Трапеция

Выпуклый четырехугольник, имеющий хотя бы одну пару параллельных сторон.

В геометрии трапеция ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / ) в североамериканском английском или трапеция ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / ) в британском английском , ^{[1] [2} ] четырёхугольник , у которого есть хотя бы одна пара параллельных сторон.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются катетами (или боковыми сторонами ), если они не параллельны; в противном случае трапеция является параллелограммом и имеет две пары оснований. Разносторонняя трапеция — это трапеция, у которой нет сторон равной меры ^[3] , в отличие от особых случаев, описанных ниже.

Трапецией обычно считают выпуклый четырехугольник в евклидовой геометрии , но бывают и скрещенные случаи. Если ABCD — выпуклая трапеция, то ABDC — скрещенная трапеция. Метрические формулы в этой статье применимы к выпуклым трапециям.

Этимология и трапеция против трапеции

Определения Хаттона 1795 г. ^[4]

Древнегреческий математик Евклид определил пять типов четырехугольников, из которых четыре имели два набора параллельных сторон (известных на английском языке как квадрат, прямоугольник, ромб и ромб), а последний не имел двух наборов параллельных сторон – τραπέζια ( трапеция ^{[ 5]} буквально «стол», само по себе от τετράς ( tetrás ) «четыре» + πέζα ( péza ) «конец, граница, край»). ^[6]

Два типа трапеций были представлены Проклом (412–485 гг. н. э.) в его комментарии к первой книге « Начал» Евклида : ^{[4] [7]}

• одна пара параллельных сторон – трапеция (τραπέζιον), разделенная на равнобедренную (равные ножки) и разностороннюю (неравные) трапеции.
• нет параллельных сторон - трапеция (τραπεζοειδή, трапеция , буквально «трапециевидный» (εἶδος означает «похожий»), точно так же, как кубоид означает « кубоподобный », а ромбоид означает « подобный ромбу »)

Все европейские языки следуют структуре Прокла ^{[7] [8],} как и английский до конца 18 века, пока влиятельный математический словарь, опубликованный Чарльзом Хаттоном в 1795 году, не поддержал без объяснения перестановку терминов. Примерно в 1875 году в британском английском это было изменено, но в американском английском оно сохраняется до сих пор. ^[4]

В следующей таблице сравниваются варианты использования: наиболее конкретные определения вверху и самые общие внизу.

Инклюзивное и эксклюзивное определение

Существуют некоторые разногласия по поводу того, следует ли считать параллелограммы , имеющие две пары параллельных сторон, трапециями.

Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон (исключительное определение), тем самым исключая параллелограммы. ^[11] В некоторых источниках термин «правильная трапеция» используется для описания трапеций в соответствии с исключительным определением, аналогично использованию слова «собственная трапеция» в некоторых других математических объектах. ^[12]

Другие ^{[13] [ не удалось проверить ]} определяют трапецию как четырехугольник как минимум с одной парой параллельных сторон (инклюзивное определение ^[14] ), что делает параллелограмм особым типом трапеции. Последнее определение согласуется с его использованием в высшей математике, такой как исчисление . В этой статье используется инклюзивное определение и рассматриваются параллелограммы как частные случаи трапеции. Это также поддерживается в таксономии четырехугольников .

Согласно инклюзивному определению, все параллелограммы (включая ромбы , квадраты и неквадратные прямоугольники ) являются трапециями. Прямоугольники имеют зеркальную симметрию по средним краям; ромбы имеют зеркальную симметрию по вершинам, а квадраты имеют зеркальную симметрию как по средним краям, так и по вершинам.

Особые случаи

Особые случаи трапеции. Оранжевые фигуры также можно назвать параллелограммами.

Прямоугольная трапеция (также называемая прямоугольной трапецией ) имеет два смежных прямых угла . ^[13] Правые трапеции используются в правиле трапеций для оценки площадей под кривой.

Острая трапеция имеет два смежных острых угла на длинном основании .

С другой стороны, тупая трапеция имеет по одному острому и одному тупому углу в каждом основании .

Равнобедренная трапеция — это трапеция, углы при основании которой имеют одинаковую величину. Как следствие, две ножки также имеют одинаковую длину и обладают зеркальной симметрией . Это возможно для острых трапеций или прямых трапеций (в виде прямоугольников).

Параллелограмм — это (согласно инклюзивному определению) трапеция с двумя парами параллельных сторон. Параллелограмм имеет центральную 2-кратную вращательную симметрию (или симметрию точечного отражения ). Можно для тупых трапеций или прямых трапеций (прямоугольников).

