Полная категория

Категория со всеми ограничениями (маленьких) диаграмм

В математике полная категория — это категория , в которой существуют все малые пределы . То есть категория C является полной, если каждая диаграмма F :  J → C ( где J мало ) имеет предел в C. Двойственно , кополная категория — это категория, в которой существуют все малые копределы . Биполная категория — это категория, которая является как полной, так и кополной .

Существование всех пределов (даже когда J является собственным классом ) слишком сильно, чтобы иметь практическое значение. Любая категория с этим свойством обязательно является тонкой категорией : для любых двух объектов может быть максимум один морфизм из одного объекта в другой.

Более слабая форма полноты — это конечная полнота. Категория конечно полна, если существуют все конечные пределы (т. е. пределы диаграмм, индексированных конечной категорией J ). Двойственно, категория конечно кополна, если существуют все конечные копределы.

Теоремы

Из теоремы о существовании пределов следует , что категория является полной тогда и только тогда, когда она имеет уравнители (всех пар морфизмов) и все (малые) произведения . Поскольку уравнители могут быть построены из обратных образов и бинарных произведений (рассмотрим обратный образ ( f , g ) вдоль диагонали Δ), категория является полной тогда и только тогда, когда она имеет обратные образы и произведения.

Двойственно, категория является кополной тогда и только тогда, когда она имеет коуравнители и все (малые) копроизведения или, что эквивалентно, выталкиватели и копроизведения.

Конечную полноту можно охарактеризовать несколькими способами. Для категории C все следующие условия эквивалентны:

• C конечно полно,
• C имеет уравнители и все конечные произведения,
• В языке C есть эквалайзеры, двоичные произведения и конечный объект .
• В языке C есть откаты и конечный объект.

Двойственные утверждения также эквивалентны.

Малая полная категория C является полной тогда и только тогда, когда она является кополной. ^[1] Малая полная категория обязательно является тонкой.

Посетальная категория имеет все уравнители и соуравнители, откуда она (конечно) полна тогда и только тогда, когда она имеет все (конечные) произведения, и двойственно для кополноты. Без ограничения конечности посетальная категория со всеми произведениями автоматически кополна, и двойственно, по теореме о полных решетках.

Примеры и не примеры

• Следующие категории являются бикомплексными:
  • Набор , категория наборов
  • Топ , категория топологических пространств
  • Grp , категория групп
  • Ab , категория абелевых групп
  • Кольцо , категория колец
  • K -Vect , категория векторных пространств над полем K
  • R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R
  • CmptH , категория всех компактных хаусдорфовых пространств
  • Кот , категория всех малых категорий
  • Whl , категория колес
  • sSet , категория симплициальных множеств ^[2]
• Следующие категории являются конечно полными и конечно кополными, но не являются ни полными, ни кополными:
  • Категория конечных множеств
  • Категория конечных абелевых групп
  • Категория конечномерных векторных пространств
• Любая ( пред ) абелева категория конечно полна и конечно кополна.
• Категория полных решеток является полной, но не кополной.
• Категория метрических пространств Met конечно полна, но не имеет ни бинарных копроизведений, ни бесконечных произведений.
• Категория полей Field не является ни конечно полной , ни конечно кополной.
• Посет , рассматриваемый как малая категория, является полным (и кополным) тогда и только тогда, когда он является полной решеткой .
• Частично упорядоченный класс всех порядковых чисел является кополным, но не полным (поскольку у него нет конечного объекта).
• Группа, рассматриваемая как категория с одним объектом, является полной тогда и только тогда, когда она тривиальна . Нетривиальная группа имеет откаты и выталкивания, но не имеет продуктов, копродуктов, уравнителей, коуравнителей, конечных объектов или начальных объектов.

Ссылки

1. Абстрактные и конкретные категории, Иржи Адамек, Хорст Херрлих и Джордж Э. Стрекер, теорема 12.7, стр. 213
2. Riehl, Emily (2014). Категориальная гомотопическая теория . Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 32. ISBN 9781139960083. OCLC  881162803.

Дальнейшее чтение

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics 5 ((2nd ed.) ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.