Временная стоимость денег

Гипотеза о том, что получение суммы денег сейчас принесет больше пользы, чем позже.

Текущая стоимость 1000 долларов США через 100 лет в будущем. Кривые представляют собой постоянные ставки дисконтирования 2%, 3%, 5% и 7%.

Временная стоимость денег — это широко распространенная гипотеза о том, что получить большую сумму денег сейчас выгоднее , чем получить такую ​​же сумму позже. Это можно рассматривать как следствие разработанной позднее концепции временного предпочтения .

Временная стоимость денег входит в число факторов, которые учитываются при взвешивании альтернативных издержек расходов, а не сбережений или инвестирования денег . Таким образом, это одна из причин, по которой проценты выплачиваются или зарабатываются: проценты, будь то по банковскому депозиту или долгу , компенсируют вкладчику или кредитору потерю возможности использования своих денег. Инвесторы готовы отказаться от траты своих денег сейчас только в том случае, если они ожидают благоприятного чистого дохода от своих инвестиций в будущем, так что увеличенная стоимость , которая будет доступна позже, достаточно высока, чтобы компенсировать как предпочтение тратить деньги сейчас, так и инфляцию (если она есть). ); см. требуемую норму прибыли .

История

Талмуд (~ 500 г. н.э.) признает временную ценность денег. В «Трактате Маккос» , стр. 3а, Талмуд обсуждает случай, когда свидетели ложно утверждали, что срок ссуды составлял 30 дней, хотя на самом деле он составлял 10 лет. Лжесвидетели должны выплатить разницу в стоимости кредита «в ситуации, когда от него потребуют вернуть деньги (в течение) тридцати дней..., и ту же сумму в ситуации, когда от него потребуют вернуть деньги». деньги обратно (в течение) 10 лет... Разница - это сумма, которую показания (лжесвидетелей) пытались лишить заемщика; следовательно, это сумма, которую они должны заплатить». ^[1]

Это понятие было позже описано Мартином де Аспилкуэтой (1491–1586) из школы Саламанки .

Расчеты

Проблемы временной стоимости денег включают чистую стоимость денежных потоков в разные моменты времени.

В типичном случае переменными могут быть: баланс (реальная или номинальная стоимость долга или финансового актива в денежных единицах), периодическая процентная ставка, количество периодов и серия денежных потоков. (В случае долга потоки денежных средств представляют собой платежи в счет основной суммы долга и процентов; в случае финансового актива это вклады в баланс или снятие с него.) В более общем смысле, потоки денежных средств могут не быть периодическими, но могут быть заданы. индивидуально. Любая из этих переменных может быть независимой переменной (искомым ответом) в данной задаче. Например, можно знать, что: проценты составляют 0,5% за период (скажем, за месяц); количество периодов – 60 (месяцев); первоначальный баланс (в данном случае долга) составляет 25 000 единиц; и итоговый баланс равен 0 единиц. Неизвестной переменной может быть ежемесячный платеж, который должен платить заемщик.

Например, 100 фунтов стерлингов, вложенные на один год и приносящие доход 5%, через год будут стоить 105 фунтов стерлингов; следовательно, 100 фунтов стерлингов, выплаченные сейчас, и 105 фунтов стерлингов, выплаченные ровно через год, имеют одинаковую ценность для получателя, который ожидает 5% процентов, предполагая, что инфляция будет равна нулю. То есть 100 фунтов стерлингов, инвестированные на один год под 5% годовых, имеют будущую стоимость в размере 105 фунтов стерлингов при предположении, что инфляция составит ноль процентов. ^[2]

Этот принцип позволяет оценить вероятный поток доходов в будущем таким образом, что годовые доходы дисконтируются, а затем складываются вместе, обеспечивая таким образом единовременную «приведенную стоимость» всего потока доходов; все стандартные расчеты временной стоимости денег происходят из самого простого алгебраического выражения для текущей стоимости будущей суммы, «дисконтированной» к настоящему времени на сумму, равную временной стоимости денег. Например, сумма будущей стоимости , которая будет получена через год, дисконтируется по процентной ставке, чтобы получить сумму текущей стоимости : ${\displaystyle FV}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle PV}$

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+r)}}}$

Некоторые стандартные расчеты, основанные на временной стоимости денег:

• Текущая стоимость : текущая стоимость будущей суммы денег или потока денежных средств при заданной норме прибыли . Будущие денежные потоки «дисконтируются» по ставке дисконтирования; чем выше ставка дисконтирования, тем ниже текущая стоимость будущих денежных потоков. Определение соответствующей ставки дисконтирования является ключом к правильной оценке будущих денежных потоков, будь то доходы или обязательства. ^[3]
• Текущая стоимость аннуитета : Аннуитет представляет собой серию равных платежей или поступлений, которые происходят через равные промежутки времени. Примерами являются аренда и арендные платежи. Платежи или поступления происходят в конце каждого периода для обычного аннуитета, тогда как они происходят в начале каждого периода для аннуитета. ^[4]

Приведенная стоимость бессрочного контракта представляет собой бесконечный и постоянный поток идентичных денежных потоков. ^[5]

• Будущая стоимость : стоимость актива или денежных средств на определенную дату в будущем, основанная на стоимости этого актива в настоящем. ^[6]
• Будущая стоимость аннуитета (FVA) : будущая стоимость потока платежей (аннуитета), при условии, что платежи инвестируются по заданной процентной ставке.

Существует несколько основных уравнений, которые представляют перечисленные выше равенства. Решения можно найти, используя (в большинстве случаев) формулы, финансовый калькулятор или электронную таблицу . Формулы запрограммированы в большинстве финансовых калькуляторов и в некоторых функциях электронных таблиц (таких как PV, FV, RATE, NPER и PMT). ^[7]

Для любого из приведенных ниже уравнений формула также может быть изменена для определения одной из других неизвестных. В случае стандартной формулы аннуитета не существует алгебраического решения в замкнутой форме для процентной ставки (хотя финансовые калькуляторы и программы электронных таблиц могут легко найти решения с помощью быстрых алгоритмов проб и ошибок).

Эти уравнения часто комбинируются для конкретных целей. Например, с помощью этих уравнений можно легко оценить облигации . Типичная купонная облигация состоит из двух типов платежей: потока купонных платежей, аналогичного аннуитету, и единовременного возврата капитала в конце срока погашения облигации , то есть будущего платежа. Эти две формулы можно объединить для определения текущей стоимости облигации.

Важно отметить, что процентная ставка i — это процентная ставка за соответствующий период. Для аннуитета, при котором производится один платеж в год, i будет годовой процентной ставкой. Для потока доходов или платежей с другим графиком платежей процентная ставка должна быть конвертирована в соответствующую периодическую процентную ставку. Например, ежемесячная ставка по ипотеке с ежемесячными платежами требует, чтобы процентная ставка была разделена на 12 (см. пример ниже). Подробную информацию о конвертации между различными периодическими процентными ставками см. в разделе «Сложные проценты» .

Норма прибыли в расчетах может быть либо рассчитанной переменной, либо заранее определенной переменной, которая измеряет ставку дисконтирования, процент, инфляцию, норму прибыли, стоимость собственного капитала, стоимость долга или любое количество других аналогичных понятий. Выбор подходящей ставки имеет решающее значение для анализа, а использование неправильной ставки дисконтирования сделает результаты бессмысленными.

Для расчетов, связанных с аннуитетами, необходимо решить, производятся ли выплаты в конце каждого периода (так называемый обычный аннуитет) или в начале каждого периода (так называемый аннуитет). При использовании финансового калькулятора или электронной таблицы обычно можно настроить любой расчет. Следующие формулы предназначены для обычного аннуитета. Чтобы получить ответ на текущую стоимость причитающегося аннуитета, PV обычного аннуитета можно умножить на (1 + i ).

Формула

В следующей формуле используются эти общие переменные:

• PV — значение в нулевой момент времени (текущее значение)
• FV — значение в момент времени n (будущее значение)
• A — стоимость отдельных платежей в каждом периоде начисления процентов.
• n — количество периодов (не обязательно целое число)
• i - процентная ставка , по которой сумма начисляется за каждый период
• g — скорость роста платежей за каждый период времени

Будущая стоимость текущей суммы

Формула будущей стоимости ( FV ) аналогична и использует те же переменные.

${\displaystyle FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}}$

Текущая стоимость будущей суммы

Формула приведенной стоимости является основной формулой временной стоимости денег; каждая из остальных формул выводится из этой формулы. Например, формула аннуитета представляет собой сумму ряда расчетов текущей стоимости.

