Атлас (топология)

Набор диаграмм, описывающих многообразие

В математике , в частности топологии , атлас — это понятие, используемое для описания многообразия . Атлас состоит из отдельных диаграмм , которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. В целом, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных с ним структур, таких как векторные расслоения и другие расслоения волокон .

Диаграммы

Определение атласа зависит от понятия карты . Карта для топологического пространства M — это гомеоморфизм открытого подмножества U пространства M на открытое подмножество евклидова пространства . Карта традиционно записывается как упорядоченная пара . ^[1] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$

Когда система координат выбирается в евклидовом пространстве, это определяет координаты на : координаты точки определяются как координаты Пара, образованная диаграммой, и такая система координат называется локальной системой координат , координатной диаграммой , координатной клеткой , координатной картой или локальной системой координат . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi (P).}$

Формальное определение атласа

Атлас для топологического пространства — это индексированное семейство карт, на которых покрывается (то есть ). Если для некоторого фиксированного n изображение каждой карты является открытым подмножеством n -мерного евклидова пространства , то говорят, что это n -мерное многообразие . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$ ${\displaystyle M}$

Множественное число слова atlas — atlases , хотя некоторые авторы используют atlantes . ^{[2] [3]}

Атлас на -мерном многообразии называется адекватным атласом, если выполняются следующие условия: ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• Изображение каждой диаграммы либо , либо , где - замкнутое полупространство , ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$является локально конечным открытым покрытием , и ${\displaystyle M}$
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$, где — открытый шар радиуса 1 с центром в начале координат. ${\displaystyle B_{1}}$

Каждое многообразие , удовлетворяющее второй арифметической системе , допускает адекватный атлас. ^[4] Более того, если — открытое покрытие многообразия, удовлетворяющего второй арифметической системе , то существует адекватный атлас на , такой что — уточнение . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Карты перехода

Карта перехода предоставляет способ сравнения двух карт атласа. Чтобы сделать это сравнение, мы рассматриваем состав одной карты с инверсией другой . Этот состав не будет четко определен, если мы не ограничим обе карты пересечением их областей определения . (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты по их перекрытию, а именно по европейской части России.)

Чтобы быть более точным, предположим, что и являются двумя картами для многообразия M, такого, что непусто . Карта перехода — это карта, определяемая формулой ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ $${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

Обратите внимание, что поскольку и являются гомеоморфизмами, отображение перехода также является гомеоморфизмом. ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

Больше структуры

Часто требуется больше структуры на многообразии, чем просто топологическая структура. Например, если требуется однозначное понятие дифференциации функций на многообразии, то необходимо построить атлас, функции перехода которого дифференцируемы . Такое многообразие называется дифференцируемым . При наличии дифференцируемого многообразия можно однозначно определить понятие касательных векторов , а затем и производных по направлению .

Если каждая функция перехода является гладким отображением , то атлас называется гладким атласом , а само многообразие называется гладким . В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы отображения перехода имели только k непрерывных производных, в этом случае атлас называется . ${\displaystyle C^{k}}$

В самом общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется -атласом . Если отображения перехода между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию , то атлас определяет структуру расслоения. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Смотрите также

• Гладкий атлас
• Гладкая рамка

Ссылки

1. Яних, Клаус (2005). Векторанализ (на немецком языке) (5-е изд.). Спрингер. п. 1. ISBN 3-540-23741-0.
2. Йост, Юрген (11 ноября 2013 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857. Получено 16 апреля 2018 г. – через Google Books.
3. Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (9 марта 2013 г.). Вариационное исчисление II. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012. Получено 16 апреля 2018 г. – через Google Books.
4. Kosinski, Antoni (2007). Дифференциальные многообразия . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC  853621933.

• Дьедонне, Жан (1972). "XVI. Дифференциальные многообразия". Трактат по анализу . Чистая и прикладная математика. Том III. Перевод Яна Г. Макдональда . Academic Press . MR  0350769.
• Ли, Джон М. (2006). Введение в гладкие многообразия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Лумис, Линн ; Стернберг, Шломо (2014). «Дифференцируемые многообразия». Advanced Calculus (пересмотренное издание). World Scientific. стр. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0. МР  3222280.
• Сепански, Марк Р. (2007). Компактные группы Ли . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
• Husemoller, D (1994), Пучки волокон , Springer, Глава 5 «Локальное координатное описание пучков волокон».

Внешние ссылки

• Атлас Роуленда, Тодда