Поперечная мера

В математике мера на действительном векторном пространстве называется трансверсальной данному множеству, если она присваивает меру ноль каждому трансляту этого множества, в то же время присваивая конечную и положительную ( т.е. ненулевую) меру некоторому компактному множеству .

Определение

Пусть V — вещественное векторное пространство вместе со структурой метрического пространства , относительно которой оно полно . Борелевская мера μ называется трансверсальной к измеримому по Борелю подмножеству S множества V , если

существует компактное подмножество K из V с 0 < μ ( K ) < +∞; и
μ ( v + S ) = 0 для всех v ∈ V , где

v+S=\{v+s\in V|s\in S\}

является переводом S с помощью v .

Первое требование гарантирует, что, например, тривиальная мера не будет считаться поперечной мерой.

Пример

В качестве примера возьмем V как евклидову плоскость R ² с ее обычной евклидовой нормой/метрической структурой. Определим меру μ на R ² , установив μ ( E ) как одномерную меру Лебега пересечения E с первой координатной осью:

\mu (E)=\lambda ^{1}{\big (}\{x\in \mathbf {R} |(x,0)\in E\subseteq \mathbf {R} ^{2}\}{\big )}.

Примером компактного множества K с положительной и конечной μ -мерой является K = B ₁ (0), замкнутый единичный шар вокруг начала координат, который имеет μ ( K ) = 2. Теперь возьмем множество S в качестве второй координатной оси. Любой перенос ( v ₁ , v ₂ ) + S множества S пересечет первую координатную ось ровно в одной точке, ( v ₁ , 0). Поскольку единственная точка имеет нулевую меру Лебега, μ (( v ₁ , v ₂ ) + S ) = 0, и поэтому μ трансверсальна S .

Смотрите также

Распространенные и застенчивые наборы

Ссылки

Хант, Брайан Р. и Зауэр, Тим и Йорк, Джеймс А. (1992). «Распространенность: инвариантный относительно трансляции «почти каждый» в бесконечномерных пространствах». Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 27 (2): 217–238. arXiv : math/9210220 . doi :10.1090/S0273-0979-1992-00328-2. S2CID 17534021.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )