Модус Толленс

Правило логического вывода

В пропозициональной логике modus tollens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ), также известный как modus tollendo tollens ( на латыни «метод удаления путем удаления») ^[2] и отрицающий консеквент ^[3] , является формой дедуктивного аргумента и правилом вывода . Modus tollens — это смешанный гипотетический силлогизм , который принимает форму «Если P , то Q. Не Q. Следовательно, не P ». Это применение общей истины, что если утверждение истинно, то истинно и его контрапозитив . Форма показывает, что вывод из P влечет Q к отрицанию Q влечет отрицание P, является допустимым аргументом.

История правила вывода modus tollens восходит к античности . ^[4] Первым, кто явно описал аргумент формы modus tollens, был Теофраст . ^[5]

Modus tollens тесно связан с modus ponens . Существуют две похожие, но недействительные формы аргументации : утверждение следствия и отрицание антецедента . См. также контрапозицию и доказательство контрапозицией .

Объяснение

Форма аргумента modus tollens представляет собой смешанный гипотетический силлогизм с двумя посылками и заключением:

Если П , то Q.

Не Q.​

Следовательно, не П.

Первая предпосылка — это условное («если-то») утверждение, например, P подразумевает Q. Вторая предпосылка — это утверждение, что Q , следствие условного утверждения, не имеет места. Из этих двух предпосылок можно логически заключить, что P , антецедент условного утверждения, также не имеет места.

Например:

Если собака обнаружит нарушителя, она залает.

Собака не лаяла.

Таким образом, собака не обнаружила нарушителя.

Предположим, что обе предпосылки истинны (собака залает, если обнаружит нарушителя, и на самом деле не лает), отсюда следует, что нарушитель не обнаружен. Это обоснованный аргумент, поскольку заключение не может быть ложным, если предпосылки истинны. (Возможно, что мог быть нарушитель, которого собака не обнаружила, но это не делает аргумент недействительным; первая предпосылка — «если собака обнаружит нарушителя». Важно то, обнаруживает собака нарушителя или нет, а не то, есть ли он.)

Пример 1:

Если я грабитель, то я могу взломать сейф.

Я не могу взломать сейф.

Следовательно, я не грабитель.

Пример 2:

Если Рекс — курица, то он — птица.

Рекс не птица.

Следовательно, Рекс — не курица.

Отношение кмодус поненс

Каждое использование modus tollens может быть преобразовано в использование modus ponens и одно использование транспозиции в посылку, которая является материальной импликацией. Например:

Если P , то Q. (предпосылка – материальная импликация)

Если не Q , то не P. (выводится транспозицией)

Не Q. (предпосылка)

Следовательно, не P. (выведено с помощью modus ponens )

Аналогично, любое использование modus ponens можно преобразовать в использование modus tollens и транспозиции.

Формальная запись

Правило modus tollens можно формально сформулировать следующим образом:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}$

где означает утверждение «P подразумевает Q». означает «это не тот случай, когда Q» (или, короче, «не Q»). Тогда, всякий раз, когда « » и « » появляются сами по себе как строка доказательства , то « » может быть обоснованно размещено на последующей строке. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle \neg P}$

Правило модуса Толленса можно записать в последовательной записи:

${\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P}$

где — металогический символ, значение которого является синтаксическим следствием и в некоторой логической системе ; ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$

или как утверждение функциональной тавтологии или теоремы пропозициональной логики:

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}$

где и — предложения, выраженные в некоторой формальной системе ; ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

или включая предположения:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}}$

хотя, поскольку правило не меняет набор предположений, это не является строго необходимым.

Более сложные переписывания с использованием modus tollens часто встречаются, например, в теории множеств :

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

(«P является подмножеством Q. x не принадлежит Q. Следовательно, x не принадлежит P.»)

Также в логике предикатов первого порядка :

${\displaystyle \forall x:~P(x)\to Q(x)}$

${\displaystyle \neg Q(y)}$

${\displaystyle \therefore ~\neg P(y)}$

(«Для всех x, если x есть P, то x есть Q. y не есть Q. Следовательно, y не есть P.»)

Строго говоря, это не примеры modus tollens , но их можно вывести из modus tollens с помощью нескольких дополнительных шагов.

Обоснование с помощью таблицы истинности

Обоснованность modus tollens можно наглядно продемонстрировать с помощью таблицы истинности .

