Общее изменение уменьшается

Свойства схем дискретизации, используемых для решения гиперболических уравнений в частных производных

В численных методах уменьшение полной вариации (TVD) является свойством определенных схем дискретизации , используемых для решения гиперболических уравнений в частных производных . Наиболее заметное применение этого метода — в вычислительной гидродинамике . Концепция TVD была введена Эми Хартеном . ^[1]

Уравнение модели

В системах, описываемых уравнениями с частными производными , такими как следующее гиперболическое уравнение адвекции ,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

общая вариация (TV) определяется как

${\displaystyle TV(u(\cdot ,t))=\int \left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|\mathrm {d} x,}$

и общая вариация для дискретного случая равна,

${\displaystyle TV(u^{n})=TV(u(\cdot ,t^{n}))=\sum _{j}\left|u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}\right|.}$

где . ${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$

Численный метод называется методом уменьшения полной вариации (TVD), если:

${\displaystyle TV\left(u^{n+1}\right)\leq TV\left(u^{n}\right).}$

Характеристики

Говорят, что численная схема сохраняет монотонность, если выполняются следующие свойства:

• Если монотонно возрастает (или убывает) в пространстве, то и . ${\displaystyle u^{n}}$ ${\displaystyle u^{n+1}}$

Хартен 1983 доказал следующие свойства для численной схемы:

• Монотонная схема — TVD, и
• Схема TVD сохраняет монотонность .

Применение в CFD

В вычислительной гидродинамике схема TVD используется для захвата более точных предсказаний ударных волн без каких-либо вводящих в заблуждение колебаний, когда изменение полевой переменной « » является прерывистым. Для захвата изменения требуются мелкие сетки (очень маленькие), и вычисления становятся тяжелыми и, следовательно, неэкономичными. Использование грубых сеток с центральной разностной схемой , схемой upwind , гибридной разностной схемой и схемой степенного закона дает ложные предсказания ударных волн. Схема TVD позволяет делать более точные предсказания ударных волн на грубых сетках, экономя время вычислений, и поскольку схема сохраняет монотонность, в решении нет ложных колебаний. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta x}$

Дискретизация

Рассмотрим уравнение стационарной одномерной конвекции-диффузии,

${\displaystyle \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi )+S_{\phi }\;}$,

где — плотность, — вектор скорости, — переносимое свойство, — коэффициент диффузии, — исходный член, отвечающий за генерацию свойства . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

Сделав баланс потока этого свойства относительно контрольного объема, мы получаем,

${\displaystyle \int _{A}\mathbf {n} \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,\mathrm {d} A=\int _{A}\mathbf {n} \cdot (\Gamma \nabla \phi )\,\mathrm {d} A+\int _{CV}S_{\phi }\,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \;}$

Здесь представлена ​​нормаль к поверхности контрольного объема. ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Игнорируя исходный член, уравнение далее сводится к:

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi A)_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi A)_{l}=\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{r}-\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{l}}$

Рисунок, показывающий контрольный объем со скоростями на гранях, узлами и расстоянием между ними, где «P» — узел в центре.

Предполагая,

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\delta \phi }{\delta x}}}$ и ${\displaystyle A_{r}=A_{l},}$

Уравнение сводится к

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi )_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi )_{l}\,=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{r}-\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{l}.}$

Сказать,

${\displaystyle F_{r}=(\rho \mathbf {u} )_{r};\qquad F_{l}=(\rho \mathbf {u} )_{l};}$

${\displaystyle D_{l}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{l};\qquad D_{r}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{r};}$

Из рисунка:

${\displaystyle \delta \phi _{r}=\phi _{R}-\phi _{P};\qquad \delta x_{r}=x_{PR};}$

${\displaystyle \delta \phi _{l}=\phi _{P}-\phi _{L};\qquad \delta x_{l}=x_{LP};}$

Уравнение принимает вид: Уравнение непрерывности также должно быть удовлетворено в одной из его эквивалентных форм для этой задачи: $${\displaystyle F_{r}\phi _{r}-F_{l}\phi _{l}=D_{r}(\phi _{R}-\phi _{P})-D_{l}(\phi _{P}-\phi _{L});}$$

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} )_{r}-(\rho \mathbf {u} )_{l}\,=0\ \ \Longleftrightarrow \ \ F_{r}-F_{l}=0\ \ \Longleftrightarrow \ F_{r}=F_{l}=F.}$

Предполагая, что диффузия является однородным свойством и шаг сетки одинаков, можно сказать:

${\displaystyle \Gamma _{l}=\Gamma _{r};\qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR}=\delta x,}$

мы получаем Уравнение далее сводится к Уравнение выше можно записать как где - число Пекле $${\displaystyle D_{l}=D_{r}=D.}$$ $${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot F=D\cdot (\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L}).}$$ $${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot P=(\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L})}$$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P={\frac {F}{D}}={\frac {\rho \mathbf {u} \delta x}{\Gamma }}.}$

схема ТВД

Схема уменьшения полной вариации ^{[2] [3]} предполагает, что значения и должны быть подставлены в дискретизированное уравнение следующим образом: ${\displaystyle \phi _{r}}$ ${\displaystyle \phi _{l}}$

${\displaystyle \phi _{r}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{r}^{+}\phi _{R}+(1-f_{r}^{+})\phi _{L}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{r}^{-}\phi _{P}+(1-f_{r}^{-})\phi _{RR}]}$

${\displaystyle \phi _{l}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{l}^{+}\phi _{P}+(1-f_{l}^{+})\phi _{LL}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{l}^{-}\phi _{L}+(1-f_{l}^{-})\phi _{R}]}$

Где — число Пекле, а — весовая функция, из которой следует определить, ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=f\left({\frac {\phi _{U}-\phi _{UU}}{\phi _{D}-\phi _{UU}}}\right)}$

где относится к восходящему течению, относится к восходящему течению , а относится к нисходящему течению. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UU}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$

Обратите внимание, что — это функция взвешивания, когда поток имеет положительное направление (т.е. слева направо), а — это функция взвешивания, когда поток имеет отрицательное направление справа налево. Итак, ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f^{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{r}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{L}}{\phi _{R}-\phi _{L}}}\right),\\[10pt]&f_{r}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{R}-\phi _{RR}}{\phi _{P}-\phi _{RR}}}\right),\\[10pt]&f_{l}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{L}-\phi _{LL}}{\phi _{P}-\phi _{LL}}}\right),{\text{ and}}\\[10pt]&f_{l}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{R}}{\phi _{L}-\phi _{R}}}\right).\end{aligned}}}$

Если поток направлен положительно, то число Пекле положительно и член , поэтому функция не будет играть никакой роли в предположении и . Аналогично, когда поток направлен отрицательно, является отрицательным и член , поэтому функция не будет играть никакой роли в предположении и . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P-|P|)=0}$ ${\displaystyle f^{-}}$ ${\displaystyle \phi _{r}}$ ${\displaystyle \phi _{l}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P+|P|)=0}$ ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{r}}$ ${\displaystyle \phi _{r}}$

Поэтому он учитывает значения свойств в зависимости от направления потока и с помощью весовых функций пытается добиться монотонности решения, тем самым получая результаты без ложных скачков.

Ограничения

Монотонные схемы привлекательны для решения инженерных и научных задач, поскольку они не производят нефизических решений. Теорема Годунова доказывает, что линейные схемы, сохраняющие монотонность, имеют точность, самое большее, только первого порядка. Линейные схемы более высокого порядка, хотя и более точны для гладких решений, не являются TVD и имеют тенденцию вносить ложные колебания (покачивание) там, где возникают разрывы или толчки. Для преодоления этих недостатков были разработаны различные нелинейные методы с высоким разрешением , часто использующие ограничители потока/наклона .

Смотрите также

• Ограничители потока
• Теорема Годунова
• Схема высокого разрешения
• Схема MUSCL
• Сергей Константинович Годунов
• Общая вариация

Ссылки

1. Хартен, Ами (1983), «Схемы высокого разрешения для гиперболических законов сохранения», J. Comput. Phys. , 49 (2): 357–393, Bibcode : 1983JCoPh..49..357H, doi : 10.1016/0021-9991(83)90136-5, hdl : 2060/19830002586
2. Versteeg, HK; Malalasekera, W. (2007). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечных объемов (2-е изд.). Harlow: Prentice Hall. ISBN 9780131274983.
3. Блажек, Иржи (2001). Вычислительная гидродинамика: принципы и приложения (1-е изд.). Лондон: Elsevier. ISBN 9780080430096.

Дальнейшее чтение

• Хирш, К. (1990), Численное вычисление внутренних и внешних потоков , том 2, Wiley.
• Лэйни, К. Б. (1998), Вычислительная газовая динамика , Издательство Кембриджского университета.
• Торо, Э.Ф. (1999), Решатели уравнения Римана и численные методы для гидродинамики , Springer-Verlag.
• Таннехилл, Дж. К., Андерсон, Д. А. и Плетчер, Р. Х. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача , 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
• Весселинг, П. (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag.
• Анил В. Дейт Введение в вычислительную гидродинамику , Издательство Кембриджского университета.