Трисектриса Маклорена

Кубическая плоская кривая

Трисектриса Маклорена как место пересечения двух вращающихся прямых

В алгебраической геометрии трисектриса Маклорена представляет собой кубическую плоскую кривую, примечательную своим свойством трисектрисы , что означает, что ее можно использовать для разделения угла пополам . Его можно определить как геометрическое место точки пересечения двух линий , каждая из которых вращается с одинаковой скоростью вокруг отдельных точек, так что соотношение скоростей вращения составляет 1:3, а линии первоначально совпадают с линией между двумя точками. . Обобщение этой конструкции называется сектрисой Маклорена . Кривая названа в честь Колена Маклорена , исследовавшего ее в 1742 году.

Уравнения

Пусть две линии вращаются вокруг точек так, что, когда линия, вращающаяся вокруг, имеет угол с осью x , угол вращения вокруг нее равен . Пусть точка пересечения, тогда угол, образованный линиями при , равен . По закону синусов , ${\displaystyle P=(0,0)}$ ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle 3\theta }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 2\theta }$

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }\!}$

поэтому уравнение в полярных координатах (с точностью до перемещения и вращения)

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta ).\!}$

Таким образом, кривая является членом раковистого семейства де Слюза .

В декартовых координатах уравнение этой кривой имеет вид

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}).\!}$

Если начало координат перемещается в ( a , 0), то вывод, аналогичный приведенному выше, показывает, что уравнение кривой в полярных координатах принимает вид

${\displaystyle r=2a\cos {\theta \over 3},\!}$

делая это примером лимакона с петлей.

Свойство трисекции

Трисектриса Маклорена, показывающая свойство трисекции угла.

По заданному углу нарисуйте луч, угол которого с осью равен . Нарисуйте луч от начала координат до точки, где первый луч пересекает кривую. Тогда по построению кривой угол между вторым лучом и осью равен . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi /3}$

Примечательные моменты и особенности

Кривая имеет точку пересечения с осью x и двойную точку в начале координат. Вертикальная линия является асимптотой. Кривая пересекает линию x = a или точку, соответствующую трисекции прямого угла, в точке . Как узловая куба, она имеет нулевой род . ${\displaystyle 3a \over 2}$ ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ ${\displaystyle (a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})}$

Связь с другими кривыми

Трисектрису Маклорена можно определить по коническим сечениям тремя способами. Конкретно:

• Это инверсия относительно единичного круга гиперболы .

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2}).}$

• Это циссоида круга

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

и линия относительно начала координат. ${\displaystyle x={a \over 2}}$

• Это педаль относительно начала параболы.

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a).}$

Кроме того:

• Обратной относительно точки является трисектриса Лимасона . ${\displaystyle (a,0)}$
• Трисектриса Маклорена связана с листом Декарта аффинным преобразованием .

Рекомендации

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 36, 95, 104–106. ISBN 0-486-60288-5.
• Вайсштейн, Эрик В. «Трисектриса Маклорена». Математический мир .
• «Трисектриса Маклорена» в Индексе знаменитых кривых MacTutor
• Маклорен Трисектриса на mathcurve.com
• «Трисектриса Маклорена» в Визуальном словаре специальных плоских кривых

Внешние ссылки

• Лой, Джим «Трисекция угла», часть VI