Поперечная проекция Меркатора

Адаптация стандартной проекции Меркатора

Поперечная проекция Меркатора

Поперечная картографическая проекция Меркатора ( TM , TMP ) является адаптацией стандартной проекции Меркатора . Поперечная версия широко используется в национальных и международных картографических системах по всему миру, включая Universal Transverse Mercator . В сочетании с подходящей геодезической базой данных поперечный Меркатор обеспечивает высокую точность в зонах с отклонением менее нескольких градусов с востока на запад.

Стандартные и поперечные аспекты

Сравнение касательных и секущих форм нормальной, косой и поперечной проекций Меркатора со стандартными параллелями, выделенными красным цветом.

Поперечная проекция Меркатора является поперечным аспектом стандартной (или нормальной ) проекции Меркатора. Они имеют одну и ту же математическую конструкцию, и, следовательно, поперечный Меркатор наследует многие черты нормального Меркатора:

• Обе проекции цилиндрические : для Нормального Меркатора ось цилиндра совпадает с полярной осью, а линия касания с экватором . Для поперечного Меркатора ось цилиндра лежит в экваториальной плоскости, а линией касания является любой выбранный меридиан, обозначенный тем самым центральным меридианом .
• Обе проекции можно преобразовать в секущую форму, что означает уменьшение масштаба таким образом, что цилиндр прорезает земной шар модели.
• Оба существуют в сферической и эллипсоидной версиях.
• Обе проекции конформны , так что масштаб точки не зависит от направления и локальные формы хорошо сохраняются;
• Обе проекции имеют постоянный масштаб на линии касания (экватор для нормального Меркатора и центральный меридиан для поперечного).

Поскольку центральный меридиан поперечного Меркатора можно выбрать произвольно, его можно использовать для построения высокоточных карт (узкой ширины) в любой точке земного шара. Секущая эллипсоидная форма поперечного Меркатора является наиболее широко применяемой из всех проекций для точных крупномасштабных карт.

Сферический поперечный Меркатор

При построении карты в любой проекции сфера для моделирования Земли обычно выбирается, когда протяженность отображаемой области превышает несколько сотен километров в длину в обоих измерениях. Для карт небольших регионов необходимо выбирать эллипсоидную модель , если требуется большая точность; см. следующий раздел. Сферическая форма поперечной проекции Меркатора была одной из семи новых проекций, представленных в 1772 году Иоганном Генрихом Ламбертом . ^{[1] [2]} (Текст также доступен в современном английском переводе. ^[3] ) Ламберт не назвал своих проекций; название поперечного Меркатора датируется второй половиной XIX века. ^[4] Здесь представлены основные свойства поперечной проекции в сравнении со свойствами нормальной проекции.

Нормальная и поперечная сферические проекции

Эллипсоидный поперечный Меркатор

Эллипсоидальная форма поперечной проекции Меркатора была разработана Карлом Фридрихом Гауссом в 1822 году ^[5] и дополнительно проанализирована Иоганном Генрихом Луи Крюгером в 1912 году. ^[6]

Проекция известна под несколькими названиями: (эллипсоидный) поперечный Меркатор в США; Конформный Гаусса или Гаусса – Крюгера в Европе; или поперечный Меркатор Гаусса – Крюгера в более общем смысле. Помимо синонима эллипсоидной поперечной картографической проекции Меркатора, термин Гаусса – Крюгера можно использовать и в других несколько иных смыслах:

• Иногда этот термин используется для обозначения определенного метода расчета поперечного Меркатора: то есть способа преобразования широты/долготы и проекционных координат. Не существует простой закрытой формулы, позволяющей сделать это, когда Земля моделируется как эллипсоид. Но метод Гаусса-Крюгера дает те же результаты, что и другие методы, по крайней мере, если вы находитесь достаточно близко к центральному меридиану: скажем, менее 100 градусов долготы. В дальнейшем некоторые методы становятся неточными.
• Этот термин также используется для определенного набора поперечных проекций Меркатора, используемых в узких зонах в Европе и Южной Америке, по крайней мере, в Германии, Турции, Австрии, Словении, Хорватии, Боснии и Герцеговине, Сербии, Черногории, Северной Македонии, Финляндии и Аргентине. . Эта система Гаусса-Крюгера похожа на универсальную поперечную систему Меркатора, но центральные меридианы зон Гаусса-Крюгера отстоят друг от друга всего на 3°, в отличие от 6° в UTM.

Проекция конформная с постоянным масштабом на центральном меридиане. (Существуют и другие конформные обобщения поперечного Меркатора от сферы к эллипсоиду, но только Гаусс-Крюгер имеет постоянный масштаб на центральном меридиане.) На протяжении двадцатого века поперечный Меркатор Гаусса-Крюгера был принят в той или иной форме: многими странами (и международными организациями); ^[7] кроме того, он обеспечивает основу для серии универсальных поперечных проекций Меркатора . Проекция Гаусса-Крюгера в настоящее время является наиболее широко используемой проекцией при точном крупномасштабном картографировании. ^{[ нужна цитата ]}

Проекция, разработанная Гауссом и Крюгером, выражалась в виде степенных рядов низкого порядка , которые, как предполагалось, расходились в направлении восток-запад, точно так же, как и в сферической версии. Это было доказано британским картографом Э. Х. Томпсоном, чья неопубликованная точная (закрытая форма) версия проекции, о которой сообщил Лоуренс Патрик Ли в 1976 году, ^[8] показала, что эллипсоидальная проекция конечна (ниже). В этом заключается наиболее разительное различие между сферической и эллипсоидной версиями поперечной проекции Меркатора: Гаусс – Крюгер дает разумную проекцию всего эллипсоида на плоскость, хотя ее основное применение заключается в точном крупномасштабном картографировании, «близком» к центральному. меридиан. ^{[ нужна цитата ]}

Эллипсоидный поперечный Меркатор: конечная проекция.

Функции

• Вблизи центрального меридиана (Гринвич в приведенном выше примере) проекция имеет мало искажений, а формы Африки, Западной Европы, Британских островов, Гренландии и Антарктиды выгодно отличаются от земного шара.
• Центральные области поперечных проекций сферы и эллипсоида неразличимы на показанных здесь мелкомасштабных проекциях.
• Меридианы на 90° к востоку и западу от выбранного центрального меридиана проецируются на горизонтальные линии, проходящие через полюса. Более дальнее полушарие проецируется над северным полюсом и под южным полюсом.
• Экватор делит Африку пополам, пересекает Южную Америку и затем продолжается до полной внешней границы проекции; верхний и нижний края, а также правый и левый края должны быть идентифицированы (т.е. они представляют одни и те же линии на глобусе). (Индонезия разделена пополам.)
• Искажение увеличивается к правой и левой границам проекции, но не увеличивается до бесконечности. Обратите внимание на Галапагосские острова, где меридиан 90° запада пересекает экватор внизу слева.
• Карта конформна. Линии, пересекающиеся под любым заданным углом на эллипсоиде, проецируются в линии, пересекающиеся под тем же углом в проекции. В частности, параллели и меридианы пересекаются под углом 90°.
• Коэффициент точечного масштаба не зависит от направления в любой точке, поэтому форма небольшой области достаточно хорошо сохраняется. Необходимым условием является то, что величина масштабного коэффициента не должна слишком сильно различаться в зависимости от региона. Обратите внимание, что, хотя Южная Америка сильно искажена, остров Цейлон достаточно мал, чтобы иметь разумную форму, хотя и находится далеко от центрального меридиана.
• Выбор центрального меридиана существенно влияет на вид проекции. Если выбрано 90°W, то разумна вся Америка. Если выбрано 145° в.д., подходит Дальний Восток, а Австралия ориентирована севером вверх.

В большинстве приложений система координат Гаусса – Крюгера применяется к узкой полосе вблизи центральных меридианов, где различия между сферической и эллипсоидальной версиями невелики, но, тем не менее, важны для точного картографирования. Прямые ряды для масштаба, схождения и искажения являются функциями эксцентриситета, а также широты и долготы на эллипсоиде: обратные ряды являются функциями эксцентриситета , а также x и y в проекции. В секущей версии линии истинного масштаба проекции больше не параллельны центральному меридиану; они слегка изогнуты. Угол схождения между проецируемыми меридианами и постоянными линиями сетки x больше не равен нулю (за исключением экватора), поэтому необходимо скорректировать направление сетки, чтобы получить азимут от истинного севера. Разница небольшая, но существенная, особенно в высоких широтах.

Реализации проекции Гаусса – Крюгера

В своей статье 1912 года ^[6] Крюгер представил два различных решения, отличающихся здесь параметром разложения:

• Крюгер– n (пункты 5–8): Формулы для прямой проекции, дающие координаты x и y , представляют собой разложения четвертого порядка с точки зрения третьего уплощения n (отношение разности и суммы большой и малой осей эллипсоид). Коэффициенты выражаются через широту ( φ ), долготу ( λ ), большую ось ( a ) и эксцентриситет ( e ). Обратные формулы для φ и λ также представляют собой разложения четвертого порядка по n , но с коэффициентами, выраженными через x , y , a и e .
• Крюгер – λ (пункты 13 и 14): Формулы, задающие координаты проекции x и y, представляют собой разложения (порядков 5 и 4 соответственно) по долготе λ , выраженной в радианах: коэффициенты выражаются через φ , a и е . Обратная проекция для φ и λ представляет собой разложение шестого порядка по отношениюИкс/а, с коэффициентами, выраженными через y , a и e . (См. серию «Поперечный Меркатор: Редферн» .)

Серия Крюгера – λ была реализована первой, возможно, потому, что их было гораздо легче оценивать на ручных калькуляторах середины двадцатого века.

• Ли-Редферн-OSGB : В 1945 году Л.П. Ли ^[9] подтвердил λ- разложения Крюгера и предложил их принять OSGB ^[10], но Редферн (1948) ^[11] указал, что они неточны из-за (а) относительно высокие широты Великобритании и (б) большая ширина нанесенной на карту территории, более 10 градусов долготы. Редферн расширил ряд до восьмого порядка и исследовал, какие члены необходимы для достижения точности 1 мм (измерение на земле). Серия Redfearn до сих пор является основой картографических проекций OSGB. ^[10]
• Томас – UTM : λ -разложения Крюгера были также подтверждены Полом Томасом в 1952 году: ^[12] они легко доступны у Снайдера. ^[13] Его проекционные формулы, полностью эквивалентные тем, что были представлены Редферном, были приняты Агентством оборонных карт США в качестве основы для UTM . ^[14] Они также включены в преобразователь координат Geotrans ^[15] , предоставленный Национальным агентством геопространственной разведки США [2].
• Другие страны : Серия Redfearn является основой для геодезического картирования во многих странах: Австралии, Германии, Канаде, Южной Африке и многих других. (Список приведен в Приложении A.1 к Stuifbergen 2009.) ^[16]
• Было предложено множество вариантов серии Redfearn, но значение имеют только те, которые приняты национальными картографическими агентствами. Пример модификаций, не имеющих этого статуса, см. в разделе « Поперечный Меркатор: серия Bowring »). Все подобные модификации затмились мощью современных компьютеров и развитием n -серий высокого порядка, описанных ниже. Точные ряды Редферна, хотя и низкого порядка, нельзя игнорировать, поскольку они все еще закреплены в квазиюридических определениях OSGB, UTM и т. д.

Серия Крюгера – n была реализована (до четвертого порядка по n ) в следующих странах.

• Франция ^[17]
• Финляндия ^[18]
• Швеция ^[19]
• Япония ^[20]

Версии ряда Крюгера– n более высокого порядка были реализованы до седьмого порядка Энгсагером и Подером ^[21] и до десятого порядка Кавасе. ^[22] Помимо расширения ряда для преобразования между широтой и равноугольной широтой, Карни реализовал ряд до тридцатого порядка. ^[23]

Точный Гаусс – Крюгер и точность усеченного ряда.

Точное решение Э. Х. Томпсона описано Л. П. Ли. ^[8] Он построен на основе эллиптических функций (определенных в главах 19 и 22 справочника NIST ^[24] ), которые можно вычислить с произвольной точностью с использованием алгебраических вычислительных систем, таких как Maxima. ^[25] Такая реализация точного решения описана Карни (2011). ^[23]

Точное решение является ценным инструментом при оценке точности усеченных рядов n и λ. Например, исходная серия Крюгера– п 1912 г. очень выгодно отличается от точных значений: они отличаются менее чем на 0,31 мкм в пределах 1000 км от центрального меридиана и менее чем на 1 мм за пределами 6000 км. С другой стороны, разница ряда Редферна, используемого Geotrans, и точного решения составляет менее 1 мм при разнице по долготе в 3 градуса, что соответствует расстоянию в 334 км от центрального меридиана на экваторе, но всего лишь в 35 км. км на северной границе зоны UTM. Таким образом, серия Крюгера– n намного лучше серии Редферна λ.

Серия Redfearn становится намного хуже по мере расширения зоны. Карни приводит Гренландию как поучительный пример. Длинный тонкий массив суши сосредоточен на 42 западной широте и в самом широком месте находится не более чем в 750 км от этого меридиана, а размах по долготе достигает почти 50 градусов. Точность измерения Krüger- n составляет 1 мм, но версия серии Krüger- λ от Redfearn имеет максимальную погрешность в 1 километр.

Собственный ряд Карни 8-го порядка (по n ) имеет точность до 5 нм в пределах 3900 км от центрального меридиана.

Формулы сферического поперечного Меркатора

Возвращение к сферической нормали Меркатора

Нормальный аспект касательной цилиндрической проекции сферы

Нормальные цилиндрические проекции описываются относительно цилиндра, касательного экватора с осью вдоль полярной оси сферы. Цилиндрические проекции строятся так, что все точки меридиана проецируются на точки с (где – радиус Земли ) и является заданной функцией . Для касательной нормальной проекции Меркатора (уникальными) формулами, гарантирующими конформность, являются: ^[26] ${\displaystyle x=a\lambda }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle x=a\lambda \,,\qquad y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right].}$

Конформность подразумевает, что точечный масштаб k не зависит от направления: он является функцией только широты:

${\displaystyle k(\varphi )=\sec \varphi .\,}$

Для секущей версии проекции в правой части всех этих уравнений стоит коэффициент k ₀ : это гарантирует, что масштаб на экваторе равен k _{0 .}

Нормальная и поперечная сетки

Поперечная сетка Меркатора

На рисунке слева показано, как поперечный цилиндр соотносится с обычной сеткой на сфере. Она касается некоторого произвольно выбранного меридиана и ее ось перпендикулярна оси сферы. Определенные на рисунке оси x и y относятся к экватору и центральному меридиану точно так же, как и для нормальной проекции . На рисунке справа повернутая сетка связана с поперечным цилиндром так же, как нормальный цилиндр связан со стандартной сеткой. «Эватор», «полюса» (восточный и западный) и «меридианы» повернутой сетки отождествляются с выбранным центральным меридианом, точками на экваторе на 90 градусов к востоку и западу от центрального меридиана и большими кругами, проходящими через эти точки.

