Алгебраическая поверхность

Нулевой набор многочлена от трех переменных

В математике алгебраическая поверхность — это алгебраическое многообразие размерности два. В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два (как комплексное многообразие , когда оно неособое ) и, следовательно, размерность четыре как гладкое многообразие .

Теория алгебраических поверхностей гораздо сложнее, чем теория алгебраических кривых (включая компактные римановы поверхности , которые являются настоящими поверхностями (вещественной) размерности два). Многие результаты были получены, но в итальянской школе алгебраической геометрии и им уже до 100 лет.

Классификация по размеру Кодаира

В случае размерности один многообразия классифицируются только по топологическому роду , но во втором измерении необходимо различать арифметический род и геометрический род , поскольку невозможно бирационально различать только топологический род. Затем вносится неравномерность в классификацию сортов. Краткое изложение результатов (подробно для каждого типа поверхности относится к каждому перенаправлению) следующее: ${\displaystyle p_{a}}$ ${\displaystyle p_{g}}$

Примеры алгебраических поверхностей включают (κ — размерность Кодаиры ):

• κ = −∞: проективная плоскость , квадрики в P ³ , кубические поверхности , поверхность Веронезе , поверхности дель Пеццо , линейчатые поверхности
• κ = 0: поверхности K3 , абелевы поверхности , поверхности Энриквеса , гиперэллиптические поверхности
• κ = 1: эллиптические поверхности
• κ = 2: поверхности общего типа .

Дополнительные примеры см. в списке алгебраических поверхностей .

Первые пять примеров фактически бирационально эквивалентны . То есть, например, кубическая поверхность имеет функциональное поле, изоморфное полю проективной плоскости , которое является рациональными функциями от двух неопределенных. Декартово произведение двух кривых также дает примеры.

Бирациональная геометрия поверхностей

Бирациональная геометрия алгебраических поверхностей богата благодаря раздутию (также известному как моноидальное преобразование ), при котором точка заменяется кривой всех входящих в нее предельных касательных направлений ( проективная прямая ). Некоторые кривые также могут быть раздуты , но есть ограничение (число самопересечения должно быть -1).

Теорема Кастельнуово

Одной из фундаментальных теорем бирациональной геометрии поверхностей является теорема Кастельнуово . Это утверждает, что любое бирациональное отображение между алгебраическими поверхностями задается конечной последовательностью раздутий и раздутий.

Характеристики

Критерий Накаи гласит , что:

Дивизор D на поверхности S является обильным тогда и только тогда, когда D ² > 0 и для любой неприводимой кривой C на S D•C > 0.

Обильные дивизоры обладают замечательным свойством, например, возвратом некоторого гиперплоского расслоения проективного пространства, свойства которого очень хорошо известны. Пусть – абелева группа, состоящая из всех дивизоров на S . Тогда по теореме пересечения ${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y}$

рассматривается как квадратичная форма . Позволять

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0,{\text{for all }}X\in {\mathcal {D}}(S)\}}$

тогда становится числовой эквивалентной группой классов S и ${\displaystyle {\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)}$

${\displaystyle Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E}$

также становится квадратичной формой на , где – образ дивизора D на S . (На рисунке ниже изображение сокращенно D .) ${\displaystyle Num(S)}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$

Для обильного линейного расслоения H на S определение

${\displaystyle \{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.}$

используется в поверхностной версии теоремы об индексе Ходжа :

для , т. е. ограничение формы пересечения на является отрицательно определенной квадратичной формой. ${\displaystyle D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0}$ ${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$

Эта теорема доказывается с использованием критерия Накаи и теоремы Римана-Роха для поверхностей. Теорема Ходжа об индексе используется Делинем в доказательстве гипотезы Вейля .

Основные результаты по алгебраическим поверхностям включают теорему Ходжа об индексе и разделение на пять групп классов бирациональной эквивалентности, называемое классификацией алгебраических поверхностей . Общий тип класса размерности Кодаиры 2 очень велик ( например, в нем лежит степень 5 или выше для неособой поверхности в P ^{3 ).}

Существуют три существенных инварианта поверхности, связанных с числом Ходжа . Из них h ^1,0 классически назывался нерегулярностью и обозначался q ; а h ^2,0 назывался геометрическим родом p _g . Третий, h ^1,1 , не является бирациональным инвариантом , поскольку при раздутии можно добавить целые кривые с классами из H ^1,1 . Известно, что циклы Ходжа алгебраичны и что алгебраическая эквивалентность совпадает с гомологической эквивалентностью, так что h ^1,1 является верхней границей ρ, ранга группы Нерона-Севери . Арифметический род p _a – это разность

геометрический род − неправильность.

Это объясняет, почему нерегулярность получила свое название как своего рода «термин ошибки».

Теорема Римана-Роха для поверхностей

Теорема Римана -Роха для поверхностей была впервые сформулирована Максом Нётером . Семейства кривых на поверхностях можно в некотором смысле классифицировать, что дает начало большей части их интересной геометрии.

Рекомендации

• Долгачев, И.В. (2001) [1994], «Алгебраическая поверхность», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Зариский, Оскар (1995), Алгебраические поверхности , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6, МР  1336146

Внешние ссылки

• Бесплатная программа SURFER для визуализации алгебраических поверхностей в режиме реального времени, включая пользовательскую галерею.
• SingSurf - интерактивный 3D-просмотрщик алгебраических поверхностей.
• Страница об алгебраических поверхностях началась в 2008 году.
• Обзор и мысли по проектированию алгебраических поверхностей