Классические гамильтоновы кватернионы

Оригинальная трактовка кватернионов Гамильтоном

Уильям Роуэн Гамильтон изобрел кватернионы , математическую сущность, в 1843 году. В этой статье описывается оригинальная трактовка кватернионов Гамильтоном с использованием его обозначений и терминов. Трактовка Гамильтона более геометрична , чем современный подход, который подчеркивает алгебраические свойства кватернионов . С математической точки зрения обсуждаемые кватернионы отличаются от современного определения только используемой терминологией.

Классические элементы кватерниона

Гамильтон определил кватернион как частное двух направленных линий в трехмерном пространстве ; ^[1] или, в более общем смысле, как частное двух векторов. ^[2]

Кватернион можно представить как сумму скаляра и вектора. Его также можно представить как произведение его тензора и его версора.

Скалярный

Гамильтон придумал термин скаляры для действительных чисел , потому что они охватывают «шкалу прогрессии от положительной до отрицательной бесконечности» ^[3] или потому что они представляют «сравнение позиций на одной общей шкале». ^[4] Гамильтон считал обычную скалярную алгебру наукой чистого времени. ^[5]

Вектор

Гамильтон определил вектор как «прямую линию... имеющую не только длину, но и направление». ^[6] Гамильтон вывел слово вектор от латинского vehere, переносить. ^[7]

Гамильтон рассматривал вектор как «разность двух его крайних точек». ^[6] Для Гамильтона вектор всегда был трехмерной сущностью, имеющей три координаты относительно любой заданной системы координат, включая, но не ограничиваясь, как полярную , так и прямоугольную системы. ^[8] Поэтому он называл векторы «триплетами».

Гамильтон определил сложение векторов в геометрических терминах, поместив начало второго вектора в конец первого. ^[9] Затем он определил вычитание векторов.

Добавляя вектор к себе несколько раз, он определил умножение вектора на целое число , затем расширил это до деления на целое число и умножения (и деления) вектора на рациональное число. Наконец, взяв пределы, он определил результат умножения вектора α на любой скаляр x как вектор β с тем же направлением, что и α, если x положительно; противоположным направлением α, если x отрицательно; и длиной, которая | x | умножить на длину α. ^[10]

Частное двух параллельных или антипараллельных векторов , таким образом, является скаляром с абсолютным значением, равным отношению длин двух векторов; скаляр положителен, если векторы параллельны, и отрицателен, если они антипараллельны. ^[11]

Единичный вектор

Единичный вектор — это вектор длины 1. Примерами единичных векторов являются i, j и k.

Тензор

Примечание: Использование слова тензор Гамильтоном не совпадает с современной терминологией. Тензор Гамильтона на самом деле является абсолютным значением на кватернионной алгебре, что делает ее нормированным векторным пространством .

Гамильтон определил тензор как положительную числовую величину или, точнее, число без знака. ^{[12] [13] [14]} Тензор можно рассматривать как положительный скаляр. ^[15] «Тензор» можно рассматривать как представляющий «фактор растяжения». ^[16]

Гамильтон ввел термин «тензор» в своей первой книге «Лекции о кватернионах», основанной на лекциях, которые он прочитал вскоре после изобретения кватернионов:

• кажется удобным расширить определением значение нового слова тензор, чтобы сделать его способным включать также те другие случаи, в которых мы работаем с линией, уменьшая вместо увеличения ее длины; и вообще изменяя эту длину в любом определенном отношении. Таким образом, мы будем (как намекалось в конце рассматриваемой статьи) иметь дробные и даже несоизмеримые тензоры, которые будут просто числовыми множителями, и все будут положительными или (говоря более правильно) числами без знаков , то есть не облаченными в алгебраические знаки положительного и отрицательного ; потому что в рассматриваемой здесь операции мы абстрагируемся от направлений (а также от ситуаций) линий, которые сравниваются или над которыми работают.

Каждый кватернион имеет тензор, который является мерой его величины (так же, как длина вектора является мерой величины вектора). Когда кватернион определяется как частное двух векторов, его тензор является отношением длин этих векторов.

Версор

Версор — это кватернион с тензором 1. В качестве альтернативы версор можно определить как частное двух векторов одинаковой длины. ^{[17] [18]}

В общем случае версор определяет все из следующего: ось направления; плоскость, нормальную к этой оси; и угол поворота. ^[19]

При умножении версора и вектора, лежащего в плоскости версора, результатом является новый вектор той же длины, но повернутый на угол версора.

Векторная дуга

Поскольку каждый единичный вектор можно рассматривать как точку на единичной сфере , а версор можно рассматривать как частное двух векторов, версор имеет представительную дугу большого круга , называемую векторной дугой , соединяющую эти две точки, проведенные от делителя или нижней части частного к делимому или верхней части частного. ^{[20] [21]}

Правый версор

Когда дуга версора имеет величину прямого угла , то он называется прямым версором , прямым радиальным или квадрантным версором .

Вырожденные формы

Существуют два специальных случая вырожденных версоров, называемых единичными скалярами. ^[22] Эти два скаляра (отрицательная и положительная единица) можно рассматривать как скалярные кватернионы . Эти два скаляра являются специальными предельными случаями, соответствующими версорам с углами либо нулевыми, либо π.

В отличие от других версоров, эти два не могут быть представлены единственной дугой. Дуга 1 является одной точкой, а –1 может быть представлена ​​бесконечным числом дуг, поскольку существует бесконечное число кратчайших линий между антиподальными точками сферы.

Кватернион

Каждый кватернион можно разложить на скаляр и вектор.

${\displaystyle q=\mathbf {S} (q)+\mathbf {V} (q)}$

Эти две операции S и V называются «взять скаляр» и «взять вектор» кватерниона. Векторная часть кватерниона также называется правой частью. ^[23]

Каждый кватернион равен версору, умноженному на тензор кватерниона. Обозначая версор кватерниона через

${\displaystyle \mathbf {U} q}$

и тензор кватерниона по

${\displaystyle \mathbf {T} q}$

у нас есть

${\displaystyle q=\mathbf {T} q\mathbf {U} q}$

Правый кватернион

Действительным кратным правого версора является правый кватернион, таким образом, правый кватернион — это кватернион, скалярная составляющая которого равна нулю,

${\displaystyle S(q)=0.}$

Угол прямого кватерниона равен 90 градусам. Таким образом, прямой кватернион имеет только векторную часть и не имеет скалярной части. Правые кватернионы можно представить в стандартной триномиальной форме. Например, если Q — прямой кватернион, его можно записать как:

${\displaystyle Q=xi+yj+zk}$^[24]

Четыре операции

В кватернионной нотации основополагающее значение имеют четыре операции. ^[25]

+ − ÷ ×

В частности, важно понимать, что существует одна операция умножения, одна операция деления и одна операция сложения и вычитания. Этот оператор умножения может работать с любым типом математических сущностей. Аналогично, каждый тип сущности может быть разделен, добавлен или вычтен из любого другого типа сущности. Понимание значения символа вычитания имеет решающее значение в теории кватернионов, поскольку оно приводит к пониманию концепции вектора.

Порядковые операторы

Двумя порядковыми операциями в классической кватернионной записи были сложение и вычитание, или + и −.

Этими знаками являются:

«...характеристики синтеза и анализа состояния прогрессии, в зависимости от того, рассматривается ли это состояние как производное от некоторого другого состояния этой прогрессии или как сравненное с ним». ^[26]

Вычитание

Вычитание — это тип анализа , называемый порядковым анализом ^[27]

...пусть теперь пространство рассматривается как поле прогрессии, которое должно изучаться, а ТОЧКИ как состояния этой прогрессии. ...Я склонен рассматривать слово «Минус» или знак − в геометрии как знак или характеристику анализа одного геометрического положения (в пространстве) по сравнению с другим (таким) положением. Сравнение одной математической точки с другой с целью определения того, что можно назвать их порядковым отношением или их относительным положением в пространстве... ^[28]

Первый пример вычитания: возьмем точку A, представляющую Землю, а точку B, представляющую Солнце, затем стрелку, проведенную от A к B, будем называть актом движения или вектором от A к B.

Б − А

Это представляет собой первый пример вектора в лекциях Гамильтона. В данном случае это акт перемещения от Земли к Солнцу. ^{[29] [30]}

Добавление

Сложение — это тип анализа, называемый порядковым синтезом. ^[31]

Сложение векторов и скаляров

Векторы и скаляры можно складывать. Когда вектор складывается со скаляром, создается совершенно другая сущность — кватернион.

Вектор плюс скаляр всегда является кватернионом, даже если скаляр равен нулю. Если скаляр, добавленный к вектору, равен нулю, то полученный новый кватернион называется правым кватернионом. Он имеет угловую характеристику 90 градусов.

Кардинальные операции

Две кардинальные операции ^[32] в кватернионной нотации — это геометрическое умножение и геометрическое деление, и их можно записать так:

÷, ×

Для использования деления и умножения не обязательно изучать следующие более сложные термины.

Деление — это вид анализа , называемый кардинальным анализом. ^[33] Умножение — это вид синтеза, называемый кардинальным синтезом ^[34]

Разделение

Классически кватернион рассматривался как отношение двух векторов, иногда называемое геометрической дробью.

Если OA и OB представляют собой два вектора, проведенные из начала координат O к двум другим точкам A и B, то геометрическая дробь записывается как

${\displaystyle OA:OB}$

Поочередно, если два вектора представлены как α и β, то частное записывается как

${\displaystyle \alpha \div \beta }$

или

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}}$

Гамильтон утверждает: «Частное двух векторов, как правило, является кватернионом». ^[35] Лекции о кватернионах также впервые вводят понятие кватерниона как частного двух векторов:

Логично и по определению, ^{[36] [37]}

если ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=q}$

затем . ${\displaystyle {q}\times {\beta }=\alpha .}$

В исчислении Гамильтона произведение не коммутативно , т. е. порядок переменных имеет большое значение. Если бы порядок q и β был бы обратным, то результат в общем случае не был бы α. Кватернион q можно рассматривать как оператор, который изменяет β в α, сначала вращая его, ранее акт версии , а затем изменяя его длину, ранее называвшийся актом натяжения .

Также по определению частное двух векторов равно числителю, умноженному на обратную величину знаменателя . Поскольку умножение векторов не является коммутативным, порядок не может быть изменен в следующем выражении.

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=\,{\alpha }\times {\frac {1}{\beta }}}$

Опять же, порядок двух величин в правой части имеет значение.

Харди дает определение деления в терминах мнемонических правил отмены. «Отмена выполняется движением правой руки вверх». ^[38]

Если альфа и бета — векторы, а q — кватернион, такой что

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=q}$

затем ${\displaystyle \alpha \beta ^{-1}=q}$

и ^[39] ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}.\beta =\alpha \beta ^{-1}.\beta =\alpha }$

${\displaystyle \times }$и являются обратными операциями, такими что: ${\displaystyle \div }$

${\displaystyle \beta \div \alpha \times \alpha =\beta }$и ^[40] ${\displaystyle q\times \alpha \div \alpha =q}$

и

${\displaystyle \gamma =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )\times \alpha }$^[41]

Важно рассматривать q как оператор, который преобразует β в α, сначала вращая его ( версия ), а затем изменяя его длину (натяжение).

${\displaystyle \gamma \div \alpha =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )}$^[42]

Деление единичных векторовя,дж,к

Результаты использования оператора деления по i , j и k были следующими. ^[43]

Обратной величиной единичного вектора является перевернутый вектор. ^[44]

${\displaystyle {\frac {1}{i}}=i^{-1}=-i}$

Поскольку единичный вектор и его обратный вектор параллельны друг другу, но указывают в противоположных направлениях, произведение единичного вектора и его обратного вектора имеет особое свойство коммутативности, например, если a — любой единичный вектор, то: ^[45]

${\displaystyle {\frac {1}{a}}a=(-a)a=1=a(-a)=a{\frac {1}{a}}.}$

Однако в более общем случае, включающем более одного вектора (независимо от того, является ли он единичным вектором), свойство коммутативности не выполняется. ^[46] Например:

${\displaystyle i{\frac {k}{i}}}$≠ ${\displaystyle {\frac {k}{i}}i.}$

Это связано с тем, что k/i тщательно определяется как:

${\displaystyle {\frac {k}{i}}=k{\frac {1}{i}}=ki^{-1}=k(-i)=-(ki)=-(j)=-j}$.

Так что:

${\displaystyle i{\frac {k}{i}}=i(-j)=-k}$,

однако

${\displaystyle {\frac {k}{i}}i=(-j)i=-(ji)=-(-k)=k}$

Деление двух параллельных векторов

В то время как в общем случае частное двух векторов является кватернионом, если α и β являются двумя параллельными векторами, то частное этих двух векторов является скаляром. Например, если

${\displaystyle \alpha =ai}$,

а потом ${\displaystyle \beta =bi}$

${\displaystyle \alpha \div \beta ={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {ai}{bi}}={\frac {a}{b}}}$

Где a/b — скаляр. ^[47]

Деление двух непараллельных векторов

Частное двух векторов в общем случае представляет собой кватернион:

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}}$ ${\displaystyle ={\frac {T\alpha }{T\beta }}(\cos \phi +\epsilon \sin \phi )}$

Где α и β — два непараллельных вектора, φ — угол между ними, а ε — единичный вектор, перпендикулярный плоскости векторов α и β, направление которого задается стандартным правилом правой руки. ^[48]

Умножение

Классическая кватернионная нотация имела только одну концепцию умножения. Умножение двух действительных чисел, двух мнимых чисел или действительного числа на мнимое число в классической системе нотации было одной и той же операцией.

Умножение скаляра и вектора выполнялось с помощью одного и того же оператора умножения; умножение двух векторов кватернионов использовало ту же операцию, что и умножение кватерниона и вектора или двух кватернионов.

Фактор, Фасьенд и Фактум

Фактор × Лицевая сторона = Фактум ^[49]

При умножении двух величин первая величина называется множителем, ^[50] вторая величина называется фациендой, а результат называется фактумом.

Распределительный

В классической нотации умножение было дистрибутивным . Понимая это, легко увидеть, почему произведение двух векторов в классической нотации дает кватернион.

${\displaystyle q=(ai+bj+ck)\times (ei+fj+gk)}$

${\displaystyle q=ae({i}\times {i})+af({i}\times {j})+ag({i}\times {k})+be({j}\times {i})+bf({j}\times {j})+bg({j}\times {k})+ce({k}\times {i})+cf({k}\times {j})+cg({k}\times {k})}$

Используя таблицу умножения кватернионов, имеем:

${\displaystyle q=ae(-1)+af(+k)+ag(-j)+be(-k)+bf(-1)+bg(+i)+ce(+j)+cf(-i)+cg(-1)}$

Затем собираем термины:

${\displaystyle q=-ae-bf-cg+(bg-cf)i+(ce-ag)j+(af-be)k}$

Первые три члена являются скаляром.

Сдача в аренду

${\displaystyle w=-ae-bf-cg}$

${\displaystyle x=(bg-cf)}$

${\displaystyle y=(ce-ag)}$

${\displaystyle z=(af-be)}$

Таким образом, произведение двух векторов является кватернионом и может быть записано в виде:

${\displaystyle q=w+xi+yj+zk}$

Произведение двух правых кватернионов

Произведение двух правых кватернионов обычно является кватернионом.

