Симметричная моноидальная категория

Моноидальная категория, где A ⊗ B естественно эквивалентна B ⊗ A

В теории категорий , разделе математики , симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория (т. е. категория, в которой определено «тензорное произведение»), такая, что тензорное произведение симметрично (т. е . в определенном строгом смысле естественно изоморфно для всех объектов и категории). Одним из прототипических примеров симметричной моноидальной категории является категория векторных пространств над некоторым фиксированным полем k, использующая обычное тензорное произведение векторных пространств . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Определение

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория ( C , ⊗, I ), такая что для каждой пары A , B объектов из C существует изоморфизм, называемый отображением обмена ^[1], который является естественным как в A , так и в B и такой, что следующие диаграммы коммутируют: ${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• Согласованность блока:

• Ассоциативная связность:

• Обратный закон:

На диаграммах выше a , l и r являются изоморфизмом ассоциативности, изоморфизмом левой единицы и изоморфизмом правой единицы соответственно.

Примеры

Некоторые примеры и не примеры симметричных моноидальных категорий:

• Категория множеств . Тензорное произведение — это теоретико-множественное декартово произведение, и любой синглтон может быть зафиксирован как единичный объект.
• Категория групп . Как и прежде, тензорное произведение — это просто декартово произведение групп, а тривиальная группа — единичный объект.
• В более общем смысле любая категория с конечными произведениями, то есть декартова моноидальная категория , является симметричной моноидальной. Тензорное произведение является прямым произведением объектов, а любой конечный объект (пустое произведение) является единичным объектом.
• Категория бимодулей над кольцом R является моноидальной (используя обычное тензорное произведение модулей), но не обязательно симметричной. Если R коммутативно, категория левых R -модулей является симметричной моноидальной. Последний пример класса включает категорию всех векторных пространств над заданным полем.
• Если задано поле k и группа (или алгебра Ли над k ), то категория всех k -линейных представлений группы (или алгебры Ли) является симметричной моноидальной категорией. Здесь используется стандартное тензорное произведение представлений.
• Категории ( Ste , ) и ( Ste , ) стереотипных пространств над являются симметричными моноидальными, и, более того, ( Ste , ) является замкнутой симметричной моноидальной категорией с внутренним hom-функтором . ${\displaystyle \circledast }$ ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \circledast }$ ${\displaystyle \oslash }$

Характеристики

Классифицирующее пространство (геометрическая реализация нерва ) симметричной моноидальной категории является пространством, поэтому его групповое пополнение является бесконечным циклическим пространством . ^[2] ${\displaystyle E_{\infty }}$

Специализации

Кинжальная симметричная моноидальная категория — это симметричная моноидальная категория с совместимой кинжальной структурой .

Космос — это полная кополная замкнутая симметричная моноидальная категория .

Обобщения

В симметричной моноидальной категории естественные изоморфизмы являются своими собственными обратными в том смысле, что . Если мы откажемся от этого требования (но все еще потребуем, чтобы было естественно изоморфно ), мы получим более общее понятие сплетенной моноидальной категории . ${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$ ${\displaystyle s_{BA}\circ s_{AB}=1_{A\otimes B}}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$

Ссылки

1. Фонг, Брендан; Спивак, Дэвид И. (2018-10-12). «Семь набросков композиционности: приглашение к прикладной теории категорий». arXiv : 1803.05316 [math.CT].
2. Thomason, RW (1995). "Симметричные моноидальные категории моделируют все связные спектры" (PDF) . Теория и приложения категорий . 1 (5): 78–118. CiteSeerX 10.1.1.501.2534 . 

• Симметричная моноидальная категория в n Lab
• В данной статье использованы материалы из категории «Симметричные моноидальные» на сайте PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .