Время нарастания

Время, необходимое сигналу для перехода на высокое значение

В электронике при описании ступенчатой ​​функции напряжения или тока время нарастания — это время, необходимое сигналу для изменения от заданного низкого значения до заданного высокого значения. ^[1] Эти значения могут быть выражены в виде отношений ^[2] или, что то же самое, в процентах ^[3] по отношению к заданному эталонному значению. В аналоговой и цифровой электронике эти проценты обычно составляют 10% и 90% (или, что эквивалентно, ^{0,1 и} 0,9 ⁾ высоты выходного шага: ^[4] однако обычно используются и другие значения . ^[5] Для приложений в теории управления, согласно Левину (1996, стр. 158), время нарастания определяется как « время, необходимое для повышения реакции от x% до y% от ее конечного значения », от 0% до 100% время нарастания обычно для систем второго порядка с перезатуханием , от 5% до 95% для критически демпфированных и от 10% до 90% для систем с недостаточным демпфированием . ^[6] Согласно Орвилеру (1969, стр. 22), термин «время нарастания» применяется как к положительному, так и к отрицательному переходному процессу , даже если отображаемое отрицательное отклонение обычно называют временем спада . ^[7]

Обзор

Время нарастания — аналоговый параметр фундаментальной важности в высокоскоростной электронике , поскольку оно является мерой способности схемы реагировать на быстрые входные сигналы. ^[8] Было предпринято много усилий по сокращению времени нарастания цепей, генераторов и оборудования для измерения и передачи данных. Эти сокращения, как правило, связаны с исследованиями устройств с более быстрыми электронами и методами уменьшения параметров паразитных цепей (в основном емкостей и индуктивностей). Для приложений, выходящих за рамки высокоскоростной электроники , иногда желательно длительное (по сравнению с достижимым уровнем техники) время нарастания: например, затемнение света , когда более длительное время нарастания приводит, среди прочего, к более длительному времени нарастания. срок службы лампочки или управление аналоговыми сигналами цифровыми с помощью аналогового переключателя , где более длительное время нарастания означает меньшую емкостную проходимость и, следовательно, меньший шум связи с управляемыми аналоговыми сигнальными линиями.

Факторы, влияющие на время нарастания

Для данного выхода системы время нарастания зависит как от времени нарастания входного сигнала, так и от характеристик системы . ^[9]

Например, значения времени нарастания в резистивной цепи обусловлены главным образом паразитной емкостью и индуктивностью . Поскольку каждая цепь имеет не только сопротивление , но также емкость и индуктивность , задержка напряжения и/или тока на нагрузке очевидна до тех пор, пока не будет достигнуто устойчивое состояние . В чистой RC-цепи время нарастания выходного напряжения (от 10% до 90%) примерно равно 2,2 RC . ^[10]

Альтернативные определения

Иногда используются и другие определения времени нарастания, помимо определения, данного Федеральным стандартом 1037C (1997, стр. R-22) и его небольшого обобщения, данного Левином (1996, стр. 158): ^[11] эти альтернативные определения отличаются от стандарта не только рассматриваемыми референтными уровнями. Например, иногда используется временной интервал, графически соответствующий точкам пересечения касательной, проведенной через точку 50% отклика ступенчатой ​​функции. ^[12] Другое определение, введенное Элмором (1948, стр. 57), ^[13] использует понятия статистики и теории вероятностей . Рассматривая переходную реакцию V ( t ) , он переопределяет время задержки t _D как первый момент его первой производной V' ( t ) , т.е.

${\displaystyle t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.}$

Наконец, он определяет время нарастания t _r, используя второй момент

${\displaystyle t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}}$

Время нарастания модельных систем

Обозначения

Здесь перечислены все обозначения и допущения, необходимые для анализа.

• Следуя Левину (1996, стр. 158, 2011, 9-3 (313)), мы определяем x% как нижнее значение в процентах и ​​y% как верхнее процентное значение относительно опорного значения сигнала, время нарастания которого должно быть оценено. .
• t ₁ — это время, в которое выход анализируемой системы находится на уровне x% от установившегося значения, а t _{2 —} это время, в которое он находится на уровне y% , оба значения измеряются в секундах .
• t _r – время нарастания анализируемой системы, измеряемое в секундах. По определению, $${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}.}$$
• f _L — нижняя граничная частота (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеряемая в герцах .
• f _H — высшая граничная частота (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеряемая в герцах.
• h ( t ) — импульсная характеристика анализируемой системы во временной области.
• H ( ω ) — частотная характеристика анализируемой системы в частотной области.
• Полоса пропускания определяется как и поскольку нижняя частота среза f _L обычно на несколько десятилетий ниже, чем верхняя частота среза f _H , $${\displaystyle BW=f_{H}-f_{L}}$$ $${\displaystyle BW\cong f_{H}}$$
• Все проанализированные здесь системы имеют частотную характеристику, которая простирается до 0 (системы нижних частот), то есть точно. $${\displaystyle f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW}$$
• Для простоты все системы, проанализированные в разделе «Простые примеры расчета времени нарастания», представляют собой электрические сети с единичным коэффициентом усиления , и все сигналы рассматриваются как напряжения : вход представляет собой ступенчатую функцию V ₀ вольт , и это подразумевает, что $${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}}$$
• ζ — коэффициент затухания , а ω ₀ — собственная частота данной системы второго порядка .

Простые примеры расчета времени нарастания

Целью этого раздела является расчет времени нарастания переходного процесса для некоторых простых систем:

Гауссова система отклика

Говорят, что система имеет гауссову характеристику , если она характеризуется следующей частотной характеристикой:

${\displaystyle |H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}}$

где σ > 0 — константа, ^[14] связанная с высокой частотой среза следующим соотношением:

${\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}$

Даже если такого рода частотная характеристика не может быть реализована причинным фильтром , ^[15] его полезность заключается в том, что поведение каскадного соединения ФНЧ первого порядка ближе к поведению этой системы, поскольку число каскадных ступеней асимптотически поднимается до бесконечности . ^[16] Соответствующую импульсную характеристику можно рассчитать с помощью обратного преобразования Фурье показанной частотной характеристики.

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}$

Применяя непосредственно определение переходного процесса ,

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}$

Чтобы определить время нарастания системы от 10% до 90%, необходимо решить для времени два следующих уравнения:

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}$

Используя известные свойства функции ошибок , находится значение t = − t ₁ = t _{2 : поскольку} t _r = t ₂ - t ₁ = 2 t ,

${\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\operatorname {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}$

и наконец

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$^[17]

Однокаскадная низкочастотная RC-сеть

Для простой одноступенчатой ​​низкочастотной RC - сети ^[18] время нарастания от 10% до 90% пропорционально постоянной времени сети τ = RC :

${\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau }$

Константу пропорциональности можно получить, зная переходную реакцию сети на входной сигнал единичной ступенчатой ​​функции с амплитудой V ₀ :

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}$

Решение на время

${\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}$

и наконец,

${\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}$

Поскольку t ₁ и t ₂ таковы, что

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}$

решив эти уравнения, находим аналитическое выражение для t ₁ и t ₂ :

${\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}$

${\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}}$

Таким образом, время нарастания пропорционально постоянной времени: ^[19]

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}$

Теперь, отметив, что

${\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$^[20]

затем

${\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}$

и поскольку граница высоких частот равна полосе пропускания,

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$^[17]

Наконец, обратите внимание, что если вместо этого рассматривать время нарастания от 20% до 80%, t _r становится:

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}$

Однокаскадная низкочастотная сеть LR

Даже для простой однокаскадной низкочастотной сети RL время нарастания от 10% до 90% пропорционально постоянной времени сети τ = L ⁄ R . Формальное доказательство этого утверждения происходит точно так же, как показано в предыдущем разделе: единственная разница между окончательными выражениями для времени нарастания обусловлена ​​различием в выражениях для постоянной времени τ двух разных схем, ведущих в данном случае к следующему результату

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}$

Время нарастания затухающих систем второго порядка

Согласно Левину (1996, стр. 158), для систем с недостаточным демпфированием, используемых в теории управления, время нарастания обычно определяется как время, за которое форма сигнала переходит от 0% до 100% от своего конечного значения: ^[6] соответственно, время нарастания от 0 до 100 % недодемпфированной системы 2-го порядка имеет следующий вид: ^[21]

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]}$

Квадратичная аппроксимация нормированного времени нарастания для системы 2-го порядка, переходная характеристика , отсутствие нулей:

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12}$

где ζ – коэффициент затухания , а ω ₀ – собственная частота сети.

Время нарастания каскадных блоков

Рассмотрим систему, состоящую из n каскадно соединенных невзаимодействующих блоков, каждый из которых имеет время нарастания t i , i _{= 1} , …, n и не имеет перерегулирования в их переходной реакции : предположим также, что входной сигнал первого блока имеет время нарастания значение которого равно t _{r S} . ^[22] После этого его выходной сигнал имеет время нарастания t _{r 0} , равное

${\displaystyle t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}}$

Согласно Valley & Wallman (1948, стр. 77–78), этот результат является следствием центральной предельной теоремы и был доказан Wallman (1950): ^{[23] [24]} , однако представлен подробный анализ проблемы. Petitt & McWhorter (1961, §4–9, стр. 107–115) ^[25] , которые также считают Элмора (1948) первым, кто доказал предыдущую формулу на достаточно строгой основе. ^[26]

Смотрите также

• Время падения
• Частотная характеристика
• Импульсивный ответ
• Шаговый отклик
• Время урегулирования

Примечания

1. «время нарастания», Федеральный стандарт 1037C , 7 августа 1996 г.
2. См., например (Черри и Хупер 1968, стр.6 и стр.306), (Миллман и Тауб 1965, стр. 44) и (Найз 2011, стр. 167).
3. См., например, Левин (1996, стр. 158), (Огата 2010, стр. 170) и (Valley & Wallman 1948, стр. 72).
4. См., например (Черри и Хупер 1968, стр. 6 и стр. 306), (Миллман и Тауб 1965, стр. 44) и (Вэлли и Уоллман 1948, стр. 72).
5. Например, Valley & Wallman (1948, стр. 72, сноска 1) утверждают, что « для некоторых приложений желательно измерять время нарастания между точками 5 и 95 процентов или точками 1 и 99 процентов ».
6. Точно, Левин (1996, стр. 158) утверждает: « Время нарастания — это время, необходимое для того, чтобы отклик увеличился от x% до y% от его конечного значения. Для систем второго порядка с перезатуханием от 0% до 100% Обычно используется время нарастания, а для систем с недостаточным демпфированием (...) обычно используется время нарастания от 10% до 90% . Однако это утверждение неверно, поскольку время нарастания 0–100 % для сверхзатухающей системы управления 2-го порядка бесконечно, как и для RC-сети: это утверждение повторяется и во втором издании книги (Левин 2011, стр. 9-3 (313)).
7. Опять же по Орвилеру (1969, стр. 22).
8. По данным Valley & Wallman (1948, стр. 72), « наиболее важными характеристиками воспроизведения переднего фронта прямоугольного импульса или ступенчатой ​​функции являются время нарастания, обычно измеряемое от 10 до 90 процентов, и » превышение " ". По словам Черри и Хупера (1968, стр. 306), « двумя наиболее важными параметрами прямоугольной характеристики усилителя являются время нарастания и процентный наклон ».
9. См. (Orwiler 1969, стр. 27–29) и раздел «Время нарастания каскадных блоков».
10. См., например, (Valley & Wallman 1948, стр. 73), (Orwiler 1969, стр. 22 и стр. 30) или раздел «Одноступенчатая низкочастотная RC-сеть».
11. См. (Valley & Wallman 1948, стр. 72, сноска 1) и (Elmore 1948, стр. 56).
12. См. (Valley & Wallman 1948, стр. 72, сноска 1) и (Elmore 1948, стр. 56 и стр. 57, рис. 2a).
13. См. также (Petitt & McWhorter 1961, стр. 109–111).
14. См. (Valley & Wallman 1948, стр. 724) и (Petitt & McWhorter 1961, стр. 122).
15. По критерию Пэли-Винера : см., например (Valley & Wallman 1948, стр. 721 и стр. 724). Также Петитт и Маквортер (1961, стр. 122) кратко вспоминают об этом факте.
16. См. (Valley & Wallman 1948, стр. 724), (Petitt & McWhorter 1961, стр. 111, включая сноску 1 и стр.) и (Orwiler 1969, стр. 30).
17. Сравните с (Orwiler 1969, стр. 30).
18. Также называется « однополюсным фильтром ». См. (Черри и Хупер, 1968, стр. 639).
19. Сравните с (Valley & Wallman 1948, стр. 72, формула (2)), (Cherry & Hooper 1968, стр. 639, формула (13.3)) или (Orwiler 1969, стр. 22 и стр. 30).
20. Формальное доказательство этой связи см. в разделе « Связь постоянной времени с полосой пропускания » статьи « Постоянная времени ».
21. См. (Огата 2010, стр. 171).
22. « S » означает «источник», под которым следует понимать источник тока или напряжения .
23. Эта красивая одностраничная статья не содержит никаких расчетов. Генри Уоллман просто составляет таблицу, которую он называет « словарем », сопоставляя концепции электронной инженерии и теории вероятностей : ключом к процессу является использование преобразования Лапласа . Затем он отмечает, следуя за соответствием понятий, установленных « словарем », что переходная характеристика каскада блоков соответствует центральной предельной теореме , и утверждает, что: «Это имеет важные практические следствия, среди них тот факт, что если сеть не имеет перерегулирования, его время отклика неизбежно быстро увеличивается при каскадировании, а именно, как квадратный корень из числа каскадных сетей» (Wallman 1950, стр. 91).
24. См. также (Черри и Хупер, 1968, стр. 656) и (Орвилер, 1969, стр. 27–28).
25. Цитируется (Черри и Хупер, 1968, стр. 656).
26. См. (Петитт и Маквортер, 1961, стр. 109).