Тангенциальная трапеция — это трапеция, имеющая вписанную окружность .

Четырехугольник Саккери подобен трапеции в гиперболической плоскости с двумя примыкающими прямыми углами, а в евклидовой плоскости он представляет собой прямоугольник . Четырехугольник Ламберта в гиперболической плоскости имеет 3 прямых угла.

Состояние существования

Четыре длины a , c , b , d могут составлять последовательные стороны непараллелограммной трапеции с a и b параллельными только тогда, когда ^[15]

${\displaystyle \displaystyle |d-c|<|b-a|<d+c.}$

Четырехугольник является параллелограммом, когда , но это экскасательный четырехугольник (который не является трапецией), когда . ^{[16] : с. 35} ${\displaystyle d-c=b-a=0}$ ${\displaystyle |d-c|=|b-a|\neq 0}$

Характеристики

общая трапеция/трапеция:
параллельные стороны: с ножками: диагонали: средний сегмент: высота/высота: ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle a<b}$
${\displaystyle c,\,d}$
${\displaystyle q,\,p}$
${\displaystyle m}$
${\displaystyle h}$

трапеция/трапеция с противоположными треугольниками, образованными диагоналями ${\displaystyle S,\,T}$

Для выпуклого четырехугольника следующие свойства эквивалентны, и каждое из них означает, что четырехугольник является трапецией:

• Он имеет два смежных угла , которые являются дополнительными , то есть в сумме составляют 180 градусов .
• Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и той же диагональю.
• Диагонали пересекают друг друга в одинаковом отношении (это соотношение такое же, как и между длинами параллельных сторон).
• Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника , из которых одна противолежащая пара имеет равные площади. ^{[16] : Положение 5.}
• Произведение площадей двух треугольников, образованных одной диагональю, равно произведению площадей двух треугольников, образованных другой диагональю. ^{[16] : Thm.6}
• Площади S и T некоторых двух противоположных треугольников из четырех треугольников, образованных диагоналями, удовлетворяют уравнению

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

где К — площадь четырехугольника. ^{[16] : Thm.8}

• Середины двух противоположных сторон трапеции и пересечение диагоналей лежат на одной прямой . ^{[16] : Thm.15}
• Углы в четырёхугольнике ABCD удовлетворяют ^{[16] : с. 25} ${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• Сумма косинусов двух соседних углов равна 0, как и косинусы двух других углов. ^{[16] : с. 25}
• Сумма котангенсов двух соседних углов равна 0, как и котангенсы двух других смежных углов. ^{[16] : с. 26}
• Одна бимедиана делит четырёхугольник на два четырёхугольника равных площадей. ^{[16] : с. 26}
• Двойная длина бимедианы, соединяющей середины двух противоположных сторон, равна сумме длин других сторон. ^{[16] : с. 31}

Кроме того, следующие свойства эквивалентны, и каждое из них подразумевает, что противоположные стороны a и b параллельны:

• Последовательные стороны a , c , b , d и диагонали p , q удовлетворяют уравнению ^{[16] : Кор.11}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• Расстояние v между серединами диагоналей удовлетворяет уравнению ^{[16] : Теория 12.}

${\displaystyle v={\frac {|a-b|}{2}}.}$

Средний сегмент и высота

Средний сегмент (также называемый медианой или средней линией) трапеции — это сегмент, который соединяет середины ног. Он параллелен основаниям. Его длина m равна среднему значению длин оснований a и b трапеции, ^[13]

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

Средний отрезок трапеции является одной из двух бимедиан (другая бимедиана делит трапецию на равные площади).

Высота (или высота) — это расстояние по перпендикуляру между основаниями. В случае, когда два основания имеют разную длину ( a ≠ b ), высоту трапеции h можно определить по длине ее четырех сторон по формуле ^[13]

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-b-d)(p-b-c)}}{2|b-a|}}}$

где c и d — длины ног и . ${\displaystyle p=a+b+c+d}$

Область

Площадь K трапеции определяется выражением ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

где a и b — длины параллельных сторон, h — высота (расстояние по перпендикуляру между этими сторонами), а m — среднее арифметическое длин двух параллельных сторон. В 499 году нашей эры Арьябхата , великий математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , использовал этот метод в «Арьябхатии» (раздел 2.8). В частном случае это дает хорошо известную формулу площади треугольника , если рассматривать треугольник как вырожденную трапецию, в которой одна из параллельных сторон сжалась в точку.

Индийский математик VII века Бхаскара I вывел следующую формулу площади трапеции с последовательными сторонами a , c , b , d :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((b-a)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}\right)^{2}}}}$

где a и b параллельны и b > a . ^[17] Эту формулу можно разложить на более симметричную версию ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|b-a|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}.}$

Когда одна из параллельных сторон сжимается до точки (скажем, a = 0), эта формула сводится к формуле Герона для площади треугольника.

Другая эквивалентная формула площади, которая больше напоминает формулу Герона: ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}}$

где - полупериметр трапеции. (Эта формула похожа на формулу Брахмагупты , но отличается от нее тем, что трапеция может не быть вписанной (вписанной в окружность). Формула также является частным случаем формулы Бретшнейдера для общего четырехугольника ). ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

Из формулы Бретшнейдера следует, что

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{4(b-a)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

Линия, соединяющая середины параллельных сторон, делит площадь пополам.

Диагонали

Длины диагоналей равны ^[13]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}}$

где a — короткое основание, b — длинное основание, а c и d — ножки трапеции.

Если трапеция разделена на четыре треугольника своими диагоналями AC и BD (как показано справа), пересекающимися в точке O , то площадь AOD равна площади BOC , а произведение площадей AOD и BOC равно к тому из AOB и COD . Отношение площадей каждой пары соседних треугольников такое же, как и между длинами параллельных сторон. ^[13] ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$

Пусть трапеция имеет последовательно расположенные вершины A , B , C и D и параллельные стороны AB и DC . Пусть E — пересечение диагоналей, F — на стороне DA , а G — на стороне BC, так что FEG параллелен AB и CD . Тогда FG — среднее гармоническое AB и DC : ^[18]

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).}$

Линия, проходящая через точку пересечения расширенных непараллельных сторон и точку пересечения диагоналей, делит каждое основание пополам. ^[19]

Другие объекты недвижимости

Центр площади (центр масс однородной пластинки ) расположен вдоль отрезка, соединяющего середины параллельных сторон, на перпендикулярном расстоянии x от более длинной стороны b , определяемом ^[20]

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

Центр площади делит этот отрезок в соотношении (если брать от короткой стороны к длинной) ^{[21] : с. 862}

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

Если биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P , а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке Q , то ^[19]

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

Приложения

Храм Дендура в Метрополитен-музее в Нью-Йорке.

Архитектура

В архитектуре это слово используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных в египетском стиле более широкими у основания и сужающимися кверху. Если они имеют прямые стороны и острые угловые углы, их форма обычно представляет собой равнобедренные трапеции . Это был стандартный стиль дверей и окон инков . ^[22]

Геометрия

Задача о скрещенных лестницах — это задача о нахождении расстояния между параллельными сторонами прямой трапеции, зная длины диагоналей и расстояние от перпендикулярного катета до пересечения диагоналей.

Биология

Пример трапециевидной переднеспинки , очерченной на молочайном жуке.

В морфологии , таксономии и других описательных дисциплинах, в которых необходим термин для обозначения таких форм, такие термины, как трапециевидная или трапециевидная форма , обычно полезны при описании определенных органов или форм. ^[23]

Компьютерная инженерия

В компьютерной инженерии, особенно в цифровой логике и компьютерной архитектуре, трапеции обычно используются для обозначения мультиплексоров . Мультиплексоры — это логические элементы, которые выбирают между несколькими элементами и выдают один выходной сигнал на основе сигнала выбора. В типичных конструкциях используются трапеции без специального указания на то, что они являются мультиплексорами, поскольку они универсально эквивалентны.

Смотрите также

• Усеченное тело — твердое тело с трапециевидными гранями.
• Вежливое число , также известное как трапециевидное число.
• Клин — многогранник, определяемый двумя треугольниками и тремя гранями трапеции.

