена, поскольку размерность тривиального подпространства равна нулю. ^[20] ${\displaystyle U\oplus W}$

$${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)}$$

Решетка подпространств

Операции пересечения и суммирования превращают набор всех подпространств в ограниченную модульную решетку , где подпространство {0} , наименьший элемент , является единичным элементом операции суммирования, а тождественное подпространство V , наибольший элемент, является единичным элементом. операции пересечения.

Ортогональные дополнения

Если пространство внутреннего продукта и является подмножеством , то ортогональное дополнение к , обозначенное , снова является подпространством. ^[21] Если конечномерно и является подпространством, то размерности и удовлетворяют дополнительному соотношению . ^[22] Более того, ни один вектор не ортогонален сам себе, поэтому и является прямой суммой и . ^[23] Двойное применение ортогональных дополнений возвращает исходное подпространство: для каждого подпространства . ^[24] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\perp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\perp }}$ ${\displaystyle \dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)}$ ${\displaystyle N\cap N^{\perp }=\{0\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\perp }}$ ${\displaystyle (N^{\perp })^{\perp }=N}$ ${\displaystyle N}$

Эта операция, понимаемая как отрицание ( ), делает решетку подпространств (возможно, бесконечной ) решеткой с ортодополнениями (хотя и не дистрибутивной решеткой). ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \neg }$

В пространствах с другими билинейными формами некоторые, но не все, эти результаты все еще сохраняются. Например, в псевдоевклидовых пространствах и симплектических векторных пространствах существуют ортогональные дополнения. Однако эти пространства могут иметь нулевые векторы, ортогональные сами себе, и, следовательно, существуют такие подпространства, что . В результате эта операция не превращает решетку подпространств ни в булеву алгебру (ни в алгебру Гейтинга ). ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\cap N^{\perp }\neq \{0\}}$

Алгоритмы

Большинство алгоритмов работы с подпространствами включают сокращение строк . Это процесс применения элементарных операций над строками к матрице до тех пор, пока она не достигнет либо формы эшелона строк , либо формы уменьшенного эшелона строк . Сокращение строк имеет следующие важные свойства:

1. Уменьшенная матрица имеет то же нулевое пространство, что и исходная.
2. Сокращение строк не меняет диапазон векторов-строк, т. е. уменьшенная матрица имеет то же пространство строк, что и исходная.
3. Сокращение строк не влияет на линейную зависимость векторов-столбцов.

Основа для рядового пространства

Введите матрицу An m  ×  n A .

Выведите базис для пространства строк A .

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму эшелона строк.
2. Ненулевые строки ступенчатой ​​формы являются основой пространства строк A .

Пример см . в статье о пространстве строк .

Если вместо этого мы поместим матрицу A в форму сокращенного эшелона строк, то результирующий базис пространства строк будет определен однозначно. Это обеспечивает алгоритм проверки равенства двух пространств строк и, как следствие, равенства двух подпространств K ^{n .}

Членство в подпространстве

Введите базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S пространства K ⁿ и вектор v с n компонентами.

Выходные данные Определяет, является ли v элементом S

1. Создайте матрицу A ( k  + 1) ×  n , строки которой являются векторами b ₁ , ... ,  b _k и v .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму эшелона строк.
3. Если ступенчатая форма имеет ряд нулей, то векторы { b ₁ , ..., b _k , v } линейно зависимы, и, следовательно, v ∈ S .

Основа для колонного пространства

Входные данные An m  ×  n матрица A

Выходные данные Базис для пространства столбцов A

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму эшелона строк.
2. Определите, какие столбцы эшелонированной формы имеют поворотные точки . Соответствующие столбцы исходной матрицы являются основой пространства столбцов.

Пример см. в статье о пространстве столбцов .

Это создает основу для пространства столбцов, которая является подмножеством исходных векторов-столбцов. Это работает, поскольку столбцы со сводными точками являются основой пространства столбцов ступенчатой ​​формы, а сокращение строк не меняет отношений линейной зависимости между столбцами.

Координаты вектора

Введите базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S в K ⁿ и вектор v ∈ S.

Выходные числа t ₁ , t ₂ , ..., t _k такие, что v = t ₁ b ₁ + ··· + t _k b _k

1. Создайте расширенную матрицу A , столбцы которой — b ₁ ,..., b _k , причем последний столбец — v .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму сокращенного эшелона строк.
3. Выразите последний столбец сокращенной формы эшелона как линейную комбинацию первых k столбцов. Используемые коэффициенты представляют собой искомые числа t ₁ , t ₂ , ..., t _k . (Это должны быть именно первые k записей в последнем столбце сокращенной формы эшелона.)

Если последний столбец сокращенной формы эшелона строк содержит точку поворота, то входной вектор v не лежит в S .

Основа для пустого пространства

Введите матрицу An m  ×  n A .