В примерах modus tollens мы предполагаем в качестве посылок, что p → q истинно, а q ложно. Есть только одна строка таблицы истинности — четвертая строка — которая удовлетворяет этим двум условиям. В этой строке p ложно. Следовательно, в каждом примере, в котором p → q истинно, а q ложно, p также должно быть ложным.

Формальное доказательство

Через дизъюнктивный силлогизм

С помощьюдоведение до абсурда

Через противопоставление

Соответствие другим математическим структурам

Исчисление вероятностей

Modus tollens представляет собой пример закона полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса, выраженный как:

$${\displaystyle \Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,,}$$

где условные выражения и получены с помощью (расширенной формы) теоремы Байеса, выраженной как: ${\displaystyle \Pr(P\mid Q)}$ ${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)}$

$${\displaystyle \Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}\;\;\;}$$и $${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}.}$$

В приведенных выше уравнениях обозначает вероятность , а обозначает базовую ставку (т. е. априорную вероятность ) . Условная вероятность обобщает логическое утверждение , т. е. в дополнение к назначению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем назначить любую вероятность утверждению. Предположим, что эквивалентно ИСТИНА, а это эквивалентно ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что когда и . Это происходит потому, что так что в последнем уравнении. Следовательно, члены произведения в первом уравнении всегда имеют нулевой множитель, так что что эквивалентно ЛОЖЬ. Следовательно, закон полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса представляет собой обобщение modus tollens . ^[6] ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle a(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=1}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=0}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Pr(P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=0}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)=0}$ ${\displaystyle \Pr(P)=0}$ ${\displaystyle P}$

Субъективная логика

Modus tollens представляет собой пример оператора абдукции в субъективной логике, выраженный как:

$${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A}){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,,}$$

где обозначает субъективное мнение о , а обозначает пару биномиальных условных мнений, как выражено источником . Параметр обозначает базовую ставку (иначе говоря, априорную вероятность ) . Выведенное предельное мнение о обозначается . Условное мнение обобщает логическое утверждение , т.е. в дополнение к назначению ИСТИНА или ЛОЖЬ источник может назначить любое субъективное мнение утверждению. Случай, когда является абсолютно ИСТИННЫМ мнением, эквивалентен утверждению источника, что ИСТИНА, а случай, когда является абсолютно ЛОЖНЫМ мнением, эквивалентен утверждению источника, что ЛОЖЬ. Оператор абдукции субъективной логики производит абсолютно ЛОЖНОЕ выведенное мнение , когда условное мнение является абсолютно ИСТИННЫМ, а последующее мнение является абсолютно ЛОЖЬЮ. Следовательно, субъективная логическая абдукция представляет собой обобщение как modus tollens , так и закона полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса . ^[7] ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\widetilde {\circledcirc }}}$ ${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$

Смотрите также

• Доказательство отсутствия  – Ошибка релевантности
• Латинские фразы
• Modus operandi  – Привычки работы
• Modus ponens  – Правило логического вывода
• Modus vivendi  – соглашение, позволяющее конфликтующим сторонам сосуществовать в мире
• Non sequitur  – ошибочное дедуктивное рассуждение из-за логической ошибкиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Доказательство от противного  — доказательство того, что отрицание невозможно.
• Доказательство от противного  – Концепция математической логикиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Стоическая логика  – система пропозициональной логики, разработанная философами-стоиками.

Примечания

1. Мэтью С. Харрис. «Отрицание антецедента». Khan academy .
2. Стоун, Джон Р. (1996). Латынь для неграмотных: изгнание призраков мертвого языка . Лондон: Routledge. стр. 60. ISBN 978-0-415-91775-9.
3. Сэнфорд, Дэвид Хоули (2003). Если P, то Q: условные предложения и основы рассуждений (2-е изд.). Лондон: Routledge. стр. 39. ISBN 978-0-415-28368-7. [Modus] tollens всегда является сокращением от modus tollendo tollens, наклонения, которое отрицает.
4. Сюзанна Бобзиен (2002). «Развитие Modus Ponens в древности», Phronesis 47.
5. «Древняя логика: предшественники Modus Ponens и Modus Tollens». Стэнфордская энциклопедия философии .
6. Аудун Йосанг 2016:стр.2
7. Аудун Йосанг 2016:стр.92

Источники

• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1 

Внешние ссылки

• Модус Толленс в Wolfram MathWorld