Трансцендентальное расширение

Расширение поля, которое не является алгебраическим

В математике трансцендентное расширение — это такое расширение поля , что существует элемент в поле , трансцендентный над полем ; то есть элемент, который не является корнем любого одномерного многочлена с коэффициентами в . Другими словами, трансцендентное расширение — это расширение поля, которое не является алгебраическим . Например, и оба являются трансцендентальными расширениями ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Базис трансцендентности расширения поля (или базис трансцендентности над ) — максимальное алгебраически независимое подмножество над . Базисы трансцендентности имеют много общих свойств с базами векторных пространств . В частности, все базы трансцендентности расширения поля имеют одинаковую мощность , называемую степенью трансцендентности расширения. Таким образом, расширение поля является трансцендентным расширением тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности не равна нулю. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K.}$

Трансцендентные расширения широко используются в алгебраической геометрии . Например, размерность алгебраического многообразия — это степень трансцендентности его функционального поля . Кроме того, поля глобальных функций являются трансцендентными расширениями первой степени конечного поля и играют в теории чисел в положительной характеристике роль, очень похожую на роль полей алгебраических чисел в нулевой характеристике.

Основа трансцендентности

Лемма Цорна показывает, что существует максимальное линейно независимое подмножество векторного пространства (т. е. базис). Аналогичный аргумент с леммой Цорна показывает, что для данного расширения поля L / K существует максимальное алгебраически независимое подмножество L над K. ^[1] Тогда это называется базисом трансцендентности . По максимальности алгебраически независимое подмножество S в L над K является базисом трансцендентности тогда и только тогда, когда L является алгебраическим расширением K ( S ) , поля, полученного присоединением элементов S к K.

Лемма обмена (версия для алгебраически независимых множеств ^[2] ) означает, что если S и S' являются базами трансцендентности, то S и S' имеют одинаковую мощность . Тогда общая мощность баз трансцендентности называется степенью трансцендентности L над K и обозначается или . Таким образом, существует аналогия: основа трансцендентности и степень трансцендентности, с одной стороны, и основа и измерение — с другой. Эту аналогию можно сделать более формальной, заметив, что линейная независимость в векторных пространствах и алгебраическая независимость в расширениях полей образуют примеры финитарных матроидов ( предгеометрий ). Любой финитный матроид имеет базис, причем все базисы имеют одинаковую мощность. ^[3] ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L}$ ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} (L/K)}$

Если G является порождающим множеством L (т. е. L = K ( G ) ), то базис трансцендентности для L можно взять как подмножество G. В частности, минимальная мощность порождающих множеств L над K . В частности, конечно порожденное расширение поля допускает конечный базис трансцендентности. ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq }$

Если поле K не указано, степень трансцендентности поля L — это его степень относительно некоторого фиксированного базового поля; например, простое поле той же характеристики или K , если L — поле алгебраических функций над K.

Расширение поля L / K является чисто трансцендентным , если существует подмножество S в L , алгебраически независимое над K и такое, что L = K ( S ).

Разделяющий базис трансцендентности L / K — это базис трансцендентности S такой, что L — сепарабельное алгебраическое расширение над K ( S ). Расширение поля L / K называется сепарабельно порожденным, если оно допускает разделяющий базис трансцендентности. ^[4] Если расширение поля конечно порождено и оно также порождено сепарабельно, то каждый порождающий набор расширения поля содержит разделяющий базис трансцендентности. ^[5] Над совершенным полем каждое конечно порожденное расширение поля является сепарабельно порожденным; т. е. он допускает конечный разделяющий базис трансцендентности. ^[6]

Примеры

• Расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности равна 0; пустое множество служит здесь основой трансцендентности.
• Поле рациональных функций от n переменных K ( x1 _, ..., _xn ) (т.е. поле частных кольца полиномов K [ x1 , ..., _xn ] ) является чисто трансцендентным расширением с _{трансцендентностью} степень n над K ; мы можем, например, взять { x ₁ ,..., x _n } в качестве базы трансцендентности.
• В более общем смысле, степень трансцендентности функционального поля L n -мерного алгебраического многообразия над основным полем K равна n .
• Q ( √2 , e ) имеет степень трансцендентности 1 над Q , поскольку √2 является алгебраическим , а e — трансцендентным .
• Степень трансцендентности C или R над Q — это мощность континуума . (Поскольку Q счетно, поле Q ( S ) будет иметь ту же мощность, что и S , для любого бесконечного множества S , и любое алгебраическое расширение Q ( S ) снова будет иметь ту же мощность.)
• Степень трансцендентности Q ( e , π ) над Q равна 1 или 2; точный ответ неизвестен, поскольку неизвестно, являются ли e и π алгебраически независимыми.
• Если S — компактная риманова поверхность , то поле C ( S ) мероморфных функций на S имеет степень трансцендентности 1 над C.