Формула приведенной стоимости ( PV ) имеет четыре переменные, каждую из которых можно решить численными методами :

${\displaystyle PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}$

Совокупную приведенную стоимость будущих денежных потоков можно рассчитать путем суммирования вкладов FV _t , стоимости денежного потока в момент времени t :

${\displaystyle PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}}$

Обратите внимание, что этот ряд можно суммировать для заданного значения n или когда n равно ∞. ^[8] Это очень общая формула, которая приводит к нескольким важным частным случаям, приведенным ниже.

Текущая стоимость аннуитета для n периодов выплат

В этом случае значения денежных потоков остаются неизменными на протяжении n периодов. Приведенная стоимость формулы аннуитета (PVA) имеет четыре переменные, каждую из которых можно решить численными методами:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]}$

Чтобы получить PV аннуитета , умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i ).

Текущая стоимость растущего аннуитета

В этом случае каждый денежный поток увеличивается в (1+ g ). Подобно формуле аннуитета, приведенная стоимость растущего аннуитета (PVGA) использует те же переменные с добавлением g , что и скорость роста аннуитета (A — аннуитетный платеж в первом периоде). Это расчет, который редко предусмотрен на финансовых калькуляторах.

Где я ≠ г:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over (i-g)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]}$

Где я = г:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}}$

Чтобы получить PV растущего аннуитета , умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i ).

Текущая стоимость бессрочного контракта

Бессрочная рента — это выплаты определенной суммы денег, которые происходят на регулярной основе и продолжаются вечно. Когда n → ∞, PV формулы бессрочного аннуитета (бессрочного аннуитета) становится простым делением.

${\displaystyle PV(P)\ =\ {A \over i}}$

Текущая стоимость растущего бессрочного контракта

Когда бессрочный аннуитетный платеж растет с фиксированной скоростью ( g , при g < i ), его значение определяется в соответствии со следующей формулой, полученной путем установки n равным бесконечности в более ранней формуле для растущего бессрочного дохода:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over i-g}}$

На практике существует мало ценных бумаг с точными характеристиками, и применение этого подхода к оценке подлежит различным оговоркам и модификациям. Самое главное, редко можно найти растущий бессрочный аннуитет с фиксированными темпами роста и генерацией настоящего постоянного денежного потока. Несмотря на эти оговорки, общий подход может использоваться при оценке недвижимости, акций и других активов.

Это хорошо известная модель роста Гордона, используемая для оценки акций .

Будущая стоимость аннуитета

Будущая стоимость (через n периодов) формулы аннуитета (FVA) имеет четыре переменные, каждую из которых можно решить численными методами:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$

Чтобы получить FV аннуитета, умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i).

Будущая стоимость растущего аннуитета

Будущая стоимость (через n периодов) формулы растущего аннуитета (FVA) имеет пять переменных, каждую из которых можно решить численными методами:

Где я ≠ г:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}}$

Где я = г:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}}$

Таблица формул

В следующей таблице приведены различные формулы, обычно используемые для расчета временной стоимости денег. ^[9] Эти значения часто отображаются в таблицах, где указаны процентная ставка и время.

Примечания:

• A — фиксированная сумма платежа, каждый период
• G — первоначальная сумма платежа возрастающей суммы платежа, которая начинается с G и увеличивается на G для каждого последующего периода.
• D — начальная сумма платежа экспоненциально (геометрически) возрастающей суммы платежа, которая начинается с D и увеличивается в (1+ g ) раз в каждом последующем периоде.

Выводы

Вывод аннуитета

Формула текущей стоимости регулярного потока будущих платежей (аннуитета) получается из суммы формулы будущей стоимости одного будущего платежа, как показано ниже, где C — сумма платежа, а n — период.

Один платеж C в будущий момент m имеет следующую будущую стоимость в будущий момент n :

${\displaystyle FV\ =C(1+i)^{n-m}}$

Суммирование всех платежей от момента 1 до момента n, а затем изменение t

${\displaystyle FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}}$

Обратите внимание, что это геометрическая прогрессия с начальным значением a = C , мультипликативным коэффициентом 1 + i и n членами. Применяя формулу геометрической прогрессии, получаем

${\displaystyle FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}}$

Текущая стоимость аннуитета (PVA) получается путем простого деления на : ${\displaystyle (1+i)^{n}}$

${\displaystyle PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}$

Другой простой и интуитивно понятный способ определить будущую стоимость аннуитета — рассмотреть пожертвование, проценты по которому выплачиваются в виде аннуитета, а основная сумма которого остается постоянной. Основная сумма этого гипотетического вклада может быть рассчитана как сумма процентов по которой равна сумме аннуитетного платежа:

${\displaystyle {\text{Principal}}\times i=C}$

${\displaystyle {\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}}$

Обратите внимание, что никакие деньги не входят и не выходят из комбинированной системы основной суммы капитала + накопленных аннуитетных платежей, и, таким образом, будущая стоимость этой системы может быть рассчитана просто по формуле будущей стоимости:

${\displaystyle FV=PV(1+i)^{n}}$

Первоначально, до каких-либо выплат, текущая стоимость системы равна только основной сумме фонда . В конце концов, будущая стоимость представляет собой основную сумму фонда (которая одинакова) плюс будущую стоимость общей суммы аннуитетных платежей ( ). Подставим это обратно в уравнение: ${\displaystyle PV={\frac {C}{i}}}$ ${\displaystyle FV={\frac {C}{i}}+FVA}$

${\displaystyle {\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}}$

${\displaystyle FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]}$

Бессрочный вывод

Не показывая здесь формальный вывод, формула бессрочной ренты выводится из формулы аннуитета. В частности, термин:

${\displaystyle \left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)}$

можно видеть, что оно приближается к значению 1 по мере увеличения n . На бесконечности он равен 1, поэтому остается единственный оставшийся член. ${\displaystyle {C \over i}}$

Непрерывное компаундирование

Ставки иногда конвертируются в эквивалент непрерывной сложной процентной ставки, поскольку непрерывный эквивалент более удобен (например, его легче дифференцировать). Каждую из приведенных выше формул можно переформулировать в их непрерывных эквивалентах. Например, текущая стоимость будущего платежа в момент времени 0 в момент времени t может быть пересчитана следующим образом, где e — это основание натурального логарифма , а r — ставка непрерывного начисления процентов:

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}$

Это можно обобщить на ставки дисконтирования, которые изменяются во времени: вместо постоянной ставки дисконтирования r используется функция времени r ( t ). В этом случае коэффициент дисконтирования и, следовательно, текущая стоимость денежного потока в момент времени T определяется интегралом от непрерывно начисляемой ставки r ( t ):

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}$

Действительно, основная причина использования непрерывного начисления сложных процентов состоит в том, чтобы упростить анализ различных ставок дисконтирования и позволить использовать инструменты исчисления. Кроме того, для процентов, начисленных и капитализированных за ночь (следовательно, начисляемых ежедневно), непрерывное начисление процентов является близким приближением к фактическому ежедневному начислению процентов. Более сложный анализ включает использование дифференциальных уравнений, как подробно описано ниже.

Примеры

Использование непрерывного начисления процентов дает следующие формулы для различных инструментов:

Аннуитет

${\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}}$

Бессрочность

${\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}}$

Растущий аннуитет

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}}$

Растущая вечность

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}}$

Аннуитет с непрерывными выплатами

${\displaystyle \ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}}$

Эти формулы предполагают, что платеж A производится в первый период платежа, а аннуитет заканчивается в момент времени t. ^[10]

Дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных (ОДУ и УЧП) — уравнения, включающие производные и одну (соответственно, несколько) переменных, повсеместно встречаются в более продвинутых трактовках финансовой математики . Хотя временную стоимость денег можно понять и без использования системы дифференциальных уравнений, дополнительная сложность проливает дополнительный свет на временную стоимость и обеспечивает простое введение перед рассмотрением более сложных и менее знакомых ситуаций. Далее следует изложение (Carr & Flesaker 2006, стр. 6–7).  

Фундаментальное изменение, которое вносит перспектива дифференциального уравнения, заключается в том, что вместо вычисления числа (текущее значение сейчас ) вычисляется функция ( текущее значение сейчас или в любой момент в будущем ). Затем можно проанализировать эту функцию  —  как ее значение меняется со временем?  —  или по сравнению с другими функциями.

Формально утверждение о том, что «значение уменьшается с течением времени», дается определением линейного дифференциального оператора как: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).}$

Это означает, что стоимость уменьшается (−) с течением времени (∂ _t ) по ставке дисконтирования ( r ( t )). Применительно к функции это дает:

${\displaystyle {\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).}$

Для инструмента, поток платежей которого описывается f ( t ), значение V ( t ) удовлетворяет неоднородному ОДУ первого порядка («неоднородный» означает, что у него есть f, а не 0, а «первый порядок» означает, что у него есть первые деривативы, но не более высокие деривативы) — это кодирует тот факт, что при возникновении любого денежного потока стоимость инструмента изменяется на величину денежного потока (если вы получаете купон на 10 фунтов стерлингов, оставшаяся стоимость уменьшается ровно на 10 фунтов стерлингов) . ${\displaystyle {\mathcal {L}}V=f}$  

Стандартным техническим инструментом анализа ОДУ являются функции Грина , из которых могут быть построены другие решения. С точки зрения временной стоимости денег, функция Грина (для ОДУ временной стоимости) — это стоимость облигации, по которой выплачивается 1 фунт стерлингов в определенный момент времени u  —  тогда стоимость любого другого потока денежных потоков можно получить, взяв комбинации этого основного денежного потока. В математических терминах этот мгновенный денежный поток моделируется как дельта-функция Дирака. ${\displaystyle \delta _{u}(t):=\delta (t-u).}$

Функция Грина для стоимости денежного потока в 1 фунт стерлингов в момент времени u в момент времени t равна

${\displaystyle b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)}$

где H — ступенчатая функция Хевисайда — обозначение « » призвано подчеркнуть, что u — параметр (фиксированный в любом случае — время, когда произойдет денежный поток), а t — переменная (время). Другими словами, будущие денежные потоки экспоненциально дисконтируются (exp) на сумму (интеграл, ) будущих ставок дисконтирования ( для будущего, r ( v ) для ставок дисконтирования), в то время как прошлые денежные потоки оцениваются в 0 ( ), поскольку они уже произошли. Обратите внимание, что стоимость денежного потока на момент возникновения денежного потока не определена четко — в этой точке существует разрыв, и можно использовать соглашение (предполагать, что денежные потоки уже произошли или еще не произошли), или просто не определять значение в этот момент. ${\displaystyle ;u}$   ${\displaystyle \textstyle {\int }}$ ${\displaystyle \textstyle {\int _{t}^{u}}}$ ${\displaystyle H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u}$  

В случае, если ставка дисконтирования постоянна, это упрощается до ${\displaystyle r(v)\equiv r,}$

${\displaystyle b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}}$

где «время, оставшееся до поступления денежных средств». ${\displaystyle (u-t)}$

Таким образом, для потока денежных потоков f ( u ), заканчивающегося к моменту времени T (который может быть установлен без временного горизонта) , значение в момент времени t определяется путем объединения значений этих отдельных денежных потоков: ${\displaystyle T=+\infty }$ ${\displaystyle V(t;T)}$

${\displaystyle V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.}$

Это формализует временную стоимость денег до будущих значений денежных потоков с различными ставками дисконтирования и является основой многих формул финансовой математики, таких как формула Блэка-Шоулза с различными процентными ставками .

Смотрите также

• Денежный портал

• Актуарная наука

• Дисконтированный денежный поток

• Рост прибыли

• Экспоненциальный рост

• Финансовый менеджмент

• Гиперболическое дисконтирование

• Внутренняя норма доходности

• Чистая приведенная стоимость

• Временная стоимость опциона

• Реальная и номинальная стоимость (экономика)

• Эффект снежного кома

Примечания

1. "Маккот 3а Талмуд Уильяма Дэвидсона онлайн" .
2. Картер, Шона (3 декабря 2003 г.). «Понимание временной стоимости денег».
3. Сотрудники, Investopedia (25 ноября 2003 г.). «Приведенная стоимость – PV».
4. «Текущая стоимость аннуитета».
5. Сотрудники, Investopedia (24 ноября 2003 г.). «Вечность».
6. Сотрудники, Investopedia (23 ноября 2003 г.). «Будущая стоимость – FV».
7. Хови, М. (2005). Моделирование электронных таблиц для финансов. Френчс Форест, Новый Южный Уэльс: Pearson Education Australia.
8. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html Геометрическая серия
9. "Экзамен NCEES FE" .
10. «Аннуитеты и бессрочные облигации с непрерывным начислением процентов». 11 октября 2012 г.

Рекомендации

• Карр, Питер; Флесакер, Бьорн (2006), Надежное воспроизведение условных требований по умолчанию (слайды презентации) (PDF) , Bloomberg LP , заархивировано из оригинала (PDF) 27 февраля 2009 г. См. также Аудиопрезентация и статья. {{citation}}: Внешняя ссылка |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
• Кроссон, С.В., и Нидлз, Б.Э. (2008). Управленческий учет (8-е изд.). Бостон: Компания Houghton Mifflin.

Внешние ссылки

• Временная стоимость денег, организованная Университетом Аризоны.
• Электронная книга «Временная ценность денег»