Рекомендации

• Черри, EM; Хупер, Делавэр (1968), Усилительные устройства и конструкция усилителя нижних частот , Нью-Йорк – Лондон – Сидней : John Wiley & Sons , стр. xxxii+1036..
• Элмор, Уильям К. (январь 1948 г.), «Переходный процесс затухающих линейных сетей с особым учетом широкополосных усилителей», Журнал прикладной физики , 19 (1): 55–63, Бибкод : 1948JAP....19.. .55E, doi : 10.1063/1.1697872.
• Левин, Уильям С. (1996), Справочник по контролю , Бока-Ратон, Флорида : CRC Press , стр. xvi + 1548, ISBN 0-8493-8570-9.
• Левин, Уильям С. (2011) [1996], Справочник по управлению: основы систем управления (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида : CRC Press , стр. xx+766, ISBN 978-1-4200-7362-1.
• Миллман, Джейкоб; Тауб, Герберт (1965), Импульсные, цифровые и импульсные сигналы , Нью-Йорк – Сент-Луис – Сан-Франциско – Торонто – Лондон – Сидней : McGraw-Hill , стр. xiv+958.
• Отдел национальных систем связи, технологий и стандартов (1 марта 1997 г.), Федеральный стандарт 1037C. Телекоммуникации: Глоссарий терминов в области телекоммуникаций , FSC TELE, том. FED–STD–1037, Вашингтон: Служба информационных технологий Управления общего обслуживания, стр. 488.
• Найз, Норман С. (2011), Разработка систем управления (6-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. xviii+928, ISBN 978-0470-91769-5.
• Огата, Кацухико (2010) [1970], Современная техника управления (5-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси : Прентис Холл , стр. x + 894, ISBN 978-0-13-615673-4.
• Орвилер, Боб (декабрь 1969 г.), Схемы вертикальных усилителей (PDF) , Принципиальные схемы, том. 062-1145-00 (1-е изд.), Бивертон, Орегон : Tektronix , стр. 461.
• Петитт, Джозеф Мэйо ; Маквортер, Малкольм Майерс (1961), Схемы электронных усилителей. Теория и проектирование , Серия McGraw-Hill по электротехнике и электронике, Нью-Йорк – Торонто – Лондон: McGraw-Hill , стр. xiii +325.
• Вэлли, Джордж Э. младший; Уоллман, Генри (1948), «§2 главы 2 и §1–7 главы 7», Ламповые усилители , Серия радиационной лаборатории Массачусетского технологического института, том. 18, Нью-Йорк : McGraw-Hill ., стр. xvii+743..
• Уоллман, Генри (1950), «Переходный процесс и центральная предельная теорема вероятности», в Таубе, А.Х. (ред.), Электромагнитная теория (Массачусетский технологический институт, 29–31 июля 1948 г.) , Труды симпозиумов по прикладной математике, том. 2, Провиденс : Американское математическое общество ., с. 91, МР  0034250, Збл  0035.08102.