Рекомендации

1. «Трапеция - определение математического слова - Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 15 мая 2024 г.
2. А.Д. Гардинер и К.Дж. Брэдли, Плоская евклидова геометрия: теория и проблемы , UKMT, 2005, стр. 34.
3. «Типы четырехугольников». Basic-mathematics.com .
4. Джеймс А. Х. Мюррей (1926). Новый английский словарь по историческим принципам: основан главным образом на материалах, собранных Филологическим обществом. Том. X. Clarendon Press в Оксфорде. п. 286 (Трапеция). У Евклида (около 300 г. до н.э.) τραπέζιον включала все четырехугольные фигуры, кроме квадрата, прямоугольника, ромба и ромбоида; в разновидности трапеций он не входил. Но Прокл, написавший «Комментарии к Первой книге «Начал» Евклида в 450 году нашей эры, сохранил название τραπέζιον только для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, разделив их на τραπέζιον ἰσοσκελὲς, равнобедренную трапецию, имеющую две непараллельные стороны (и углы при их основания) равны, а σκαληνὸν τραπέζιον, разносторонняя трапеция, у которой эти стороны и углы неравны. Для четырехугольников, у которых нет параллельных сторон, Прокл ввел название τραπέζοειδὲς ТРАПЕЦИЯ. Эта номенклатура сохранилась во всех континентальных языках и была универсальной в Англии до конца XVIII века, когда применение терминов было перенесено, так что фигура, которую Прокл и современные геометры других наций называют именно трапецией (Ф. трапеция, нем. трапеция, Дю. трапеция, ит. трапеция) стала у большинства английских писателей трапецией, а трапеция Прокла и других народов — трапецией. Это измененное значение трапеции дано в Математическом словаре Хаттона, 1795 г., как слово «иногда» используется — он не говорит, кем; но, к сожалению, он сам принял и использовал его, и его Словарь, несомненно, был главным фактором его распространения. Однако некоторые геометры продолжали использовать эти термины в их первоначальном значении, и с 1875 года это использование стало преобладающим.
5. «Евклид, Элементы, книга 1, тип Def, номер 22» . www.perseus.tufts.edu .
6. Говорят, что πέζα — это дорическая и аркадская форма πούς «ступня», но записанная только в смысле «подъём [человеческой стопы]», откуда и происходит значение «край, граница». τράπεζα «стол» — гомеровское. Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Генри Стюарт Джонс, Греко-английский лексикон , Оксфорд, Clarendon Press (1940), sv πέζα, τράπεζα.
7. Конвей, Джон Х.; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (5 апреля 2016 г.). Симметрии вещей. ЦРК Пресс. п. 286. ИСБН 978-1-4398-6489-0.
8. Например: французская трапеция , итальянская трапеция , португальская трапеция , испанская трапеция , немецкая трапеция , украинская «трапеція», например «Определение трапеции по Ларуссу».
9. "chambersharrap.co.uk" . www.chambersharrap.co.uk .
10. "Американское определение трапеции 1913 года" . Интернет-словарь Мерриам-Вебстера . Проверено 10 декабря 2007 г.
11. «Определение американской школы с сайта math.com» . Проверено 14 апреля 2008 г.
12. Мишон, Жерар П. «История и номенклатура» . Проверено 9 июня 2023 г.
13. Вайсштейн, Эрик В. «Трапеция». Математический мир .
14. Трапеции, [1]. Проверено 24 февраля 2012 г.
15. Спросите доктора Математика (2008), «Площадь трапеции с учетом только длин сторон».
16. Мартин Йозефссон, «Характеристики трапеций», Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.
17. Т.К. Путтасвами, Математические достижения досовременных индийских математиков , Elsevier, 2012, стр. 156.
18. «Задача 747 по геометрии математического образования: трапеция, диагонали, параллель, основания, средняя точка, сходство, среднее гармоническое. Уровень: средняя школа, геометрия с отличием, колледж, математическое образование. Дистанционное обучение» . gogeometry.com . Проверено 15 мая 2024 г.
19. Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдра Смельцер , Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 55.
20. «Центроид, площадь, моменты инерции, полярные моменты инерции и радиус вращения общей трапеции». www.efunda.com . Проверено 15 мая 2024 г.
21. Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян (декабрь 2004 г.). «Фигуры, описывающие круги» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (10): 853–863. дои : 10.2307/4145094. JSTOR  4145094 . Проверено 06 апреля 2016 г.
22. "Затерянный город инков Мачу-Пикчу - Геометрия инков" . gogeometry.com . Проверено 13 февраля 2018 г.
23. Джон Л. Капинера (11 августа 2008 г.). Энциклопедия энтомологии. Springer Science & Business Media. стр. 386, 1062, 1247. ISBN. 978-1-4020-6242-1.

дальнейшее чтение

• Д. Фрайверт, А. Сиглер и М. Ступель: Общие свойства трапеций и выпуклых четырехугольников.

Внешние ссылки

• «Трапеция» в Математической энциклопедии
• Вайсштейн, Эрик В. «Правильная трапеция». Математический мир .
• Определение трапеции, Площадь трапеции, Медиана трапеции (с интерактивной анимацией)
• Трапеция (Северная Америка) на elsy.at: Анимированный курс (построение, окружность, площадь)
• Правило трапеции для численных методов для студентов бакалавриата
• Аутар Кау и Э. Эрик Калу, Численные методы с приложениями , (2008)