Выходные данные Базис для нулевого пространства A

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму сокращенного эшелона строк.
2. Используя сокращенную форму звена строк, определите, какие из переменных x ₁ , x ₂ , ..., x _n свободны. Напишите уравнения для зависимых переменных через свободные переменные.
3. Для каждой свободной переменной x _i выберите вектор в нулевом пространстве, для которого x _i = 1 , а остальные свободные переменные равны нулю. Полученный набор векторов является основой нулевого пространства A .

Пример смотрите в статье о пустом пространстве .

Базис для суммы и пересечения двух подпространств

Учитывая два подпространства U и W в V , базис суммы и пересечение можно вычислить с помощью алгоритма Цассенхауза . ${\displaystyle U+W}$ ${\displaystyle U\cap W}$

Уравнения для подпространства

Введите базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S в K ⁿ

Выведите матрицу An ( n  −  k ) ×  n , нулевое пространство которой равно S .

1. Создайте матрицу A , строки которой — b ₁ , b ₂ , ..., b _k .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму сокращенного эшелона строк.
3. Пусть c ₁ , c ₂ , ..., c _n — столбцы сокращенной ступенчатой ​​формы. Для каждого столбца без опорных точек напишите уравнение, выражающее столбец как линейную комбинацию столбцов со сводными точками.
4. В результате получается однородная система n − k линейных уравнений с переменными c ₁ ,..., c _n . Матрица ( n − k ) × n , соответствующая этой системе, является искомой матрицей с нулевым пространством S .

Пример

Если сокращенная форма эшелона строк A равна

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]}$

тогда векторы-столбцы c ₁ , ..., c ₆ удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}}$

Отсюда следует, что векторы-строки матрицы A удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}}$

В частности, векторы-строки матрицы A являются основой нулевого пространства соответствующей матрицы.

Смотрите также

• Циклическое подпространство
• Инвариантное подпространство
• Мультилинейное обучение подпространству
• Факторпространство (линейная алгебра)
• Сигнальное подпространство
• Топология подпространства

Примечания

1. Термин «линейное подпространство » иногда используется для обозначения плоских и аффинных подпространств . В случае векторных пространств над вещественными числами линейные подпространства, квартиры и аффинные подпространства также называются линейными многообразиями , чтобы подчеркнуть, что существуют также многообразия .
2. Как правило, K может быть любым полем такой характеристики , что данная целочисленная матрица имеет соответствующий ранг . Все поля содержат целые числа , но в некоторых полях некоторые целые числа могут равняться нулю.
3. Это определение часто формулируется по-другому: векторы v ₁ , ..., v _k линейно независимы, если t ₁ v ₁ + ··· + t _k v _k ≠ 0 для ( t ₁ , t ₂ , ..., t _к ) ≠ (0, 0, ..., 0) . Оба определения эквивалентны.

Цитаты

1. Халмош (1974), стр. 16-17, § 10.
2. Антон (2005, стр. 155)
3. Борегар и Фрели (1973, стр. 176)
4. Херштейн (1964, стр. 132)
5. Крейциг (1972, стр. 200)
6. Неринг (1970, стр. 20)
7. Хефферон (2020) с. 100, гл. 2, Определение 2.13.
8. MathWorld (2021) Подпространство.
9. ДюШато (2002) Основные факты о гильбертовом пространстве - конспекты занятий в Университете штата Колорадо по уравнениям в частных производных (M645).
10. Неринг (1970, стр. 21)
11. Хефферон (2020) с. 100, гл. 2, Определение 2.13.
12. Неринг (1970, стр. 20)
13. Неринг (1970, стр. 21)
14. Операторы, связанные с векторным пространством.
15. Неринг (1970, стр. 22)
16. Хефферон (2020) с. 148, гл. 2, §4.10
17. Экслер (2015) с. 21 § 1.40
18. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), стр. 10-11, § 1.2.5.
19. Халмош (1974), стр. 28-29, § 18.
20. Халмос (1974), стр. 30-31, § 19.
21. Экслер (2015) с. 193, § 6.46
22. Экслер (2015) с. 195, § 6.50
23. Экслер (2015) с. 194, § 6.47
24. Экслер (2015) с. 195, § 6.51

Источники

Учебник

• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Экслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра сделана правильно (3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-Х
• Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Спрингер . ISBN 0-387-90093-4.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Ортогональное издание. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell, ISBN 978-1114541016
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-99845-3

Интернет

• Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Подпространство». Математический мир . Проверено 16 февраля 2021 г.
• ДюШато, Поль (5 сентября 2002 г.). «Основные факты о гильбертовом пространстве» (PDF) . Государственный университет Колорадо . Проверено 17 февраля 2021 г.

Внешние ссылки

• Стрэнг, Гилберт (7 мая 2009 г.). «Четыре фундаментальных подпространства». Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. Проверено 17 февраля 2021 г. - через YouTube .
• Стрэнг, Гилберт (5 мая 2020 г.). «Большая картина линейной алгебры». Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. Проверено 17 февраля 2021 г. - через YouTube .