Пусть α и β — правые кватернионы, которые получаются в результате взятия векторов двух кватернионов:

${\displaystyle \alpha =\mathbf {V} p}$

${\displaystyle \beta =\mathbf {V} q}$

Их произведение в общем случае является новым кватернионом, представленным здесь r. Это произведение не является неоднозначным, поскольку классическая нотация имеет только одно произведение.

${\displaystyle r=\,\alpha \beta ;}$

Как и все кватернионы, r теперь можно разложить на векторную и скалярную части.

${\displaystyle r=\mathbf {S} r+\mathbf {V} r}$

Члены справа называются скаляром произведения и вектором произведения ^[51] двух правых кватернионов.

Примечание: «Скаляр произведения» соответствует евклидову скалярному произведению двух векторов с точностью до смены знака (умножение на −1).

Подробно о других операторах

Скаляр и вектор

Две важные операции в двух классических системах записи кватернионов были S (q) и V (q), что означало взять скалярную часть и взять мнимую часть, то, что Гамильтон называл векторной частью кватерниона. Здесь S и V — операторы, действующие на q. Скобки можно опускать в выражениях такого рода без двусмысленности. Классическая запись:

${\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}$

Здесь q — кватернион. S q — скаляр кватерниона, а V q — вектор кватерниона.

Сопряженный

K — сопряженный оператор. Сопряжённый оператор кватерниона — это кватернион, полученный путём умножения векторной части первого кватерниона на минус один.

Если

${\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}$

затем

${\displaystyle \mathbf {K} q=\mathbf {S} \,q-\mathbf {V} q}$.

Выражение

${\displaystyle r=\,\mathbf {K} q}$,

означает, присвоить кватерниону r значение, сопряженное кватерниону q.

Тензор

T — оператор тензора. Он возвращает тип числа, называемого тензором.

Тензор положительного скаляра — это скаляр. Тензор отрицательного скаляра — это абсолютное значение скаляра (т.е. без знака «минус»). Например:

${\displaystyle \mathbf {T} (5)=5}$

${\displaystyle \mathbf {T} (-5)=5}$

Тензор вектора по определению является длиной вектора. Например, если:

${\displaystyle \alpha =xi+yj+zk}$

Затем

${\displaystyle \mathbf {T} \alpha ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Тензор единичного вектора равен единице. Поскольку версор вектора является единичным вектором, тензор версора любого вектора всегда равен единице. Символически:

${\displaystyle \mathbf {TU} \alpha =1}$^[52]

Кватернион по определению является частным двух векторов, а тензор кватерниона по определению является частным тензоров этих двух векторов. В символах:

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}.}$

${\displaystyle \mathbf {T} q={\frac {\mathbf {T} \alpha }{\mathbf {T} \beta }}.}$^[53]

Из этого определения можно показать, что полезная формула для тензора кватерниона имеет вид: ^[54]

${\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Из этого определения также можно доказать, что другая формула для получения тензора кватерниона — это общая норма, определяемая как произведение кватерниона и его сопряженной. Квадратный корень общей нормы кватерниона равен его тензору.

${\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {qKq}}}$

Полезным тождеством является то, что квадрат тензора кватерниона равен тензору квадрата кватерниона, так что скобки можно опустить. ^[55]

${\displaystyle (\mathbf {T} q)^{2}=\mathbf {T} (q^{2})=\mathbf {T} q^{2}}$

Также тензоры сопряженных кватернионов равны. ^[56]

${\displaystyle \mathbf {TK} q=\mathbf {T} q}$

Тензор кватерниона теперь называется его нормой .

Ось и угол

Взяв угол нескалярного кватерниона, мы получили значение больше нуля и меньше π. ^{[57] [58]}

Если нескалярный кватернион рассматривать как частное двух векторов, то ось кватерниона представляет собой единичный вектор, перпендикулярный плоскости двух векторов в этом исходном частном, в направлении, указанном правилом правой руки. ^[59] Угол — это угол между двумя векторами.

В символах,

${\displaystyle u=Ax.q}$

${\displaystyle \theta =\angle q}$

Взаимный

Если

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}}$

тогда его обратная величина определяется как

${\displaystyle {\frac {1}{q}}=q^{-1}={\frac {\beta }{\alpha }}}$

Выражение:

${\displaystyle {q}\times {\alpha }\times {\frac {1}{q}}}$

Обратные величины имеют много важных применений, ^{[60] [61]} например, вращения , особенно когда q является версором. Версор имеет простую формулу для своей обратной величины. ^[62]

${\displaystyle {\frac {1}{(\mathbf {U} q)}}=\mathbf {S.U} q-\mathbf {V.U} q=\mathbf {K.U} q}$

В словах обратная величина версора равна ее сопряженной. Точки между операторами показывают порядок операций, а также помогают указать, что S и U, например, являются двумя разными операциями, а не одной операцией с именем SU.

Обычная норма

Произведение кватерниона с его сопряженным числом является его общей нормой. ^[63]

Операция взятия общей нормы кватерниона обозначается буквой N. По определению общая норма является произведением кватерниона на его сопряженное. Можно доказать ^{[64] [65]} , что общая норма равна квадрату тензора кватерниона. Однако это доказательство не является определением. Гамильтон дает точные, независимые определения как общей нормы, так и тензора. Эта норма была принята, как предполагалось из теории чисел, однако, цитируя Гамильтона, «они не будут часто нужны». Тензор, как правило, более полезен. Слово норма не появляется в Lectures on Quaternions и только дважды в оглавлении Elements of Quaternions .

В символах:

${\displaystyle \mathbf {N} q=\,q\mathbf {K} q=\,(\mathbf {T} q)^{2}}$

Общая норма версора всегда равна положительной единице. ^[66]

${\displaystyle \mathbf {NU} q=\mathbf {U} q.\mathbf {KU} q=1}$

Бикватернионы

Геометрически действительные и геометрически мнимые числа

В классической литературе по кватернионам уравнение

${\displaystyle q^{2}=-1}$

Считалось, что существует бесконечно много решений, которые назывались геометрически реальными . Эти решения представляют собой единичные векторы, которые образуют поверхность единичной сферы.

Геометрически реальный кватернион — это тот, который можно записать в виде линейной комбинации i , j и k , так что квадраты коэффициентов в сумме дают единицу. Гамильтон продемонстрировал, что должны быть дополнительные корни этого уравнения в дополнение к геометрически реальным корням. Учитывая существование мнимого скаляра, можно записать ряд выражений и дать им собственные имена. Все они были частью исходного исчисления кватернионов Гамильтона. В символах:

${\displaystyle q+q'{\sqrt {-1}}}$

где q и q′ — действительные кватернионы, а квадратный корень из минус единицы — мнимая часть обычной алгебры , и называются мнимыми или символическими корнями ^[67] , а не геометрически действительной векторной величиной.

Мнимый скаляр

Геометрически мнимые величины являются дополнительными корнями приведенного выше уравнения чисто символического характера. В статье 214 « Начал» Гамильтон доказывает, что если есть i, j и k, то также должна быть другая величина h, которая является мнимым скаляром, что, как он замечает, должно было прийти в голову любому, кто внимательно прочитал предыдущие статьи. ^[68] Статья 149 « Начал» посвящена геометрически мнимым числам и включает сноску, вводящую термин бикватернион . ^[69] Термины мнимая из обычной алгебры и скалярная мнимая иногда используются для этих геометрически мнимых величин.

Геометрически мнимые корни уравнения интерпретировались в классическом мышлении как геометрически невозможные ситуации. Статья 214 « Элементов кватернионов» исследует пример уравнения прямой и окружности, которые не пересекаются, как указано уравнением, имеющим только геометрически мнимый корень. ^[70]

В более поздних работах Гамильтон предложил использовать букву h для обозначения мнимого скаляра ^{[71] [72] [73]}

Бикватернион

На странице 665 « Элементов кватернионов» Гамильтон определяет бикватернион как кватернион с комплексными числовыми коэффициентами. Тогда скалярная часть бикватерниона — это комплексное число, называемое бискаляром . Векторная часть бикватерниона — это бивектор, состоящий из трех комплексных компонентов. Тогда бикватернионы являются комплексификацией исходных (действительных) кватернионов.