Поперечная геометрия Меркатора

Положение произвольной точки ( φ , λ ) на стандартной сетке также можно определить через углы на повернутой сетке: φ′ (угол M′CP) — эффективная широта и − λ′ (угол M′CO). становится эффективной долготой. (Знак минус необходим для того, чтобы ( φ′ , λ′ ) относились к повернутой сетке так же, как ( φ , λ ) относились к стандартной сетке). Декартовы оси ( x' , y' ) связаны с повернутой сеткой так же, как оси ( x , y ) связаны со стандартной сеткой.

Касательная поперечная проекция Меркатора определяет координаты ( x′ , y′ ) через − λ′ и φ′ по формулам преобразования касательной нормальной проекции Меркатора:

${\displaystyle x'=-a\lambda '\,\qquad y'={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi '}{1-\sin \varphi '}}\right].}$

Это преобразование проецирует центральный меридиан в прямую линию конечной длины и в то же время проецирует большие круги, проходящие через E и W (включая экватор), в бесконечные прямые линии, перпендикулярные центральному меридиану. Истинные параллели и меридианы (кроме экватора и центрального меридиана) не имеют простой связи с повернутой сеткой и проецируются в сложные кривые.

Связь между сетками

Углы двух координатных сеток связываются с помощью сферической тригонометрии на сферическом треугольнике NM'P, определяемом истинным меридианом, проходящим через начало координат, OM'N, истинным меридианом, проходящим через произвольную точку, MPN, и большим кругом WM'PE. Результаты: ^[26]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}}$

Формулы прямого преобразования

Прямые формулы, дающие декартовы координаты ( x , y ), следуют непосредственно из вышесказанного. Установка x  =  y′ и y  = − x′ (и восстановление коэффициентов k ₀ для учета секущих версий)

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}}$

Приведенные выше выражения приведены у Ламберта ^[1] , а также (без выводов) у Снайдера, ^[13], Мэлинга ^[27] и Осборна ^[26] (с полными подробностями).

Формулы обратного преобразования

Обращение приведенных выше уравнений дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}}$

Шкала точек

В терминах координат относительно повернутой сетки коэффициент масштабирования точки определяется как k  = sec  φ' : это может быть выражено либо через географические координаты, либо через координаты проекции:

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

Второе выражение показывает, что масштабный коэффициент является просто функцией расстояния от центрального меридиана проекции. Типичное значение масштабного коэффициента составляет k ₀  = 0,9996, так что k  = 1, когда x составляет примерно 180 км. Когда x составляет примерно 255 км и k ₀  = 1,0004: масштабный коэффициент находится в пределах 0,04% от единицы в полосе шириной около 510 км.

Конвергенция

Угол схождения

Угол сходимости γ в точке проекции определяется углом, измеренным от проецируемого меридиана, который определяет истинный север, до линии сетки постоянного x , определяющей север сетки. Следовательно, γ положителен в квадранте к северу от экватора и к востоку от центрального меридиана, а также в квадранте к югу от экватора и к западу от центрального меридиана. Схождение необходимо добавить к азимуту сетки, чтобы получить азимут истинного севера. Для секущего поперечного Меркатора сходимость может быть выражена ^[26] либо через географические координаты, либо через координаты проекции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

Формулы эллипсоида поперечного Меркатора

Подробности реальных реализаций

• Ряд Гаусса-Крюгера по долготе: Поперечный Меркатор: ряд Редфирна
• Ряд Гаусса-Крюгера в n (третье сглаживание): Поперечный Меркатор: ряд сглаживания
• Точная (закрытая форма) поперечная проекция Меркатора: Поперечный Меркатор: точное решение
• Ряд Редферна четвертого порядка по кратким формулам (пример): Поперечный Меркатор: ряд Боуринга

Координаты, сетки, восточные и северные направления

Координаты проекции, возникающие в результате различных разработок эллипсоидального поперечного Меркатора, представляют собой декартовы координаты, так что центральный меридиан соответствует оси x , а экватор соответствует оси y . И x , и y определены для всех значений λ и φ . Проекция не определяет сетку: сетка — это независимая конструкция, которую можно определить произвольно. На практике в национальных реализациях и UTM используются сетки, выровненные по декартовым осям проекции, но они имеют конечную протяженность, а начало координат не обязательно совпадает с пересечением центрального меридиана с экватором.

Истинное начало сетки всегда берется на центральном меридиане, поэтому координаты сетки будут отрицательными к западу от центрального меридиана. Чтобы избежать таких отрицательных координат сетки, стандартная практика определяет ложное начало координат к западу (и, возможно, к северу или югу) от начала координат сетки: координаты относительно ложного начала координат определяют восточное и северное направления , которые всегда будут положительными. Ложное смещение на восток , E ₀ , — это расстояние от истинного начала координат сетки к востоку от ложного начала. Ложное северное положение N 0 _— это расстояние от истинного начала координат к северу от ложного начала координат. Если истинное начало сетки находится на широте φ ₀ центрального меридиана, а масштабный коэффициент центрального меридиана равен k ₀ , то эти определения дают восточное и северное направления следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{0}+x(\lambda ,\varphi ),\\[5px]N&=N_{0}+y(\lambda ,\varphi )-k_{0}m(\varphi _{0}).\end{aligned}}}$

Термины «восток» и «север» не означают строгое направление на восток и север. Линии сетки поперечной проекции, за исключением осей X и Y , не проходят с севера на юг или с востока на запад, как это определено параллелями и меридианами. Это видно из представленных выше глобальных прогнозов. Вблизи центрального меридиана различия невелики, но измеримы. Разница между линиями сетки север-юг и истинными меридианами заключается в угле схождения.

Смотрите также

• Список картографических проекций
• Проекция Меркатора
• Масштаб (карта)
• Косая проекция Меркатора

Рекомендации

1. Ламберт, Иоганн Генрих. 1772. Anmerkungen und Zusätze zur Entwerfung der Land- und Himmelscharten . In Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, часть 3, раздел 6)
2. Альберт Вангерин (редактор), 1894. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften ( 54 ). Опубликовано Вильгельмом Энгельманном. Это статья Ламберта с дополнительными комментариями редактора. Доступно в Историко-математической библиотеке Мичиганского университета.
3. Тоблер, Уолдо Р., Примечания и комментарии к составу земных и небесных карт , 1972 (University of Michigan Press). Перепечатано (2010 г.) Esri: [1]
4. Снайдер, Джон П. (1993). Выравнивание Земли: две тысячи лет картографических проекций . Издательство Чикагского университета. п. 82. ИСБН 978-0-226-76747-5.Это превосходный обзор практически всех известных прогнозов от древности до 1993 года.
5. Гаусс, Карл Фридрих, 1825. «Allgemeine Auflösung der Aufgabe: die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird» Preisarbeit der Kopenhagener Akademie 1822. Шумахер Astronomische Abhandlungen, Альтона , нет. 3, с. 5–30. [Перепечатано, 1894 г., Klassiker der Exakten Wissenschaften Оствальда, вып. 55: Лейпциг, Вильгельм Энгельманн, с. 57–81, под редакцией Альберта Вангерина, стр. 97–101. Также в Herausgegeben von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen в Kommission bei Julius Springer в Берлине, 1929, т. 12, стр. 1–9.]
6. Крюгер, Л. (1912). Konforme Abbildung des Erdellipsoids в Эбене . Королевский прусский геодезический институт, новая серия 52.
7. «Краткие материалы 1-го европейского семинара по опорным сеткам, Испра, 27–29 октября 2003 г.» (PDF) . Европейское агентство по окружающей среде . 14 июня 2004 г. п. 6 . Проверено 27 августа 2009 г.ЕАОС рекомендует поперечный Меркатор для конформного общеевропейского картирования в масштабах более 1:500 000.
8. Ли, Лоуренс Патрик (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций . Картографическая монография. Том. 16. Издательство Университета Торонто. ISBN 9780919870161.стр. 1–14, 92–101 и 107–114.
9. Ли LP, (1945). Обзор обзора, том  8 (часть 58), стр. 142–152. Поперечная меркаторская проекция сфероида. (Ошибки и комментарии в томе  8 (часть 61), стр. 277–278.
10. Руководство по системам координат в Великобритании. Он доступен в формате PDF на странице «Добро пожаловать в сеть GPS». Архивировано из оригинала 11 февраля 2012 г. Проверено 11 января 2012 г.
11. Редферн, JCB (1948). Обзор обзора, том  9 (часть 69), стр. 318–322, Поперечные формулы Меркатора.
12. Томас, Пол Д. (1952). Конформные проекции в геодезии и картографии . Вашингтон: Специальная публикация 251 береговой и геодезической службы США.
13. Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции – Рабочее руководство. Профессиональный документ Геологической службы США 1395 . Типография правительства США, Вашингтон, округ КолумбияЭтот документ можно скачать со страниц Геологической службы США. Он дает полную информацию о большинстве прогнозов вместе с интересными вводными разделами, но ни один из прогнозов не выводится из основных принципов.
14. Хагер, JW; Бегенский, Дж. Ф.; Дрю, BW (1989). «Универсальные сетки: Универсальная поперечная Меркатора (UTM) и Универсальная полярная стереографическая (UPS)» (PDF) . Технический отчет TM 8358.2, Картографическое агентство Министерства обороны .
15. Geotrans, 2010, Географический переводчик, версия 3.0, URL http://earth-info.nga.mil/GandG/geotrans/
16. Н. Стюфберген, 2009, Широкая зона поперечной проекции Меркатора, Технический отчет 262, Канадская гидрографическая служба, URL http://www.dfo-mpo.gc.ca/Library/337182.pdf.
17. http://geodesie.ign.fr/contenu/fichiers/documentation/algorithmes/notice/NTG_76.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
18. Р. Куиттинен, Т. Сарьякоски, М. Олликайнен, М. Путанен, Р. Нуурос, П. Татиля, Дж. Пелтола, Р. Руотсалайнен и М. Олликайнен, 2006, ETRS89 — järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako, Технический отчет JHS 154, Финский геодезический институт, Приложение 1, Projektiokaavart, URL http://docs.jhs-suositukset.fi/jhs-suositukset/JHS154/JHS154_liite1.pdf.
19. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 апреля 2014 г. Проверено 15 июля 2013 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
20. http://psgsv2.gsi.go.jp/koukyou/jyunsoku/pdf/H28/H28_junsoku_furoku6.pdf#page=22 ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
21. К.Э. Энгсагер и К. Подер, 2007, Высокоточный мировой алгоритм поперечного отображения Меркатора (почти), в Proc. XXIII Международный Картографическая конференция. (ICC2007), Москва, с. 2.1.2.
22. Кавасе, К. (2011): Общая формула для расчета длины дуги меридиана и ее применение для преобразования координат в проекции Гаусса – Крюгера, Бюллетень Управления геопространственной информации Японии , 59 , стр. 1–13
23. CFF Karney (2011), Поперечный Меркатор с точностью до нескольких нанометров , J. Geodesy 85 (8), 475-485 (2011); препринт статьи и реализация алгоритмов на C++ доступны на tm.html.
24. FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert и CW Clark, редакторы, 2010, Справочник NIST по математическим функциям (издательство Кембриджского университета), доступно онлайн по адресу http://dlmf.nist.gov.
25. Maxima, 2009, Система компьютерной алгебры, версия 5.20.1, URL http://maxima.sf.net.
26. Проекции Меркатора Подробный вывод всех формул, приведенных в этой статье.
27. Малинг, Дерек Хилтон (1992). Системы координат и картографические проекции (второе изд.). Пергамон Пресс. ISBN 978-0-08-037233-4..

Внешние ссылки

• Проекции, использованные для иллюстрации этой статьи, были подготовлены с использованием Geocart, доступного на http://www.mapthematics.com.