Символ термина

Notation in quantum physics

В атомной физике термин «символ» представляет собой сокращенное описание квантовых чисел полного спина и орбитального углового момента электронов в многоэлектронном атоме . Таким образом, хотя слово « символ» предполагает иное, оно представляет собой фактическое значение физической величины .

Для данной электронной конфигурации атома его состояние зависит также от его полного углового момента, включая спиновую и орбитальную компоненты, которые обозначаются термином-символом. Обычные символы атомных терминов предполагают LS-связь (также известную как связь Рассела-Сондерса), в которой всеэлектронные полные квантовые числа для орбитального ( L ), спинового ( S ) и полного ( J ) угловых моментов являются хорошими квантовыми числами .

В терминологии атомной спектроскопии L и S вместе определяют термин ; L , S и J определяют уровень ; а L , S , J и магнитное квантовое число M _J определяют состояние . Обычный термин-символ имеет форму ^{2 S +1} L _J , где J пишется опционально, чтобы указать уровень. L записывается с использованием спектроскопических обозначений : например, он пишется «S», «P», «D» или «F» для обозначения L = 0, 1, 2 или 3 соответственно. Для схем связи, отличных от связи LS, таких как связь jj , которая применяется к некоторым тяжелым элементам, для определения этого термина используются другие обозначения.

Символы терминов применяются как к нейтральным, так и к заряженным атомам, а также к их основному и возбужденному состояниям. Символы терминов обычно указывают общее количество всех электронов в атоме, но иногда используются для описания электронов в данной подоболочке или наборе подоболочек, например, для описания каждой открытой подоболочки в атоме, имеющей более одной. Символ термина основного состояния нейтральных атомов в большинстве случаев описывается правилами Хунда . Нейтральные атомы химических элементов имеют один и тот же термин для каждого столбца в элементах s-блока и p-блока , но различаются в элементах d-блока и f-блока, где электронная конфигурация основного состояния меняется внутри столбца, где есть исключения. имеют место правила Хунда. Символы терминов основного состояния химических элементов приведены ниже.

Терминовые символы также используются для описания квантовых чисел углового момента атомных ядер и молекул. В символах молекулярных терминов греческие буквы используются для обозначения составляющей орбитального углового момента вдоль молекулярной оси.

Использование слова термин для обозначения электронного состояния атома основано на комбинационном принципе Ридберга-Ритца , эмпирическом наблюдении, согласно которому волновые числа спектральных линий могут быть выражены как разность двух терминов . Позже это было обобщено моделью Бора , которая отождествляла члены с квантованными уровнями энергии, а спектральные волновые числа этих уровней с энергиями фотонов.

Таблицы уровней атомной энергии, обозначенные их терминальными символами, доступны для атомов и ионов в основном и возбужденном состояниях в Национальном институте стандартов и технологий (NIST). ^[1]

Символы терминов сЛСсвязь

Обычные символы атомных терминов предполагают LS-связь (также известную как связь Рассела-Сондерса), в которой полное квантовое число спина атома S и квантовое число полного орбитального углового момента L являются « хорошими квантовыми числами ». (Соединение Рассела-Сондерса названо в честь Генри Норриса Рассела и Фредерика Альберта Сондерса , которые описали его в 1925 году ^[2] ). Затем спин -орбитальное взаимодействие объединяет полный спиновой и орбитальный моменты, давая полное квантовое число J углового момента электрона . Тогда атомные состояния хорошо описываются терминами-символами вида:

${\displaystyle ^{2S+1}L_{J}}$

где

• S — полное спиновое квантовое число электронов атома. Значение 2 S + 1, записанное в термине-символе, представляет собой _{спиновую} множественность , которая представляет собой количество возможных значений спинового магнитного квантового числа MS для данного спина S.
• J — квантовое число полного углового момента электронов атома. J имеет значение в диапазоне от | Л - С | на Л + С .
• L — полное орбитальное квантовое число в спектроскопических обозначениях , в которых символами L являются:

Орбитальные символы S, P, D и F получены из характеристик спектроскопических линий, соответствующих орбиталям s, p, d и f: острой , главной , диффузной и фундаментальной ; остальные названы в алфавитном порядке, начиная с G (без J, S и P). При использовании для описания электронных состояний атома термин «символ» часто пишется в соответствии с электронной конфигурацией . Например, 1s ² 2s ² 2p ^{2 3} P ₀ представляет основное состояние нейтрального атома углерода . Верхний индекс 3 указывает, что спиновая кратность 2 S + 1 равна 3 (это триплетное состояние ), поэтому S = 1; буква «П» — спектроскопическое обозначение для L = 1; а индекс 0 — это значение J (в данном случае J = L − S ). ^[1]

Маленькие буквы относятся к отдельным орбиталям или одноэлектронным квантовым числам, тогда как заглавные буквы относятся к многоэлектронным состояниям или их квантовым числам.

Терминология: термины, уровни и состояния

Для данной электронной конфигурации

• Комбинация значения и значения называется термином и имеет статистический вес (т. е. количество возможных состояний), равный ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (2S+1)(2L+1)}$
• Комбинация , и называется уровнем . Данный уровень имеет статистический вес , который представляет собой количество возможных состояний, связанных с этим уровнем в соответствующем терме; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle 2J+1}$
• Комбинация , и определяет одно состояние . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M_{J}}$

Произведение ⁠ ⁠ ${\displaystyle (2S+1)(2L+1)}$ как количество возможных состояний с заданными S и L также является количеством базисных состояний в несвязанном представлении, где , , , ( и являются компонентами оси z полного спина и полного орбитального углового момента соответственно) являются хорошими квантовые числа, соответствующие операторы которых взаимно коммутируют. При заданном и собственные состояния в этом представлении охватывают функциональное пространство размерности ⁠ ⁠ , as и . В связанном представлении, где рассматривается полный угловой момент (спин + орбиталь), ассоциированные состояния (или собственные состояния ) равны, и эти состояния охватывают функциональное пространство с размерностью ${\displaystyle |S,M_{S},L,M_{L}\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M_{S}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M_{L}}$ ${\displaystyle M_{S}}$ ${\displaystyle M_{L}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle |S,M_{S},L,M_{L}\rangle }$ ${\displaystyle (2S+1)(2L+1)}$ ${\displaystyle M_{S}=S,S-1,\dots ,-S+1,-S}$ ${\displaystyle M_{L}=L,L-1,...,-L+1,-L}$ ${\displaystyle |J,M_{J},S,L\rangle }$

${\displaystyle \sum _{J=J_{\min }=|L-S|}^{J_{\max }=L+S}(2J+1)}$

как . Очевидно, что размерность функционального пространства в обоих представлениях должна быть одинаковой. ${\displaystyle M_{J}=J,J-1,\dots ,-J+1,-J}$

Например, для существует (2×1+1)(2×2+1) = 15 различных состояний (= собственных состояний в несвязанном представлении) , соответствующих ^{трехмерному} члену , из которых (2×3+1) = 7 принадлежат уровню ³ D ₃ ( J = 3). Сумма ⁠ ⁠ для всех уровней в одном терме равна (2 S +1)(2 L +1), поскольку размеры обоих представлений должны быть равны, как описано выше. В этом случае J может быть 1, 2 или 3, то есть 3 + 5 + 7 = 15. ${\displaystyle S=1,L=2}$ ${\displaystyle (2J+1)}$

Паритет символа термина

Четность терм-символа рассчитывается как

${\displaystyle P=(-1)^{\sum _{i}\ell _{i}},}$

где – орбитальное квантовое число каждого электрона. означает четность, а - нечетность. Фактически, только электроны на нечетных орбиталях (с нечетными) вносят вклад в общую четность: нечетное количество электронов на нечетных орбиталях (с нечетными, например, в p, f,...) соответствует символу нечетного термина, в то время как четное число электронов на нечетных орбиталях соответствует четному символу члена. Число электронов на четных орбиталях не имеет значения, поскольку любая сумма четных чисел четна. Для любой закрытой подоболочки число электронов четно, поэтому сумма в закрытых подоболочках всегда является четным числом. Суммирование квантовых чисел по открытым (незаполненным) подоболочкам нечетных орбиталей ( нечетных) определяет четность термина-символа. Если число электронов в этой сокращенной сумме нечетное (четное), то четность также нечетная (четная). ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\displaystyle P=1}$ ${\displaystyle P=-1}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 2(2\ell +1)}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\textstyle \sum _{i}\ell _{i}}$ ${\displaystyle \ell }$

Если он нечетный, четность термина-символа обозначается надстрочной буквой «о», в противном случае она опускается:

² П^о
_{1 ⁄ 2}имеет нечетную четность, но ³ P ₀ имеет четную четность.

Альтернативно, четность может обозначаться буквой «g» или «u», обозначающей gerade (по-немецки «четный») или ungerade («нечетный»):

² P _{1 ⁄ 2 ,u} для нечетной четности и ³ P _0,g для четной.

Символ термина основного состояния

Относительно легко предсказать термин-символ для основного состояния атома, используя правила Хунда . Это соответствует состоянию с максимальными S и L.

1. Начните с наиболее стабильной электронной конфигурации . Полные оболочки и подоболочки не вносят вклад в общий угловой момент , поэтому их отбрасывают.
   • Если все оболочки и подоболочки заполнены, то символ термина равен ¹ S ₀ .
2. Распределите электроны по доступным орбиталям , следуя принципу Паули .
   • Традиционно поместите 1 электрон на орбиталь с наибольшим m ℓ , а затем продолжайте заполнять другие орбитали в порядке убывания m ℓ по одному электрону каждая, пока у вас не закончатся электроны, или пока все орбитали в подоболочке не будут иметь один электрон. Присвойте, опять же условно , всем этим электронам значение + 1/2 квантового числа магнитного спина m _s .
   • Если остались электроны, расположите их по орбиталям в том же порядке, что и раньше, но теперь присвоив им m _s = − 1 ⁄ 2 .
3. Общий S рассчитывается путем сложения значений m _s для каждого электрона. Тогда общее S в 1/2 раза превышает количество неспаренных электронов.
4. Общий L рассчитывается путем сложения значений для каждого электрона (поэтому, если на одной орбитали есть два электрона, добавьте вдвое эту орбиталь ). ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle m_{\ell }}$
5. Рассчитайте J как
   • если занято менее половины подоболочки, принимаем минимальное значение J = | Л - С | ;
   • если заполнено более чем наполовину, принять максимальное значение J = L + S ;
   • если подоболочка наполовину заполнена, то L будет равно 0, поэтому J = S.

Например, в случае фтора электронная конфигурация 1s ² 2s ² 2p ⁵ .

1. Откажитесь от полных подоболочек и сохраните часть 2p ⁵ . Итак, в подоболочке p ( ) нужно разместить пять электронов . ${\displaystyle \ell =1}$
2. Есть три орбитали ( ), которые могут удерживать электроны . Первые три электрона могут занять m _s = 1 ⁄ 2 (↑) , но принцип Паули заставляет следующие два иметь m _s = - 1 ⁄ 2 (↓), потому что они переходят на уже занятые орбитали. ${\displaystyle m_{\ell }=1,0,-1}$ ${\displaystyle 2(2\ell +1)=6}$
3. S знак равно 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 2 - 1 ⁄ 2 - 1 ⁄ 2 знак равно 1 ⁄ 2 ;
4. L = 1 + 0 − 1 + 1 + 0 = 1 , что в спектроскопических обозначениях означает «P».
5. Поскольку подоболочка фтора 2p заполнена более чем наполовину, J = L + S = 3 ⁄ 2 . Тогда его символ основного состояния равен ^{2 S +1} L _J = ² P _{3 ⁄ 2} .

Атомные термины-символы химических элементов

В периодической таблице, поскольку атомы элементов в столбце обычно имеют одинаковую внешнюю электронную структуру и всегда имеют одинаковую электронную структуру в элементах «s-блока» и «p-блока» (см. блок (таблицу Менделеева) ), все элементы могут иметь один и тот же символ термина основного состояния для столбца. Так, водород и все щелочные металлы — ² S _{1 ⁄ 2} , щелочноземельные металлы — ¹ S ₀ , элементы столбца бора — ² P _{1 ⁄ 2} , элементы столбца углерода — ³ P ₀ , пиктогены — ⁴ S _{3. ⁄ 2} , халькогены 3 P ₂ , галогены 2 ^P 3 _{⁄ 2} , а инертные газы 1 S _{0 ,} ^{в соответствии} с правилом для полных оболочек и подоболочек, указанным выше ^.

Условные обозначения основных состояний большинства химических элементов ^[3] приведены в свернутой таблице ниже. ^[4] В d-блоке и f-блоке символы терминов не всегда одинаковы для элементов в одном и том же столбце таблицы Менделеева, поскольку открытые оболочки нескольких d- или f-электронов имеют несколько близко расположенных термов, энергетический порядок которых равен часто возмущается добавлением дополнительной полной оболочки для формирования следующего элемента в столбце.

Например, из таблицы видно, что первая пара вертикально соседних атомов с разными символами термов основного состояния — это V и Nb. _{Основное} состояние 6 D _1/2 Nb соответствует возбужденному состоянию V 2112 см ^-1 над основным состоянием ⁴ F _{3/2 V, которое ,} ^{в свою очередь ,} соответствует возбужденному состоянию Nb 1143 см ^-1 _выше Nb _. основное состояние. ^[1] Эти различия в энергии малы по сравнению с разницей в 15158 см ^-1 между основным и первым возбужденным состоянием Ca, ^[1] который является последним элементом перед V, не имеющим d-электронов.

Символы терминов для электронной конфигурации

Процесс расчета всех возможных символов термов для данной электронной конфигурации несколько дольше.

• Сначала вычисляется общее число возможных состояний N для заданной электронной конфигурации. Как и раньше, заполненные (под)оболочки отбрасываются, и остаются только частично заполненные. Для данного орбитального квантового числа t — максимально допустимое количество электронов . Если в данной подоболочке есть e электронов, число возможных состояний равно ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle t=2(2\ell +1)}$
  ${\displaystyle N={t \choose e}={t! \over {e!\,(t-e)!}}.}$

  В качестве примера рассмотрим электронную структуру углерода : 1s ² 2s ² 2p ² . После удаления полных подоболочек на p-уровне остается 2 электрона ( ), поэтому есть ${\displaystyle \ell =1}$

  ${\displaystyle N={6! \over {2!\,4!}}=15}$

  разные государства.

• Во-вторых, рисуются все возможные состояния. Рассчитываются ML и MS для каждого _{состояния} , где m _i представляет собой либо или _для i -го _{электрона} , а M представляет собой результирующий ML или _MS соответственно: ${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{e}m_{i}}$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle m_{s}}$
• _В -третьих, подсчитывается количество состояний для каждой возможной комбинации ( _ML , MS ) :
• В-четвертых, можно извлечь таблицы меньшего размера, представляющие каждый возможный термин. Каждая таблица будет иметь размер (2 L +1) на (2 S +1) и будет содержать только «1» в качестве записей. Первая извлеченная _{таблица} соответствует ML в диапазоне от −2 до +2 (поэтому L = 2 ) с единственным значением для MS (подразумевается, что _S = 0 ). Это соответствует термину ¹ D. Остальные термины помещаются в среднюю часть таблицы 3×3 выше. Затем можно извлечь вторую таблицу, удалив записи для ML и MS _, оба в диапазоне от -1 до +1 (и, таким образом, _S = L = 1 , член ³ P). Оставшаяся таблица представляет собой таблицу 1×1 с L = S = 0 , т. е. термином ¹ S.
• В-пятых, применяя правила Хунда , можно определить основное состояние (или самое низкое состояние для интересующей конфигурации). Правила Хунда не следует использовать для прогнозирования порядка состояний, отличного от самого низкого для данной конфигурации. (См. примеры в разделе « Правила Хунда § Возбужденные состояния ».)
• Если задействованы только два эквивалентных электрона, существует «Правило четности», которое гласит, что для двух эквивалентных электронов разрешены только те состояния, для которых сумма (L + S) четна.

Случай трех эквивалентных электронов

• Для трех эквивалентных электронов (с одинаковым орбитальным квантовым числом ) существует также общая формула (обозначенная ниже) для подсчета количества любых разрешенных членов с полным орбитальным квантовым числом L и полным спиновым квантовым числом S. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle X(L,S,\ell )}$
  ${\displaystyle X(L,S,\ell )={\begin{cases}L-\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=1/2{\text{ and }}0\leq L<\ell \\\ell -\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=1/2{\text{ and }}\ell \leq L\leq 3\ell -1\\\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor -\left\lfloor {\tfrac {L-\ell }{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {L-\ell +1}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=3/2{\text{ and }}0\leq L<\ell \\\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor -\left\lfloor {\tfrac {L-\ell }{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=3/2{\text{ and }}\ell \leq L\leq 3\ell -3\\0,&{\text{other cases}}\end{cases}}}$

  где функция пола обозначает наибольшее целое число, не превышающее x . ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

  Подробное доказательство можно найти в оригинальной статье Ренджун Сюй. ^[5]
• Для общей электронной конфигурации , а именно k эквивалентных электронов, занимающих одну подоболочку, общее описание и компьютерный код также можно найти в этой статье. ^[5] ${\displaystyle \ell ^{k}}$

Альтернативный метод с использованием теории групп

For configurations with at most two electrons (or holes) per subshell, an alternative and much quicker method of arriving at the same result can be obtained from group theory. The configuration 2p² has the symmetry of the following direct product in the full rotation group:

Γ⁽¹⁾ × Γ⁽¹⁾ = Γ⁽⁰⁾ + [Γ⁽¹⁾] + Γ⁽²⁾,

which, using the familiar labels Γ⁽⁰⁾ = S, Γ⁽¹⁾ = P and Γ⁽²⁾ = D, can be written as

P × P = S + [P] + D.

The square brackets enclose the anti-symmetric square. Hence the 2p² configuration has components with the following symmetries:

S + D (from the symmetric square and hence having symmetric spatial wavefunctions);

P (from the anti-symmetric square and hence having an anti-symmetric spatial wavefunction).

The Pauli principle and the requirement for electrons to be described by anti-symmetric wavefunctions imply that only the following combinations of spatial and spin symmetry are allowed:

¹S + ¹D (spatially symmetric, spin anti-symmetric)

³P (spatially anti-symmetric, spin symmetric).

Then one can move to step five in the procedure above, applying Hund's rules.

The group theory method can be carried out for other such configurations, like 3d², using the general formula

Γ^(j) × Γ^(j) = Γ^(2j) + Γ^(2j−2) + ⋯ + Γ⁽⁰⁾ + [Γ^(2j−1) + ⋯ + Γ⁽¹⁾].

The symmetric square will give rise to singlets (such as ¹S, ¹D, & ¹G), while the anti-symmetric square gives rise to triplets (such as ³P & ³F).

More generally, one can use

Γ^(j) × Γ^(k) = Γ^(j+k) + Γ^(j+k−1) + ⋯ + Γ^(|j−k|)

where, since the product is not a square, it is not split into symmetric and anti-symmetric parts. Where two electrons come from inequivalent orbitals, both a singlet and a triplet are allowed in each case.^[6]

Summary of various coupling schemes and corresponding term symbols

Basic concepts for all coupling schemes:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$: individual orbital angular momentum vector for an electron, ${\displaystyle \mathbf {s} }$: individual spin vector for an electron, ${\displaystyle \mathbf {j} }$: individual total angular momentum vector for an electron, ${\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\ell }}+\mathbf {s} }$.
• ${\displaystyle \mathbf {L} }$: Total orbital angular momentum vector for all electrons in an atom ( ${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}{\boldsymbol {\ell }}_{i}}$).
• ${\displaystyle \mathbf {S} }$: total spin vector for all electrons ( ${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {s} _{i}}$).
• ${\displaystyle \mathbf {J} }$: total angular momentum vector for all electrons. The way the angular momenta are combined to form ${\displaystyle \mathbf {J} }$ depends on the coupling scheme: ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ for LS coupling, ${\displaystyle \mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}}$ for jj coupling, etc.
• A quantum number corresponding to the magnitude of a vector is a letter without an arrow, or without boldface (example: ℓ is the orbital angular momentum quantum number for ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$ and ${\displaystyle {{\hat {\ell }}^{2}}\left|\ell ,m_{\ell },\ldots \right\rangle ={\hbar ^{2}}\ell \left(\ell +1\right)\left|\ell ,m_{\ell },\ldots \right\rangle }$)
• The parameter called multiplicity represents the number of possible values of the total angular momentum quantum number J for certain conditions.
• For a single electron, the term symbol is not written as S is always 1/2, and L is obvious from the orbital type.
• For two electron groups A and B with their own terms, each term may represent S, L and J which are quantum numbers corresponding to the ${\displaystyle \mathbf {S} }$, ${\displaystyle \mathbf {L} }$ and ${\displaystyle \mathbf {J} }$ vectors for each group. "Coupling" of terms A and B to form a new term C means finding quantum numbers for new vectors ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {S} _{A}+\mathbf {S} _{B}}$, ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{A}+\mathbf {L} _{B}}$ and ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$. This example is for LS coupling and which vectors are summed in a coupling is depending on which scheme of coupling is taken. Of course, the angular momentum addition rule is that ${\displaystyle X=X_{A}+X_{B},X_{A}+X_{B}-1,\dots ,|X_{A}-X_{B}|}$ where X can be s, ℓ, j, S, L, J or any other angular momentum-magnitude-related quantum number.

LS coupling (Russell–Saunders coupling)

• Coupling scheme: ${\displaystyle \mathbf {L} }$ and ${\displaystyle \mathbf {S} }$ are calculated first then ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ is obtained. From a practical point of view, it means L, S and J are obtained by using an addition rule of the angular momenta of given electron groups that are to be coupled.
• Electronic configuration + Term symbol: ${\displaystyle n{\ell ^{N}}{{(}^{(2S+1)}}{L_{J}})}$. ${\displaystyle {{(}^{(2S+1)}}{{L}_{J}})}$ is a term which is from coupling of electrons in ${\displaystyle n{\ell ^{N}}}$group. ${\displaystyle n,\ell }$ are principle quantum number, orbital quantum number and ${\displaystyle n{\ell ^{N}}}$means there are N (equivalent) electrons in ${\displaystyle n\ell }$ subshell. For ${\displaystyle L>S}$, ⁠ ${\displaystyle (2S+1)}$⁠ is equal to multiplicity, a number of possible values in J (final total angular momentum quantum number) from given S and L. For ${\displaystyle S>L}$, multiplicity is ⁠ ${\displaystyle (2L+1)}$⁠ but ⁠ ${\displaystyle (2S+1)}$⁠ is still written in the term symbol. Strictly speaking, ${\displaystyle {{(}^{(2S+1)}}{L_{J}})}$ is called level and ${\displaystyle {^{\left(2S+1\right)}{L}}}$ is called term. Sometimes right superscript o is attached to the term symbol, meaning the parity ${\displaystyle P={{\left(-1\right)}^{{\underset {i}{\mathop {\sum } }}\,{\ell _{i}}}}}$ of the group is odd ( ${\displaystyle P=-1}$).
• Example:
  1. 3d^7 4F_7/2: ⁴F_7/2 is level of 3d⁷ group in which are equivalent 7 electrons are in 3d subshell.
  2. 3d⁷(⁴F)4s4p(³P⁰) ⁶F⁰
     _9/2:^[7] Terms are assigned for each group (with different principal quantum number n) and rightmost level ⁶F^o
     _9/2 is from coupling of terms of these groups so ⁶F^o
     _9/2 represents final total spin quantum number S, total orbital angular momentum quantum number L and total angular momentum quantum number J in this atomic energy level. The symbols ⁴F and ³P^o refer to seven and two electrons respectively so capital letters are used.
  3. 4f⁷(⁸S⁰)5d (⁷D^o)6p ⁸F_13/2: There is a space between 5d and (⁷D^o). It means (⁸S⁰) and 5d are coupled to get (⁷D^o). Final level ⁸F^o
     _13/2 is from coupling of (⁷D^o) and 6p.
  4. 4f(²F⁰) 5d²(¹G) 6s(²G) ¹P⁰
     ₁: There is only one term ²F^o which is isolated in the left of the leftmost space. It means (²F^o) is coupled lastly; (¹G) and 6s are coupled to get (²G) then (²G) and (²F^o) are coupled to get final term ¹P^o
     ₁.

jj Coupling

• Coupling scheme: ${\displaystyle \mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}}$.
• Electronic configuration + Term symbol: ${\displaystyle {{\left({n_{1}}{\ell _{1}}_{j_{1}}^{N_{1}}{n_{2}}{\ell _{2}}_{j_{2}}^{N_{2}}\ldots \right)}_{J}}}$
• Example:
  1. ${\displaystyle {{\left({\text{6p}}_{\frac {1}{2}}^{2}{\text{6p}}_{\frac {3}{2}}^{}\right)}^{o}}_{3/2}}$: There are two groups. One is ${\displaystyle {\text{6p}}_{1/2}^{2}}$ and the other is ${\displaystyle {\text{6p}}_{\frac {3}{2}}^{}}$. In ${\displaystyle {\text{6p}}_{1/2}^{2}}$, there are 2 electrons having ${\displaystyle j=1/2}$ in 6p subshell while there is an electron having ${\displaystyle j=3/2}$ in the same subshell in ${\displaystyle {\text{6p}}_{\frac {3}{2}}^{}}$. Coupling of these two groups results in ⁠ ${\displaystyle {1}}$⁠ (coupling of j of three electrons).
  2. ${\displaystyle {\text{4d}}_{5/2}^{3}{\text{4d}}_{3/2}^{2}~\ {{\left({\frac {9}{2}},2\right)}_{11/2}}}$: ⁠ ${\displaystyle 9/2}$⁠ in () is ${\displaystyle J_{1}}$ for 1st group ${\displaystyle {\text{4d}}_{5/2}^{3}}$ and 2 in () is J₂ for 2nd group ${\displaystyle {\text{4d}}_{3/2}^{2}}$. Subscript 11/2 of term symbol is final J of ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{1}+\mathbf {J} _{2}}$.

J1L2 coupling

• Coupling scheme: ${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {J} _{1}+\mathbf {L} _{2}}$ and ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {K} +\mathbf {S} _{2}}$.
• Electronic configuration + Term symbol: ${\displaystyle {n_{1}}{\ell _{1}}^{N_{1}}\left(\mathrm {term} _{1}\right){n_{2}}{\ell _{2}}^{N_{2}}\left(\mathrm {term} _{2}\right)~\ {^{\left(2{S_{2}}+1\right)}{{\left[K\right]}_{J}}}}$. For ⁠ ${\displaystyle K>S_{2},(2S_{2}+1)}$⁠ is equal to multiplicity, a number of possible values in J (final total angular momentum quantum number) from given S₂ and K. For ⁠ ${\displaystyle S_{2}>K}$⁠, multiplicity is ⁠ ${\displaystyle (2K+1)}$⁠ but ⁠ ${\displaystyle (2S_{2}+1)}$⁠ is still written in the term symbol.
• Example:
  1. 3p⁵(²P^o
     _1/2)5g ²[9/2]^o
     ₅: ${\displaystyle {J_{1}}={\frac {1}{2}},{l_{2}}=4,~{s_{2}}=1/2}$. ⁠ ${\displaystyle 9/2}$⁠ is K, which comes from coupling of J₁ and ℓ₂. Subscript 5 in term symbol is J which is from coupling of K and s₂.
  2. 4f¹³(²F^o
     _7/2)5d²(¹D) [7/2]^o
     _7/2: ${\displaystyle {J_{1}}={\frac {7}{2}},{L_{2}}=2,~{S_{2}}=0}$. ⁠ ${\displaystyle 7/2}$⁠ is K, which comes from coupling of J₁ and L₂. Subscript ⁠ ${\displaystyle 7/2}$⁠ in the term symbol is J which is from coupling of K and S₂.

LS1 coupling

• Coupling scheme: ${\displaystyle \mathbf {K} \ell =\mathbf {L} +\mathbf {S_{1}} }$, ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {K} +\mathbf {S_{2}} }$.
• Electronic configuration + Term symbol: ${\displaystyle {n_{1}}{\ell _{1}}^{N_{1}}\left(\mathrm {term} _{1}\right){n_{2}}{\ell _{2}}^{N_{2}}\left(\mathrm {term} _{2}\right)\ ~L~\ {^{\left(2{S_{2}}+1\right)}{{\left[K\right]}_{J}}}}$. For ⁠ ${\displaystyle K>S_{2},(2S_{2}+1)}$⁠ is equal to multiplicity, a number of possible values in J (final total angular momentum quantum number) from given S₂ and K. For ⁠ ${\displaystyle S_{2}>K}$⁠, multiplicity is ⁠ ${\displaystyle (2K+1)}$⁠ but ⁠ ${\displaystyle (2S_{2}+1)}$⁠ is still written in the term symbol.
• Example:
  1. 3d⁷(⁴P)4s4p(³P^o) D^o 3[5/2]^o
     _7/2: ${\displaystyle {L_{1}}=1,~{L_{2}}=1,~{S_{1}}={\frac {3}{2}},~{S_{2}}=1}$. ${\displaystyle L=2,K=5/2,J=7/2}$.

Most famous coupling schemes are introduced here but these schemes can be mixed to express the energy state of an atom. This summary is based on [1].

Racah notation and Paschen notation

These are notations for describing states of singly excited atoms, especially noble gas atoms. Racah notation is basically a combination of LS or Russell–Saunders coupling and J₁L₂ coupling. LS coupling is for a parent ion and J₁L₂ coupling is for a coupling of the parent ion and the excited electron. The parent ion is an unexcited part of the atom. For example, in Ar atom excited from a ground state ...3p⁶ to an excited state ...3p⁵4p in electronic configuration, 3p⁵ is for the parent ion while 4p is for the excited electron.^[8]

In Racah notation, states of excited atoms are denoted as ${\displaystyle \left(^{\left(2{{S}_{1}}+1\right)}{{L}_{1}}_{{J}_{1}}\right)n\ell \left[K\right]_{J}^{o}}$. Quantities with a subscript 1 are for the parent ion, n and ℓ are principal and orbital quantum numbers for the excited electron, K and J are quantum numbers for ${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {J} _{1}+{\boldsymbol {\ell }}}$ and ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {K} +\mathbf {s} }$ where ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$ and ${\displaystyle \mathbf {s} }$ are orbital angular momentum and spin for the excited electron respectively. “o” represents a parity of excited atom. For an inert (noble) gas atom, usual excited states are Np⁵nℓ where N = 2, 3, 4, 5, 6 for Ne, Ar, Kr, Xe, Rn, respectively in order. Since the parent ion can only be ²P_1/2 or ²P_3/2, the notation can be shortened to ${\displaystyle n\ell \left[K\right]_{J}^{o}}$ or ${\displaystyle n\ell '\left[K\right]_{J}^{o}}$, where nℓ means the parent ion is in ²P_3/2 while nℓ′ is for the parent ion in ²P_1/2 state.

Paschen notation is a somewhat odd notation; it is an old notation made to attempt to fit an emission spectrum of neon to a hydrogen-like theory. It has a rather simple structure to indicate energy levels of an excited atom. The energy levels are denoted as n′ℓ#. ℓ is just an orbital quantum number of the excited electron. n′ℓ is written in a way that 1s for (n = N + 1, ℓ = 0), 2p for (n = N + 1, ℓ = 1), 2s for (n = N + 2, ℓ = 0), 3p for (n = N + 2, ℓ = 1), 3s for (n = N + 3, ℓ = 0), etc. Rules of writing n′ℓ from the lowest electronic configuration of the excited electron are: (1) ℓ is written first, (2) n′ is consecutively written from 1 and the relation of ℓ = n′ − 1, n′ − 2, ... , 0 (like a relation between n and ℓ) is kept. n′ℓ is an attempt to describe electronic configuration of the excited electron in a way of describing electronic configuration of hydrogen atom. # is an additional number denoted to each energy level of given n′ℓ (there can be multiple energy levels of given electronic configuration, denoted by the term symbol). # denotes each level in order, for example, # = 10 is for a lower energy level than # = 9 level and # = 1 is for the highest level in a given n′ℓ. An example of Paschen notation is below.

See also

• Quantum number
  • Principal quantum number
  • Azimuthal quantum number
  • Spin quantum number
  • Magnetic quantum number
• Angular quantum numbers
• Angular momentum coupling
• Molecular term symbol

Notes

1. There is no official convention for naming orbital angular momentum values greater than 20 (symbol Z) but they are rarely needed. Some authors use Greek letters (α, β, γ, ...) after Z.

References

1. NIST Atomic Spectrum Database For example, to display the levels for a neutral carbon atom, enter "C I" or "C 0" in the "Spectrum" box and click "Retrieve data".
2. Russel, H. N.; Saunders, F. A. (1925) [January 1925]. "New Regularities in the Spectra of the Alkaline Earths". SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS). Astrophysical Journal. 61. adsabs.harvard.edu/: 38. Bibcode:1925ApJ....61...38R. doi:10.1086/142872. Retrieved December 13, 2020 – via harvard.edu.
3. "NIST Atomic Spectra Database Ionization Energies Form". NIST Physical Measurement Laboratory. National Institute of Standards and Technology (NIST). October 2018. Retrieved 28 January 2019. This form provides access to NIST critically evaluated data on ground states and ionization energies of atoms and atomic ions.
4. For the sources for these term symbols in the case of the heaviest elements, see Template:Infobox element/symbol-to-electron-configuration/term-symbol.
5. Xu, Renjun; Zhenwen, Dai (2006). "Alternative mathematical technique to determine LS spectral terms". Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 39 (16): 3221–3239. arXiv:physics/0510267. Bibcode:2006JPhB...39.3221X. doi:10.1088/0953-4075/39/16/007. S2CID 2422425.
6. McDaniel, Darl H. (1977). "Spin factoring as an aid in the determination of spectroscopic terms". Journal of Chemical Education. 54 (3): 147. Bibcode:1977JChEd..54..147M. doi:10.1021/ed054p147.
7. "Atomic Spectroscopy - Different Coupling Scheme 9. Notations for Different Coupling Schemes". Nist. National Institute of Standards and Technology (NIST). 1 November 2017. Retrieved 31 January 2019.
8. "APPENDIX 1 - Coupling Schemes and Notation" (PDF). University of Toronto: Advanced Physics Laboratory - Course Homepage. Retrieved 5 Nov 2017.