Тривиальная группа

Группа, состоящая только из одного элемента

В математике тривиальная группа или нулевая группа — это группа , состоящая из одного элемента. Все такие группы изоморфны , поэтому часто говорят о тривиальной группе. Единственный элемент тривиальной группы является единичным элементом , поэтому его обычно обозначают так: или в зависимости от контекста. Если обозначена групповая операция , то она определяется формулой ${\displaystyle 0,1,}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle e\cdot e=e.}$

Аналогичным образом определяетсятривиальный моноид также является группой, поскольку его единственный элемент является его собственным обратным и, следовательно, совпадает с тривиальной группой.

Тривиальная группа отличается от пустого множества , которое не имеет элементов и, следовательно, не имеет единичного элемента и поэтому не может быть группой.

Определения

Для любой группы группа, состоящая только из единичного элемента, является подгруппой и , будучи тривиальной группой, называется ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G,}$тривиальная подгруппа ${\displaystyle G.}$

Термин « не имеет нетривиальных собственных подгрупп» относится к единственным подгруппам, состоящим из тривиальной группы и самой группы . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle G}$

Характеристики

Тривиальная группа циклическая порядка ; как таковая она может обозначаться или. Если групповая операция называется сложением, тривиальная группа обычно обозначается как. Если групповая операция называется умножением, то 1 может быть обозначением тривиальной группы. Их объединение приводит к тривиальному кольцу , в котором операции сложения и умножения идентичны и ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{1}.}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle 0=1.}$

Тривиальная группа служит нулевым объектом в категории групп , то есть она является одновременно начальным и конечным объектом .

Тривиальную группу можно сделать (би-) упорядоченной, снабдив ее тривиальным нестрогим порядком. ${\displaystyle \,\leq .}$

Смотрите также

• Нулевой объект (алгебра)  - алгебраическая структура только с одним элементом.
• Список малых групп

Рекомендации

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Тривиальная группа». Математический мир .