Другие двойные кватернионы

Гамильтон придумал термин ассоциативный, чтобы различать мнимый скаляр (теперь известный как комплексное число ), который является как коммутативным, так и ассоциативным, и четыре других возможных корня отрицательной единицы, которые он обозначил L, M, N и O, кратко упомянув их в приложении B к « Лекциям по кватернионам» и в частных письмах. Однако неассоциативные корни из минус единицы не появляются в «Элементах кватернионов » . Гамильтон умер до того, как поработал ^{[ требуется разъяснение ]} над этими странными сущностями. Его сын утверждал, что они были «луками, зарезервированными для рук другого Улисса». ^[74]

Смотрите также

• Строительство Кейли–Диксона
• Октонионы
• Теорема Фробениуса

Сноски

1. Гамильтон 1853 стр. 60 в Google Books
2. Харди 1881 стр. 32 в Google Books
3. Гамильтон, в журнале Philosophical , цитируется в Оксфордском словаре английского языка .
4. Гамильтон (1866) Книга I Глава II Статья 17 в Google Books
5. Гамильтон 1853, стр. 2, абзац 3 введения. Отсылает к его ранней статье «Алгебра как наука чистого времени». в Google Books
6. Hamilton (1866) Книга I Глава I Статья 1 в Google Books
7. Гамильтон (1853) Лекция I Статья 15, введение термина вектор, из vehere в Google Books
8. Гамильтон (1853) Лекция I Статья 17 вектор — это натуральный триплет в Google Books
9. Гамильтон (1866) Книга I Глава I Статья 6 в Google Книги
10. Гамильтон (1866) Книга I Глава I Статья 15 в Google Books
11. Гамильтон (1866) Книга I Глава II Статья 19 в Google Books
12. Гамильтон 1853 стр. 57 в Google Books
13. Харди 1881 стр. 5 в Google Books
14. Tait 1890 стр. 31 объясняет старое определение Гамильтона тензора как положительного числа в Google Books
15. Гамильтон 1989 стр. 165, называет тензор положительным скаляром. в Google Books
16. (1890), стр. 32–31 в Google Books
17. Гамильтон 1898 раздел 8 стр. 133 искусство 151 О версии кватерниона или вектора и некоторых общих формулах преобразования в Google Books
18. Гамильтон (1899), статья 156, стр. 135, введение термина versor в Google Books
19. Гамильтон (1899), Раздел 8, статья 151, стр. 133 в Google Books
20. Гамильтон 1898 раздел 9, искусство 162, стр. 142 Векторные дуги рассматриваются как представители версоров кватернионов в Google Книгах
21. (1881), ст. 49 стр. 71-72 71 в Google Books
22. Элементы кватернионов Статья 147 стр. 130 130 в Google Books
23. См. Элементы кватернионов, раздел 13, начиная со страницы 190 в Google Книгах.
24. Гамильтон (1899), Раздел 14, статья 221 на странице 233 в Google Books
25. Гамильтон 1853 стр. 4 в Google Books
26. Гамильтон 1853 г., искусство 5, стр. 4–5 в Google Books
27. Гамильтон, стр. 33 в Google Books
28. Гамильтон 1853 стр. 5-6 в Google Books
29. см. Гамильтон 1853 стр. 8-15 в Google Books
30. Гамильтон 1853 стр. 15 введение термина вектор как разность между двумя точками. в Google Books
31. Гамильтон 1853 стр. 19 Гамильтон связывает знак плюс с порядковым синтезом в Google Books
32. Гамильтон (1853), стр. 35, Гамильтон впервые вводит кардинальные операции в Google Books.
33. Гамильтон 1953 стр.36 Деление определено как кардинальный анализ в Google Books
34. Гамильтон 1853 стр. 37 в Google Books
