Симметричная функция

Функция, инвариантная относительно всех перестановок своих переменных.

В математике функция переменных называется симметричной , если ее значение одинаково, независимо от порядка ее аргументов . Например, функция двух аргументов является симметричной функцией тогда и только тогда, когда для всех и таких, что и находятся в области определения . Наиболее часто встречающиеся симметричные функции — это полиномиальные функции , которые задаются симметричными полиномами . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{1}\right)}$ ${\displaystyle f.}$

Связанное с этим понятие — знакопеременные полиномы , которые меняют знак при замене переменных. Помимо полиномиальных функций, тензоры , действующие как функции нескольких векторов, могут быть симметричными, и фактически пространство симметричных -тензоров в векторном пространстве изоморфно пространству однородных многочленов степени от симметричных функций, не следует путать с четными и нечетные функции , которые имеют разный вид симметрии. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V.}$

Симметризация

Для любой функции от переменных со значениями в абелевой группе можно построить симметричную функцию путем суммирования значений по всем перестановкам аргументов. Точно так же антисимметричная функция может быть построена путем суммирования по четным перестановкам и вычитания суммы по нечетным перестановкам . Эти операции, конечно, необратимы и вполне могут привести к получению функции, которая будет тождественно нулю для нетривиальных функций. Единственный общий случай, когда можно восстановить, если известны как ее симметризация, так и антисимметризация, - это когда и абелева группа допускает деление на 2 ( обратная удвоению); тогда равна половине суммы его симметризации и антисимметризации. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle f}$

Примеры

• Рассмотрим действительную функцию
  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$
  По определению симметричная функция с переменными обладает свойством, что ${\displaystyle n}$
  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}$$
  В общем случае функция остается неизменной для каждой перестановки ее переменных. Это означает, что в данном случае
  $${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$
  и так далее, для всех перестановок ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$
• Рассмотрим функцию
  $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$
  Если и поменяны местами, функция становится ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
  $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$
  который дает точно такие же результаты, как и оригинал ${\displaystyle f(x,y).}$
• Рассмотрим теперь функцию
  $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$
  Если и поменяны местами, функция становится ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
  $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$
  Эта функция отличается от исходной if, что делает ее несимметричной. ${\displaystyle a\neq b,}$

Приложения

U-статистика

В статистике -выборочная статистика (функция в переменных), полученная путем начальной симметризации -выборочной статистики, дающая симметричную функцию в переменных, называется U-статистикой . Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Переменный полином
• Элементарный симметричный многочлен  - однородный симметричный многочлен, в котором каждый возможный моном встречается ровно один раз с коэффициентом 1.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Чётные и нечётные функции  – такие функции, что f(–x) равно f(x) или f(–x).
• Сменные случайные величины  - концепция в статистике.
• Квазисимметричная функция
• Кольцо симметричных функций
• Симметризация  - процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметричную функцию от n переменных.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Полином Вандермонда  – определитель матрицы ВандермондаСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта

Рекомендации

• Ф. Н. Дэвид , М. Г. Кендалл и Д. Е. Бартон (1966) Симметричные функции и родственные таблицы , издательство Кембриджского университета .
• Джозеф П.С. Кунг, Джан-Карло Рота и Кэтрин Х. Ян (2009) Комбинаторика: Путь Роты , §5.1 Симметричные функции, стр. 222–5, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-73794-4 .