Общая вариация

Мера поведения локальных колебаний

В математике полная вариация определяет несколько немного разных понятий, связанных с ( локальной или глобальной) структурой области определения функции или меры . Для действительной непрерывной функции f , определенной на интервале [ a , b ] ⊂ R , ее полная вариация на интервале определения является мерой одномерной длины дуги кривой с параметрическим уравнением x ↦ f ( x ), для x ∈ [ a , b ]. Функции, полная вариация которых конечна, называются функциями ограниченной вариации .

Историческая справка

Понятие полной вариации для функций одной действительной переменной впервые было введено Камиллом Жорданом в статье (Jordan 1881). ^[1] Он использовал новое понятие, чтобы доказать теорему о сходимости для рядов Фурье разрывных периодических функций , вариация которых ограничена . Однако распространение этого понятия на функции более чем одной переменной не является простым по разным причинам.

Определения

Полная вариация для функций одной действительной переменной

Определение 1.1. Полная вариация действительной -значной (или, в более общем случае, комплексной -значной ) функции , определенной на интервале, есть величина ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}$

где супремум пробегает множество всех разбиений заданного интервала . Это означает, что . ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n_{P}}=b}$

Полная вариация для функцийн> 1 действительных переменных

Определение 1.2. ^[2] Пусть Ω — открытое подмножество R ⁿ . Для функции f, принадлежащей L 1 ⁽ Ω ) , полная вариация f в Ω определяется как

${\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},}$

где

• ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$представляет собой множество непрерывно дифференцируемых векторных функций компактного носителя, содержащихся в , ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$является существенной супремум- нормой , и
• ${\displaystyle \operatorname {div} }$— оператор дивергенции .

Это определение не требует , чтобы область определения данной функции была ограниченным множеством . ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

Общая вариация в теории меры

Классическое определение общей вариации

Следуя Саксу (1937, стр. 10), рассмотрим знаковую меру на измеримом пространстве : тогда можно определить две функции множеств и , соответственно называемые верхней вариацией и нижней вариацией , следующим образом ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\sup \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\inf \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

четко

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\geq 0\geq {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\qquad \forall E\in \Sigma }$

Определение 1.3. Вариация (также называемая абсолютной вариацией ) знаковой меры есть заданная функция ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)+\left|{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\right|\qquad \forall E\in \Sigma }$

и ее полная вариация определяется как значение этой меры на всем пространстве определения, т.е.

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)}$

Современное определение нормы общей вариации

Сакс (1937, стр. 11) использует верхнюю и нижнюю вариации для доказательства разложения Хана–Жордана : согласно его версии этой теоремы, верхняя и нижняя вариации являются соответственно неотрицательной и неположительной мерой . Используя более современную нотацию, определите

${\displaystyle \mu ^{+}(\cdot )={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

${\displaystyle \mu ^{-}(\cdot )=-{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

Тогда и — две неотрицательные меры, такие что ${\displaystyle \mu ^{+}}$ ${\displaystyle \mu ^{-}}$

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$

${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

Последнюю меру иногда называют, из-за неточности обозначений , мерой полной вариации .

Общая норма вариации комплексных мер

Если мера комплекснозначная , то есть является комплексной мерой , ее верхняя и нижняя вариации не могут быть определены, и теорема разложения Хана–Жордана может быть применена только к ее действительной и мнимой частям. Однако можно следовать Рудину (1966, стр. 137–139) и определить полную вариацию комплекснозначной меры следующим образом ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Определение 1.4. Вариация комплекснозначной меры есть заданная функция ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma }$

где супремум берется по всем разбиениям измеримого множества на счетное число непересекающихся измеримых подмножеств. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$

Это определение совпадает с приведенным выше определением для случая действительных знаковых мер. ${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

Общая норма вариации векторнозначных мер

Определенная таким образом вариация является положительной мерой (см. Рудин (1966, стр. 139)) и совпадает с той, которая определена в 1.3, когда является знаковой мерой : ее общая вариация определяется, как указано выше. Это определение также работает, если является векторной мерой : тогда вариация определяется следующей формулой ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }\|\mu (A)\|\qquad \forall E\in \Sigma }$

где супремум такой же, как и выше. Это определение немного более общее, чем определение, данное Рудиным (1966, стр. 138), поскольку оно требует рассмотрения только конечных разбиений пространства : это подразумевает, что его можно использовать также для определения полной вариации конечно-аддитивных мер . ${\displaystyle X}$

Общая вариация вероятностных мер

Полная вариация любой вероятностной меры равна единице, поэтому она не представляет интереса как средство исследования свойств таких мер. Однако, когда μ и ν являются вероятностными мерами , расстояние полной вариации вероятностных мер может быть определено как, где норма является полной нормой вариации знаковых мер. Используя свойство, что , мы в конечном итоге приходим к эквивалентному определению ${\displaystyle \|\mu -\nu \|}$ ${\displaystyle (\mu -\nu )(X)=0}$

${\displaystyle \|\mu -\nu \|=|\mu -\nu |(X)=2\sup \left\{\,\left|\mu (A)-\nu (A)\right|:A\in \Sigma \,\right\}}$

и его значения нетривиальны. Вышеуказанный фактор обычно опускается (как и принято в статье total variation distance of probability measures ). Неформально, это наибольшая возможная разница между вероятностями, которые два распределения вероятностей могут назначить одному и тому же событию. Для категориального распределения можно записать total variation distance следующим образом ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )=\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|\;.}$

Его также можно нормализовать до значений, уменьшив вдвое предыдущее определение следующим образом: ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|}$^[3]

Основные свойства

Полная вариация дифференцируемых функций

Полная вариация функции может быть выражена как интеграл, включающий заданную функцию, а не как супремум функционалов определений 1.1 и 1.2 . ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle f}$

Форма полной вариации дифференцируемой функции одной переменной

Теорема 1. Полная вариация дифференцируемой функции , определенной на интервале , имеет следующее выражение, если она интегрируема по Риману ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x}$

Если дифференцируема и монотонна , то вышесказанное упрощается до ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=|f(a)-f(b)|}$

Для любой дифференцируемой функции мы можем разложить интервал области определения на подынтервалы (при этом ), в которых локально монотонно, тогда полную вариацию по можно записать как сумму локальных вариаций на этих подынтервалах: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,a_{1}],[a_{1},a_{2}],\dots ,[a_{N},b]}$ ${\displaystyle a<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{N}<b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{a}^{b}(f)&=V_{a}^{a_{1}}(f)+V_{a_{1}}^{a_{2}}(f)+\,\cdots \,+V_{a_{N}}^{b}(f)\\[0.3em]&=|f(a)-f(a_{1})|+|f(a_{1})-f(a_{2})|+\,\cdots \,+|f(a_{N})-f(b)|\end{aligned}}}$

Вид полной вариации дифференцируемой функции многих переменных

Теорема 2. Для функции , определенной на ограниченном открытом множестве , с классом , полная вариация имеет следующее выражение ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f,\Omega )=\int _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x}$.

Доказательство

Первым шагом доказательства является доказательство равенства, которое следует из теоремы Гаусса–Остроградского .

Лемма

При условиях теоремы справедливо следующее равенство:

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi }$

Доказательство леммы

Из теоремы Гаусса–Остроградского :

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \mathbf {R} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} }$

подставляя , имеем: ${\displaystyle \mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} }$

где ноль на границе по определению: ${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\varphi } _{i}\right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f}$

Доказательство равенства

При условиях теоремы из леммы имеем:

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\varphi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

в последней части можно было бы опустить, поскольку по определению ее существенный супремум не превышает единицы. ${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$

С другой стороны, мы рассматриваем и , что является приближением с точностью до в с тем же интегралом. Мы можем сделать это, поскольку плотно в . Теперь снова подставим в лемму: ${\displaystyle \theta _{N}:=-\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\mathbb {I} _{\{\nabla f\neq 0\}}{\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}}$ ${\displaystyle \theta _{N}^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \theta _{N}}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }f\operatorname {div} \theta _{N}^{*}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\{\nabla f\neq 0\}}\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\left[-N,N\right]\cap {\{\nabla f\neq 0\}}}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|\end{aligned}}}$

Это означает, что у нас есть сходящаяся последовательность, которая стремится к , а также мы знаем, что . QED ${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } }$ ${\textstyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$ ${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

Из доказательства видно, что супремум достигается, когда

${\displaystyle \varphi \to {\frac {-\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}.}$

Говорят, что функция имеет ограниченную вариацию , если ее полная вариация конечна. ${\displaystyle f}$

Полная вариация меры

Полная вариация — это норма, определенная на пространстве мер ограниченной вариации. Пространство мер на σ-алгебре множеств является банаховым пространством , называемым пространством ca , относительно этой нормы. Оно содержится в большем банаховом пространстве, называемом пространством ba , состоящем из конечно-аддитивных (в отличие от счетно-аддитивных) мер, также с той же нормой. Функция расстояния , связанная с нормой, порождает расстояние полной вариации между двумя мерами μ и ν .

Для конечных мер на R связь между полной вариацией меры μ и полной вариацией функции, как описано выше, выглядит следующим образом. При заданной μ определите функцию как ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (t)=\mu ((-\infty ,t])~.}$

Тогда полная вариация знаковой меры μ равна полной вариации, в указанном выше смысле, функции . В общем случае полная вариация знаковой меры может быть определена с помощью теоремы разложения Жордана следующим образом: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \|\mu \|_{TV}=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)~,}$

для любой знакопеременной меры μ на измеримом пространстве . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

Приложения

Полную вариацию можно рассматривать как неотрицательный действительный функционал, определенный на пространстве действительных функций (для случая функций одной переменной) или на пространстве интегрируемых функций (для случая функций нескольких переменных). Как функционал полная вариация находит применение в нескольких областях математики и техники, таких как оптимальное управление , численный анализ и вариационное исчисление , где решение определенной задачи должно минимизировать ее значение. Например, использование функционала полной вариации распространено в следующих двух типах задач

• Численный анализ дифференциальных уравнений : это наука о нахождении приближенных решений дифференциальных уравнений . Приложения полной вариации к этим проблемам подробно описаны в статье " уменьшение полной вариации "
• Удаление шума из изображений : в обработке изображений удаление шума представляет собой набор методов, используемых для снижения шума в изображении , восстановленном из данных, полученных электронными средствами, например, путем передачи данных или зондирования . « Полное удаление шума с вариацией » — это название для применения полного удаления шума с вариацией для снижения шума изображения; более подробную информацию можно найти в статьях (Rudin, Osher & Fatemi 1992) и (Caselles, Chambolle & Novaga 2007). Разумное расширение этой модели для цветных изображений, называемое Colour TV, можно найти в (Blomgren & Chan 1998).

Смотрите также

• Ограниченная вариация
• p-вариация
• Общее изменение уменьшается
• Полное шумоподавление вариации
• Квадратичная вариация
• Общее расстояние вариации вероятностных мер
• Тест Колмогорова-Смирнова
• Анизотропная диффузия

Примечания

1. По данным Голубова и Витушкина (2001).
2. Амброзио, Луиджи; Фуско, Никола; Паллара, Диего (2000). Функции ограниченной вариации и проблемы свободного разрыва. Oxford University Press. стр. 119. ISBN 9780198502456.
3. Гиббс, Элисон; Фрэнсис Эдвард Су (2002). «О выборе и ограничении вероятностных метрик» (PDF) . стр. 7. Получено 8 апреля 2017 г.

Исторические справки

• Арзела, Чезаре (7 мая 1905 г.), «Sulle funzioni di Due Variabili a variazione Limitata (О функциях двух переменных ограниченной вариации)», Rendiconto delle Sessioni della Reale Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna , Nuova serie (на итальянском языке) , IX (4): 100–107, JFM  36.0491.02, заархивировано из оригинала 7 августа 2007 г..
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Арцела", Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Фреше", Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Харди", Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Пьерпона", Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Витали", Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация плоскости Тонелли", Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И.; Витушкин, Анатолий Г. (2001) [1994], "Вариация функции", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Джордан, Камилла (1881), «Sur la série de Fourier», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 92 : 228–230, JFM  13.0184.01(доступно на Gallica ). По словам Бориса Голубова, это первая статья о функциях ограниченной вариации.
• Хан, Ганс (1921), Theorie der reellen Funktionen (на немецком языке), Берлин: Springer Verlag, стр. VII + 600, JFM  48.0261.09.
• Витали, Джузеппе (1908) [17 декабря 1907 г.], «Sui gruppi di punti e sulle funzioni di Variabili Reali (О группах точек и функциях действительных переменных)», Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (на итальянском языке), 43 : 75–92, JFM  39.0101.05, заархивировано из оригинала 31 марта 2009 г.Статья, содержащая первое доказательство теоремы Витали о покрытии .

Ссылки

• Адамс, К. Рэймонд; Кларксон, Джеймс А. (1933), «Об определениях ограниченной вариации для функций двух переменных», Труды Американского математического общества , 35 (4): 824–854, doi : 10.1090/S0002-9947-1933-1501718-2 , JFM  59.0285.01, MR  1501718, Zbl  0008.00602.
• Чезари, Ламберто (1936), «Sulle funzioni a variazione limitata (О функциях ограниченной вариации)», Annali della Scuola Normale Superiore , II (на итальянском языке), 5 (3–4): 299–313, JFM  62.0247.03 , МР  1556778, Збл  0014.29605. Доступно в Numdam.

• Леони, Джованни (2017), Первый курс по пространствам Соболева: Второе издание , Аспирантура по математике, Американское математическое общество, стр. xxii+734, ISBN 978-1-4704-2921-8.
• Сакс, Станислав (1937). Теория интеграла. Монография Математическая. Том. 7 (2-е изд.). Варшава – Львов: GE Stechert & Co., стр. VI+347. ЖФМ  63.0183.05. Збл  0017.30004.. (доступно в Польской виртуальной научной библиотеке). Перевод на английский язык с французского оригинала Лоренса Чисхолма Янга с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха .
• Рудин, Уолтер (1966), Действительный и комплексный анализ , Серия Макгроу-Хилла по высшей математике (1-е изд.), Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, стр. xi+412, MR  0210528, Zbl  0142.01701.

Внешние ссылки

Одна переменная

• «Общая вариация» на PlanetMath .

Одна и более переменных

• Функция ограниченной вариации в Энциклопедии математики

Теория меры

• Роуленд, Тодд. «Полная вариация». MathWorld ..
• Разложение Жордана на PlanetMath ..
• Разложение Жордана в Encyclopedia of Mathematics

Приложения

• Казель, Висент; Шамболь, Антонин; Новага, Маттео (2007), Множество разрывов решений проблемы шумоподавления в телевизионных сигналах и некоторые расширения, SIAM , Многомасштабное моделирование и имитация, т. 6, № 3, архивировано из оригинала 27.09.2011(работа, посвященная применению полной вариации в задачах шумоподавления при обработке изображений ).

• Рудин, Леонид И.; Ошер, Стэнли; Фатеми, Эмад (1992), "Нелинейные алгоритмы удаления шума на основе полной вариации", Physica D: Nonlinear Phenomena , 60 (1–4), Physica D: Nonlinear Phenomena 60.1: 259-268: 259–268, Bibcode : 1992PhyD...60..259R, doi : 10.1016/0167-2789(92)90242-F.

• Blomgren, Peter; Chan, Tony F. (1998), "Цветное телевидение: методы полной вариации для восстановления векторных изображений", IEEE Transactions on Image Processing , 7 (3), Обработка изображений, IEEE Transactions on, т. 7, № 3: 304-309: 304, Bibcode : 1998ITIP....7..304B, doi : 10.1109/83.661180, PMID  18276250.

• Тони Ф. Чан и Джеки (Цзяньхун) Шен (2005), Обработка и анализ изображений — вариационные, уравнения в частных производных, вейвлет- и стохастические методы, SIAM , ISBN 0-89871-589-X (с глубоким освещением и широким применением полных вариаций в современной обработке изображений, начатой ​​Рудином, Ошером и Фатеми).