Полное кольцо дробей

В абстрактной алгебре полное кольцо частных ^[1] или полное кольцо дробей ^[2] — это конструкция, которая обобщает понятие поля дробей целостной области на коммутативные кольца R, которые могут иметь делители нуля . Конструкция вкладывает R в большее кольцо , давая каждому неделителю нуля R обратный элемент в большем кольце. Если гомоморфизм из R в новое кольцо должен быть инъективным , никаким другим элементам нельзя задать обратный элемент.

Определение

Пусть будет коммутативным кольцом и пусть будет множеством элементов, которые не являются делителями нуля в ; тогда будет мультипликативно замкнутым множеством . Следовательно, мы можем локализовать кольцо в множестве , чтобы получить полное фактор-кольцо . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}R=Q(R)}$

Если — домен , то и полное фактор-кольцо совпадает с полем дробей. Это оправдывает обозначение , которое иногда используется и для поля дробей, поскольку в случае домена нет никакой двусмысленности. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S=R-\{0\}}$ ${\displaystyle Q(R)}$

Поскольку в конструкции нет делителей нуля, естественное отображение инъективно, поэтому полное фактор-кольцо является расширением . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\to Q(R)}$ ${\displaystyle R}$

Примеры

• Для кольца произведения A × B полное фактор-кольцо Q ( A × B ) является произведением полных фактор-колец Q ( A ) × Q ( B ) . В частности, если A и B являются целостными областями, это является произведением полей частных.

• Для кольца голоморфных функций на открытом множестве D комплексных чисел полное фактор - кольцо является кольцом мероморфных функций на D , даже если D несвязно .

• В артиновом кольце все элементы являются единицами или делителями нуля. Следовательно, множество неделителей нуля является группой единиц кольца, и так далее . Но поскольку все эти элементы уже имеют обратные, . ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle Q(R)=(R^{\times })^{-1}R}$ ${\displaystyle Q(R)=R}$

• В коммутативном регулярном кольце фон Неймана R происходит то же самое. Предположим, что a в R не является делителем нуля. Тогда в регулярном кольце фон Неймана a  =  axa для некоторого x в R , что дает уравнение a ( xa  − 1) = 0. Поскольку a не является делителем нуля, xa  = 1, показывая, что a является единицей. Здесь снова, . ${\displaystyle Q(R)=R}$

• В алгебраической геометрии рассматривается пучок полных частных колец на схеме , и это можно использовать для определения дивизора Картье .

Полное кольцо дробей редуцированного кольца

Предложение  —  Пусть A — редуцированное кольцо , имеющее только конечное число минимальных простых идеалов ( например, нётерово редуцированное кольцо). Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}}$

${\displaystyle Q(A)\simeq \prod _{i=1}^{r}Q(A/{\mathfrak {p}}_{i}).}$

Геометрически — это артинова схема, состоящая (как конечное множество) из общих точек неприводимых компонент . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (Q(A))}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

Доказательство: Каждый элемент Q ( A ) является либо единицей, либо делителем нуля. Таким образом, любой собственный идеал I из Q ( A ) содержится в множестве делителей нуля Q ( A ); это множество равно объединению минимальных простых идеалов, поскольку Q ( A ) является сокращенным . По принципу избегания простых чисел I должен содержаться в некоторых . Следовательно, идеалы являются максимальными идеалами Q ( A ) . Кроме того, их пересечение равно нулю . Таким образом, по китайской теореме об остатках, примененной к Q ( A ), ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$

${\displaystyle Q(A)\simeq \prod _{i}Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$.

Пусть S — мультипликативно замкнутое множество неделителей нуля числа A. По точности локализации,

${\displaystyle Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)=A[S^{-1}]/{\mathfrak {p}}_{i}A[S^{-1}]=(A/{\mathfrak {p}}_{i})[S^{-1}]}$,

что уже является полем и должно быть таковым . ${\displaystyle Q(A/{\mathfrak {p}}_{i})}$ ${\displaystyle \square }$

Обобщение

Если — коммутативное кольцо и — любое мультипликативно замкнутое множество в , локализация все еще может быть построена, но гомоморфизм колец из в может не быть инъективным. Например, если , то — тривиальное кольцо . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Цитаты

1. Мацумура 1980, стр. 12.
2. Мацумура 1989, стр. 21.

Ссылки

• Мацумура, Хидеюки (1980), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Бенджамин/Каммингс, ISBN 978-0-8053-7026-3, OCLC  988482880
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, OCLC  23133540