Полностью ограниченное пространство

Обобщение компактности

В топологии и смежных разделах математики полная ограниченность является обобщением компактности для обстоятельств, в которых множество не обязательно замкнуто . Полностью ограниченное множество может быть покрыто конечным числом подмножеств каждого фиксированного «размера » (где значение «размера» зависит от структуры окружающего пространства ).

Термин предкомпактный (или предкомпактный ) иногда используется в том же значении, но предкомпактный также используется для обозначения относительно компактного . Эти определения совпадают для подмножеств полного метрического пространства , но не в общем случае.

В метрических пространствах

[0, 1] ² является полностью ограниченным пространством, поскольку для любого ε > 0 единичный квадрат может быть покрыт конечным числом открытых дисков радиуса ε .

Метрическое пространство вполне ограничено тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа существует конечный набор открытых шаров радиуса , центры которых лежат в M , а объединение содержит  M. Эквивалентно, метрическое пространство M вполне ограничено тогда и только тогда , когда для каждого существует конечное покрытие , такое что радиус каждого элемента покрытия не превышает . Это эквивалентно существованию конечной ε-сети . ^[1] Метрическое пространство называется вполне ограниченным, если каждая последовательность допускает подпоследовательность Коши; в полных метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено. ^[2] ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Каждое полностью ограниченное пространство ограничено (как ограничено объединение конечного числа ограниченных множеств). Обратное верно для подмножеств евклидова пространства (с топологией подпространства ), но не в общем случае. Например, бесконечное множество, снабженное дискретной метрикой , ограничено, но не полностью ограничено: ^[3] каждый дискретный шар радиуса или меньше является синглетоном, и никакое конечное объединение синглетонов не может покрыть бесконечное множество. ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$

Равномерные (топологические) пространства

Метрика появляется в определении полной ограниченности только для того, чтобы гарантировать, что каждый элемент конечного покрытия имеет сопоставимый размер и может быть ослаблен до размера однородной структуры . Подмножество S однородного пространства X является полностью ограниченным тогда и только тогда, когда для любого окружения E существует конечное покрытие S подмножествами X , каждое из декартовых квадратов которых является подмножеством E. (Другими словами, E заменяет «размер» ε , и подмножество имеет размер E, если его декартов квадрат является подмножеством E. ) ^[4]

Определение можно распространить еще дальше на любую категорию пространств с понятием компактности и пополнения по Коши : пространство вполне ограничено тогда и только тогда, когда его (Коши) пополнение компактно.

Примеры и элементарные свойства

• Всякий компактный набор полностью ограничен, когда бы ни было определено это понятие.
• Каждое вполне ограниченное множество ограничено.
• Подмножество действительной прямой или, в более общем смысле, конечномерного евклидова пространства полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено . ^{[5] [3]}
• Единичный шар в гильбертовом пространстве или, в более общем случае, в банаховом пространстве является полностью ограниченным (в топологии нормы) тогда и только тогда, когда пространство имеет конечную размерность .
• Равностепенно непрерывные ограниченные функции на компактном множестве предкомпактны в равномерной топологии ; это теорема Арцела–Асколи .
• Метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда , когда оно гомеоморфно вполне ограниченному метрическому пространству. ^[3]
• Замыкание полностью ограниченного подмножества снова полностью ограничено. ^[6]

Сравнение с компактными наборами

В метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно полно и полностью ограничено; ^[5] без аксиомы выбора имеет место только прямое направление. Предкомпактные множества разделяют ряд свойств с компактными множествами.

• Подобно компактным множествам, конечное объединение вполне ограниченных множеств вполне ограничено.
• В отличие от компактных множеств, каждое подмножество полностью ограниченного множества снова полностью ограничено.
• Непрерывный образ компактного множества компактен. Равномерно непрерывный образ предкомпактного множества предкомпактен.

В топологических группах

Хотя понятие полной ограниченности тесно связано с метрическими пространствами, большая алгебраическая структура топологических групп позволяет отказаться от некоторых свойств разделения . Например, в метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно полно и полностью ограничено. Согласно определению ниже, то же самое справедливо для любого топологического векторного пространства (не обязательно хаусдорфова или полного). ^{[6] [7] [8]}

Общая логическая форма определения такова : подмножество пространства является полностью ограниченным тогда и только тогда, когда для любого размера существует конечное покрытие такого , что каждый элемент имеет размер не более , тогда оно является полностью ограниченным тогда и только тогда, когда оно является полностью ограниченным, если рассматривать его как подмножество. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle X}$

Мы принимаем соглашение, что для любой окрестности единицы подмножество называется ( слева ) -малым тогда и только тогда, когда ^[6] Подмножество топологической группы является ( слева ) вполне ограниченным , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (-S)+S\subseteq U.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

1. Определение : Для любой окрестности единицы существует конечное число таких, что ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right):=\left(x_{1}+U\right)+\cdots +\left(x_{n}+U\right).}$
2. Для любой окрестности существует конечное подмножество такое, что (где правая часть — сумма Минковского ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq F+U}$ ${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$
3. Для любой окрестности существует конечное число подмножеств таких , что и каждое из них является -малым. ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle U}$
4. Для любого заданного фильтра-подбазы фильтра соседства элемента тождества (состоящего из всех соседств в ) и для каждого существует покрытие конечным числом -малых подмножеств ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$
5. ${\displaystyle S}$ограничено по Коши : для любой окрестности единицы и любого счетно бесконечного подмножества существуют различные такие, что ^[6] (Если конечно, то это условие выполняется бессодержательно ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x,y\in I}$ ${\displaystyle x-y\in U.}$ ${\displaystyle S}$
6. Любое из следующих трех множеств удовлетворяет (любому из приведенных выше определений) и является (слева) полностью ограниченным:
   1. Закрытие в [ ⁶ ] ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$
      • Наличие этого множества в списке означает, что выполняется следующая характеристика: является (слева) полностью ограниченным тогда и только тогда, когда является (слева) полностью ограниченным (в соответствии с любым из определяющих условий, упомянутых выше). Та же характеристика выполняется для других множеств, перечисленных ниже. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$
   2. Образ под каноническим частным , который определяется как (где — единичный элемент). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$ ${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$ ${\displaystyle 0}$
   3. Сумма ^[9] ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Термин «предкомпактный» обычно появляется в контексте топологических векторных пространств Хаусдорфа. ^{[10] [11]} В этом случае все следующие условия также эквивалентны (левой) полной ограниченности: ${\displaystyle S}$

7. В завершении закрытия компактно . ^[10] [ ^12] ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}S}$ ${\displaystyle S}$
8. Каждый ультрафильтр — это фильтр Коши . ${\displaystyle S}$

Определение полностью ограниченного справа аналогично: просто поменяем порядок произведений.

Условие 4 подразумевает, что любое подмножество полностью ограничено (фактически компактно; см. § Сравнение с компактными множествами выше). Если не является хаусдорфовым, то, например, является компактным полным множеством, которое не замкнуто. ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Топологические векторные пространства

Любое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой относительно сложения, поэтому вышеуказанные условия применимы. Исторически утверждение 6(a) было первой переформулировкой полной ограниченности для топологических векторных пространств ; оно относится к статье Джона фон Неймана 1935 года. ^[13]

Это определение обладает привлекательным свойством, заключающимся в том, что в локально выпуклом пространстве, наделенном слабой топологией , предкомпактные множества являются в точности ограниченными множествами .

Для сепарабельных банаховых пространств существует хорошая характеристика предкомпактных множеств (в топологии нормы) в терминах слабо сходящихся последовательностей функционалов: если — сепарабельное банахово пространство, то оно является предкомпактным тогда и только тогда, когда каждая слабо сходящаяся последовательность функционалов сходится равномерно на ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S.}$

Взаимодействие с выпуклостью

• Сбалансированная оболочка полностью ограниченного подмножества топологического векторного пространства снова полностью ограничена. ^{[6] [15]}
• Сумма Минковского двух компактных (вполне ограниченных) множеств компактна (соответственно, вполне ограничена).
• В локально выпуклом (хаусдорфовом) пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка вполне ограниченного множества вполне ограничены тогда и только тогда, когда являются полными. ^[16] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Смотрите также

• Компактное пространство
• Локально компактное пространство
• Мера некомпактности
• Ортокомпактное пространство
• Паракомпактное пространство
• Относительно компактное подпространство

Ссылки

1. Сазерленд 1975, стр. 139.
2. "Последовательности Коши, полнота и третья формулировка компактности" (PDF) . Математический факультет Гарвардского университета .
3. Willard 2004, стр. 182.
4. Уиллард, Стивен (1970). Лумис, Линн Х. (ред.). Общая топология. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. стр. 262. См. определение 39.7 и лемму 39.8.
5. Колмогоров, АН; Фомин, СВ (1957) [1954]. Элементы теории функций и функционального анализа,. Т. 1. Перевод Борона, Лео Ф. Рочестер, Нью-Йорк: Graylock Press. С. 51–3.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–66.
7. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 55–56.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 55–66.
9. Шефер и Вольф 1999, стр. 12–35.
10. Schaefer & Wolff 1999, стр. 25.
11. Трев 2006, стр. 53.
12. Jarchow 1981, стр. 56–73.
13. фон Нейман, Джон (1935). «О полных топологических пространствах». Труды Американского математического общества . 37 (1): 1–20. doi : 10.2307/1989693 . ISSN  0002-9947.
14. Филлипс, Р. С. (1940). «О линейных преобразованиях». Annals of Mathematics : 525.
15. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 156–175.
16. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 67–113.

Библиография

• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Sutherland, WA (1975). Введение в метрические и топологические пространства . Oxford University Press. ISBN 0-19-853161-3. Збл  0304.54002.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.