35. Гамильтон (1899), Статья 112, страница 110 в Google Books
36. Харди (1881), стр. 32 в Google Books
37. Лекции Гамильтона о кватернионах, страница 37 в Google Books
38. Элементы кватернионов в Google Books
39. Тейтские трактаты о кватернионах в Google Books
40. Лекции Гамильтона о кватернионах, стр. 38 в Google Books
41. Лекции Гамильтона о кватернионах, стр. 41 в Google Books
42. Лекции Гамильтона о кватернионах, стр. 42 в Google Books
43. Харди (1881), стр. 40-41 в Google Books
44. Харди 1887 стр. 45 формула 29 в Google Books
45. Харди 1887 стр. 45 формула 30 в Google Books
46. Харди 1887 стр. 46 в Google Books
47. Элементы кватернионов, книга первая. в Google Books
48. Харди (1881), стр. 39, статья 25 в Google Books
49. Гамильтон 1853 стр. 27 объясняет Фактор Faciend и Фактум в Google Books
50. Гамильтон 1898 раздел 103 в Google Books
51. (1887) скаляр вектора произведения определенного произведения, стр. 57 в Google Books
52. Гамильтон 1898 стр. 164 Тензор версора вектора равен единице. в Google Books
53. Элементы кватернионов, гл. 11 в Google Books
54. Харди (1881), стр. 65 в Google Books
55. Гамильтон 1898 стр. 169, стр. 190 Тензор квадрата — это квадрат тензора в Google Books
56. Гамильтон 1898 стр. 167 ст. 187 уравнение 12 Тензоры сопряженных кватернионов равны в Google Books
57. "Гамильтон (1853), стр. 164, ст. 148".
58. Гамильтон (1899), стр. 118 в Google Books
59. Гамильтон (1899), стр. 118 в Google Books
60. См. Goldstein (1980) Глава 7 для той же функции, записанной в матричной нотации.
61. «Лоренц преобразует Гамильтона (1853), стр. 268 1853».
62. Харди (1881), стр. 71 в Google Books
63. Гамильтон (1899), стр. 128–129 в Google Books
64. См. сноску внизу страницы, где выделено слово «доказано». в Google Books
65. См. Hamilton 1898 стр. 169 ст. 190 для доказательства связи между тензором и общей нормой в Google Books.
66. Гамильтон 1899 стр. 138 в Google Books
67. См. статьи 256 и 257 раздела «Элементы кватернионов» в Google Books.
68. Статья 214 в Hamilton Elements, скандальное замечание... как уже могло прийти в голову любому, кто внимательно прочитал предыдущие статьи в Google Books
69. Элементы кватернионов Статья 149 в Google Книгах
70. См. статью 214 об элементах кватернионов в Google Books
71. Гамильтон Элементы кватернионов стр. 276 Пример обозначения h для мнимого скаляра в Google Books
72. Hamilton Elements Статья 274 стр. 300 Пример использования нотации h в Google Books
73. Статья Hamilton Elements 274 стр. 300 Пример h, обозначающего мнимую часть обычной алгебры в Google Books
74. Гамильтон, Уильям Роуэн (1899). Элементы кватернионов. Лондон, Нью-Йорк и Бомбей: Longmans, Green, and Co. p. v. ISBN 9780828402194.

Ссылки

• У. Р. Гамильтон (1853),Лекции по кватернионам в Google Books Dublin: Ходжес и Смит
• У. Р. Гамильтон (1866),Элементы кватернионов в Google Books , 2-е издание, под редакцией Чарльза Джаспера Джоли, Longmans Green & Company.
• А. С. Харди (1887), Элементы кватернионов
• PG Tait (1890), Элементарный трактат о кватернионах , Кембридж: CJ Clay and Sons
• Герберт Гольдштейн (1980), Классическая механика , 2-е издание, номер каталога Библиотеки Конгресса QA805.G6 1980