Факты

Если M / L и L / K являются расширениями полей, то

trdeg( M / K ) = trdeg( M / L ) + trdeg( L / K )

Это доказывается, показывая, что базис трансцендентности M / K может быть получен путем объединения базиса трансцендентности M / L и одного базиса L / K .

Если множество S алгебраически независимо над K, то поле K ( S ) изоморфно полю рациональных функций над K в множестве переменных той же мощности, что и S. Каждая такая рациональная функция является дробью двух многочленов из конечное число этих переменных с коэффициентами из K.

Два алгебраически замкнутых поля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую характеристику и одинаковую степень трансцендентности над своим простым полем. ^[7]

Степень трансцендентности области целостности

Пусть это целые области . Если и обозначить поля частных A и B , то степень трансцендентности B над A определяется как степень трансцендентности расширения поля ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle Q(A)}$ ${\displaystyle Q(B)}$ ${\displaystyle Q(B)/Q(A).}$

Лемма Нётер о нормализации подразумевает, что если R — область целостности, которая является конечно порожденной алгеброй над полем k , то размерность Крулля R является степенью трансцендентности R над k .

Это имеет следующую геометрическую интерпретацию: если X — аффинное алгебраическое многообразие над полем k , размерность Крулла его координатного кольца равна степени трансцендентности его функционального поля , и это определяет размерность X. Отсюда следует, что, если X не является аффинным многообразием, его размерность (определяемая как степень трансцендентности его функционального поля) также может быть определена локально как размерность Крулла координатного кольца ограничения многообразия на открытое аффинное подмножество.

Отношения к дифференциалам

Пусть – конечно порожденное расширение поля. Тогда ^[8] ${\displaystyle K/k}$

${\displaystyle \dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).}$

где обозначает модуль келеровых дифференциалов . Кроме того, в приведенном выше равенстве выполняется тогда и только тогда, когда K сепарабельно порождено над k (то есть оно допускает разделяющий базис трансцендентности). ${\displaystyle \Omega _{K/k}}$

Приложения

Базы трансцендентности — полезный инструмент для доказательства различных утверждений о существовании гомоморфизмов полей. Вот пример: для данного алгебраически замкнутого поля L , подполя K и полевого автоморфизма f поля K существует полевой автоморфизм L , который расширяет f (т. е. ограничением которого на K является f ). Доказательство начинается с базиса трансцендентности S группы L / K . Элементы K ( S ) — это просто частные многочленов от элементов S с коэффициентами из K ; поэтому автоморфизм f можно расширить до одного из K ( S ), отправив каждый элемент S в себя. Поле L является алгебраическим замыканием K ( S ) , и алгебраические замыкания единственны с точностью до изоморфизма; это означает , что автоморфизм может быть расширен от K ( S ) до L.

В качестве еще одного приложения мы покажем, что существует (много) собственных подполей поля комплексных чисел C , которые (как поля) изоморфны C . Для доказательства возьмем базис трансцендентности S группы C / Q . S — бесконечное (даже несчетное) множество, поэтому существует (много) отображений f : S → S , которые являются инъективными , но не сюръективными . Любое такое отображение можно расширить до гомоморфизма полей Q ( S ) → Q ( S ), который не является сюръективным. Такой гомоморфизм поля, в свою очередь, может быть расширен до алгебраического замыкания C , и полученные гомоморфизмы полей C → C не являются сюръективными.

Степень трансцендентности может дать интуитивное понимание размера поля. Например, теорема Зигеля утверждает , что если X — компактное связное комплексное многообразие размерности n и K ( X ) обозначает поле (глобально определенных) мероморфных функций на нем, то trdeg _C ( K ( X )) ≤  п .

Смотрите также

• Теорема Люрота — теорема о чисто трансцендентных расширениях первой степени.
• Регулярное продление

Рекомендации

1. Милн, Теорема 9.13.
2. Милн, Лемма 9.6.
3. Джоши, К.Д. (1997), Прикладные дискретные структуры, New Age International, стр. 909, ISBN 9788122408263.
4. Hartshorne 1977, глава I, § 4, непосредственно перед теоремой 4.7.A.
5. Хартсхорн 1977, глава I, теорема 4.7.A.
6. Милн, Теорема 9.27.
7. Милн, Предложение 9.16.
8. Хартсхорн 1977, гл. II, Теорема 8.6. А

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Милн, Джеймс, Теория поля (PDF)
• § 6.3. Шимуры , Горо (1971), Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Публикации Математического общества Японии, том. 11, Токио: Иванами Шотен, Zbl  0221.10029